2027届高三数学一轮复习课件：第七章　7.4　直线、平面垂直的判定与性质

第七章立体几何与空间向量7.4直线、平面垂直的判定与性质知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1线面垂直的判定与性质1.线面垂直的判定图形

条件l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂αa∥b,a⊥α结论l⊥αb⊥α2.线面垂直的性质图形

条件a⊥α,b⊂αa⊥α,b⊥α结论a⊥ba∥b知识点2直线与平面所成的角1.定义:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角,叫做这条直线和这个平面所成

的角.2.直线l与平面α所成角θ的取值范围:直线l和平面α的位置关系l⊂α或l∥αl⊥αl和α斜交θ的取值范围θ=0°θ=90°0°<θ<90°3.最小角定理:平面的斜线和它在平面内的射影所成的角是这条斜线和这个平面内任

一条直线所成角中最小的角.知识点3平面与平面垂直的判定与性质1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角在二面角的棱上任取一点,以此点为垂足,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,

这两条射线所组成的角叫做二面角的平面角.若记此角为θ,当θ=90°时,二面角叫做直二

面角.(3)二面角的取值范围:[0,π].2.面面垂直的判定与性质(1)面面垂直的判定图形

条件OA⊂α,OB⊂β,α∩β=l,OA⊥l,OB⊥l,

且∠AOB=90°l⊂β,l⊥α结论α⊥βα⊥β(2)面面垂直的性质图形

条件α⊥β,α∩β=a,l⊂β,l⊥aα∩β=l,α⊥γ,β⊥γ结论l⊥αl⊥γ知识拓展

1.三垂线定理及其逆定理(1)三垂线定理:在平面内的一条直线,如果与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影

垂直,那么它也与这条斜线垂直.(2)三垂线定理的逆定理:如果平面内一条直线与该平面的一条斜线垂直,那么这条直线

也垂直于这条斜线在平面内的射影.2.空间平行、垂直关系之间的转化即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)若平面α垂直于平面β,则平面α内任一条直线必垂直于平面β.

()(2)如果直线垂直于平面内无数条直线,则直线与该平面垂直.

()(3)若平面α与平面β垂直,直线m⊥β,则m∥α.

()(4)若直线l与平面α相交,则该直线l与平面α所成角的取值范围是

.

()

√

✕

✕

✕

2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角

的正切值为_________.3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A1-BD-A的正切值是_________.

考点清单考点直线、平面垂直的判定与性质角度1直线与平面垂直的判定或证明典例1如图,在三棱锥A-BCD中,CB=CD,AB=

,平面ABD⊥平面BCD,点O在BD上,且BO=1,OD=3,AO=1,点P在AD上,且满足CP⊥BD.(1)求证:AO⊥平面BCD;(2)求

的值.解析

(1)证明:在三角形ABO中,AB=

,BO=1,AO=1,所以AB2=BO2+AO2,则AO⊥BD.因为平面ABD⊥平面BCD,AO⊂平面ABD,平面ABD∩平面BCD=BD,所以AO⊥平面BCD.【面面垂直的性质定理】(2)取BD的中点E,连接CE,PE,因为CB=CD,所以CE⊥BD,又CP⊥BD,CP∩CE=C,CP,CE⊂平面CPE,所以BD⊥平面CPE.【线面垂直的判定定

理】因为EP⊂平面CPE,所以EP⊥BD.在△ABD中,由(1)知AO⊥BD,所以AO∥PE.因为BO=1,OD=3,所以OE=1,ED=2,因此

=

=

.

方法总结判定或证明直线与平面垂直的方法1.利用线面垂直的判定定理:l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒l⊥α(主要方法).2.利用平行的传递性:a∥b,a⊥α⇒b⊥α.3.利用面面垂直的性质定理:α⊥β,α∩β=a,l⊂β,l⊥a⇒l⊥α(主要方法).4.利用面面平行的性质:α∥β,a⊥β⇒a⊥α.5.利用面面垂直的性质:α⊥γ,β⊥γ,β∩α=l⇒l⊥γ.变式训练1.(设问条件变式)(2025届江苏苏锡常镇二模,16)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=2,

BC=2

,∠ABC=45°,BC1⊥AC.(1)证明:AC⊥平面ABC1;(2)若CC1=2

,二面角C1-AC-B的大小为60°,求直线BC1与平面AA1B1B所成角的正弦值.

