2027届高三数学一轮复习课件：第十章　10.3　二项分布、超几何分布及正态分布

第十章概率10.3二项分布、超几何分布及正态分布知识清单考点清单目录CONTENTS知识清单知识点1

n重伯努利试验与二项分布1.n重伯努利试验(1)定义:将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.(2)用Ai(i=1,2,…,n)表示第i次试验结果,则P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An).2.二项分布一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1),用X表示事件

A发生的次数,则X的分布列为P(X=k)=

pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n).如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).3.二项分布的均值与方差若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p).知识点2超几何分布1.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用

X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)=

,k=m,m+1,m+2,…,r.其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具

有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.2.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则E(X)=

.提醒

“二项分布”与“超几何分布”的区别:有放回抽取问题对应二项分布,不放回

抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.知识点3正态分布1.正态曲线和正态分布函数f(x)=

,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.2.正态曲线的特点(1)曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.(2)曲线在x=μ处达到峰值

.(3)当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴.(4)曲线与x轴之间的区域的面积总为1.(5)在参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图①

所示.(6)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随

机变量X的分布比较集中;σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布

比较分散,如图②所示.

3.正态分布的均值与方差若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.4.3σ原则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.即练即清1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”)(1)一个盒中装有4个黑球、3个白球,从中任取一球,若是白球则取出来,若是黑球则放

回盒中,直到把白球全部取出来,设取到黑球的次数为X,则X服从超几何分布.

(

)(2)在n重伯努利试验中,各次试验的结果相互没有影响.

()(3)在n重伯努利试验中,各次试验中事件发生的概率可以不同.

()(4)如果在1次试验中某事件发生的概率是p,那么在n重伯努利试验中这个事件恰好发

生k次的概率P(X=k)=

pk(1-p)n-k(k=0,1,…,n).

()

√

✕

√

✕2.如果随机变量X~N(6,4),则P(X≤2)约等于()(注:P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545)A.0.210

B.0.0228

C.0.0456

D.0.0215

B

3.某试验每次成功的概率为p(0<p<1),现重复进行10次该试验,则恰好有7次试验未成功

的概率为_________________.

p3(1-p)7

4.已知某批产品共100件,其中二等品有20件.从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中

二等品的件数,试填写下列关于ξ的分布列.ξ012P(ξ=k)

考点清单考点1二项分布典例1

(2026届浙江湖州南太湖双语学校开学考,18)某学校为了提升学生学习数学的

兴趣,举行了“趣味数学”闯关比赛,每轮比赛从10道题中任意抽取3道回答,每答对一

道题积1分.已知小明同学能答对10道题中的6道题.(1)求小明同学在一轮比赛中所得积分X的分布列和期望;(2)规定参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,若参赛者每轮闯关成功的概

率稳定且每轮是否闯关成功相互独立,问:小明同学在10轮闯关比赛中,闯关成功几次的

概率取值最大?解析

(1)由题意,X的可能取值为0,1,2,3,所以P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

,所以X的分布列如下:X0123P

所以E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

=

.(2)参赛者在一轮比赛中至少积2分才视为闯关成功,记概率为P=

+

=

,记小明在10轮闯关比赛中,闯关成功的次数为Y,则Y~B

,故P(Y=k)=

=

·

,k=0,1,…,10,则

所以

则

解得

≤k≤

,即k=7.故小明在10轮闯关比赛中,闯关成功7次的概率取值最大.方法技巧二项分布的应用二项分布的简单应用是求n重伯努利试验中事件A恰好发生k次的概率.解题的一般思

路是:(1)根据题意设出随机变量;(2)分析出随机变量服从二项分布;(3)找到参数n,p;(4)写出二项分布的分布列;(5)将k值代入求解概率.变式训练1.(情境模型变式)从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸

取一球,有放回地摸取5次,设摸得的白球数为X,已知E(X)=3,则D(X)=

(

)A.

B.

C.

D.