解析

(1)证明:∵AB=2,BC=2

,∠ABC=45°,∴由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos45°=4+8-2×2×2

×

=4,∴AC=2,∴AB2+AC

2=BC

2,∴AC⊥AB,又∵AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1,∴AC⊥平面ABC1.【线面垂直的判定定

理】(2)∵AC⊥平面ABC1,C1A,AB⊂平面ABC1,∴AC⊥C1A,AC⊥AB,∴二面角C1-AC-B的平面角为∠BAC1,∴∠BAC1=60°.在Rt△ACC1中,CC1=2

,AC=2,∴AC1=

=

=2=AB,∴△ABC1为等边三角形,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分别为x,y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),C1(1,0,

),则

=(-1,0,

),

=(2,0,0),由

=

⇒A1(1,-2,

),则

=(1,-2,

),设平面AA1B1B的法向量为n=(x,y,z),∴

令y=

,则z=2,故n=(0,

,2),设BC1与平面AA1B1B所成角为θ,∴sinθ=|cos<

,n>|=

=

=

.

角度2平面与平面垂直的判定或证明典例2

(2025届安徽六安一中适应考,16)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,

AD=2,PA=DC=BC=1,AD∥BC,∠BCD=90°,且PA⊥AB,PD⊥CD.(1)证明:平面PAB⊥平面ABCD;(2)求二面角B-PC-D的平面角的余弦值.

解析

(1)证明:因为四边形ABCD为直角梯形,且∠BCD=90°,AD∥BC,所以CD⊥AD,又

CD⊥PD,AD∩PD=D,AD,PD⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD,因为PA⊂平面PAD,所以PA⊥CD,又PA⊥AB,AB,CD⊂平面ABCD,且由梯形ABCD知AB,CD必定相交,所以PA⊥平面ABCD,又PA⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD.【面面垂直的判定

定理】(2)如图,过点A作AF⊥BC交CB的延长线于点F,连接PF,则F∈平面PBC,故二面角F-PC-D即为二面角B-PC-D.建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则F(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,1),C(1,2,0),∴

=(-1,-2,1),

=(-1,0,0),

=(0,-2,0).设平面FPC与平面PCD的法向量分别为m=(x1,y1,z1),n=(x2,y2,z2),则

令x1=1,则m=(1,0,1),令z2=2,则n=(0,1,2),∴cos<m,n>=

=

=

.由于二面角B-PC-D的平面角为钝角,故二面角B-PC-D的平面角的余弦值为-

.方法总结判定或证明平面与平面垂直的方法1.利用面面垂直的判定定理:l⊥α,l⊂β⇒α⊥β(主要方法).2.利用面面垂直的定义(作出两平面构成的二面角的平面角,并计算该平面角的大小为

90°).3.利用平行的传递关系:α∥β,α⊥γ⇒β⊥γ.变式训练2.(情境模型变式)(2026届湖南长沙南雅中学开学考,16)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1

中,底面ABCD是边长为2的菱形,AA1⊥平面ABCD,∠ABC=60°,AA1=A1B1=1,E是BC的中

点.(1)证明:平面ADD1A1⊥平面AD1E;(2)求平面A1D1E与平面AD1E夹角的正切值.

解析

(1)证明:因为底面ABCD是菱形,∠ABC=60°,E是BC中点,所以AE⊥BC,又AD∥

BC,所以AE⊥AD.因为AA1⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以AA1⊥AE.因为AA1,AD⊂平面AA1D1D,且AA1∩AD=A,所以AE⊥平面AA1D1D.因为AE⊂平面AD1E,所以平面ADD1A1⊥平面AD1E.(2)由(1)知AE⊥AD,因为AA1⊥平面ABCD,所以AE,AD,AA1两两垂直.以A为原点,AE,AD,AA1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则E(

,0,0),A1(0,0,1),D(0,2,0),D1(0,1,1),则

=(0,1,0),

=(

,0,-1),因为AE⊥平面ADD1A1,DD1⊂平面ADD1A1,所以AE⊥DD1,在直角梯形A1ADD1中,∠A1AD

=90°

,

AA1=A1D1=1,

AD=2,所以AD