B

解析由题意,知X~B

,所以E(X)=5×

=3,解得m=2,所以X~B

,所以D(X)=5×

×

=

.故选B.考点2超几何分布典例2

(2026届江苏扬州七校联盟联考,15)在深化课程改革、推动教育高质量发展的

新阶段,命题能力已成为教师专业发展的关键能力,某地开展2025年学科教师命题能力

高质量研修提升培训会,参会人员包括300名经验丰富教师(年龄在35岁及以上的教师),

200名经验不丰富教师(年龄在35岁以下的教师),会后均参加相关知识考核,考核结果为

优秀、合格两种情况,统计并得到如下列联表:

经验丰富教师经验不丰富教师总计优秀200150350合格10050150总计300200500(1)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为这次考核结果与经验丰富与否有关?(2)若从参会人员中,采用分层抽样的方法随机抽取10名教师,再从这10名教师中随机抽

取4人进行调研,设抽取的4人中经验不丰富教师的人数为X,求X的分布列和数学期望.附:χ2=

,其中n=a+b+c+d.解析

(1)零假设为H0:认为这次考核结果与经验丰富与否无关,由题意得χ2=

≈3.968<6.635,所以根据小概率值α=0.01的独立性检验,没有充分证据推断H0不成立,因此可以认为H0

成立,即不能认为这次考核结果与经验丰富与否有关.(2)由题意,10名教师中经验丰富的教师人数为10×

=6人,经验不丰富的教师人数为10×

=4人,则X的可能取值为0,1,2,3,4,P(X=0)=

=

,P(X=1)=

=

,P(X=2)=

=

,P(X=3)=

=

,P(X=4)=

=

,X的分布列如下:X01234P

所以E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

+4×

=

.方法技巧超几何分布的判断与应用1.随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布,则满足如下条件:(1)该试验是不放回地抽取n次;(2)随机变量X表示抽取到的次品件数(或类似事件),反之

亦然.2.求超几何分布的分布列的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;(3)列出分布列.变式训练2.(关键元素变式)根据2024城市魅力排行榜,一线城市4个,分别为上海、北京、深

圳、广州;新一线城市15个,分别为成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长

沙、天津、郑州、东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的

超大城市10个,分别为上海、北京、深圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、

杭州.(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市,求该城市是一线城市的概率;(2)从10个超大城市中按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量X表示新一线

城市的数量,求随机变量X的分布列和期望;(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,随机变量Y表示新一线城

市的数量,比较E(X)与E(Y)的大小关系.(直接写出结果)解析

(1)10个超大城市中包含4个一线城市,所以从10个超大城市中随机抽取一座城市,该城市是一线城市的概率为

=

.(2)10个超大城市中包含6个新一线城市,则X所有可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=

=

=

,P(X=1)=

=

=

,P(X=2)=

=

=

,P(X=3)=

=

=

,所以X的分布列为X0123P

E(X)=0×

+1×

+2×

+3×

=

.(3)E(X)=E(Y).理由如下:从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市,则随机变量Y服从

二项分布,即Y~B

,则E(Y)=3×

=

,所以E(X)=E(Y).考点3正态分布典例3

(2025届湖南名校联合体模拟(一),15)在一条生产圆钢的生产线上,出产的成品

圆钢的长度为ξ(单位:m,下同),且ξ~N(2,0.012).(1)若出产这样的成品圆钢10000根,试估计长度在[1.97,2.03]内的圆钢根数;(2)从这条生产线上出产的圆钢中随机抽取2根,求这两根圆钢其中一根的长度在区间

[1.98,1.99),另一根的长度在区间[2,2.02]内的概率(精确到0.01).参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973.解析

(1)由已知得,μ=2,σ=0.01,所以P(1.97≤ξ≤2.03)=P(μ-3σ≤ξ≤μ+3σ)≈0.9973,所以长度在[1.97,2.03]内的圆钢根数约为10000×0.9973=9973.(2)圆钢的长度在区间[1.98,1.99)的概率为P1=P(1.98≤ξ<1.99)=P(μ-2σ≤ξ<μ-σ)=

[P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)-P(μ-σ≤ξ≤μ+σ)]≈0.1359,圆钢的长度在区间[2,2.02]内的概率为P2=P(2≤ξ≤2.02)=P(μ≤ξ≤μ+2σ)=

P(μ-2σ≤ξ≤μ+2σ)≈0.47725,因此这两根圆钢其中一根的长度在区间[1.98,1.99),另一根的长度在区间[2,2.02]内的

概率为P=2P1P2=2×0.1359×0.47725≈0.13.解题技巧正态分布问题的解题策略1.利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围的边界值与正态变量的μ,σ进

行对比联系,确定它们属于[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ]中的哪一个.2.利用正态曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x=μ

对称,及曲线与x轴之间的区域的面积总为1.注意活用下面两个结论:(1)P(X<a)=1-P(X≥a);(2)P(X<μ-σ)=P(X>μ+σ).变式训练3.(设问条件变式)已知随机变量ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤-1)=P(ξ≥a),则

+

(0<x<a)的最小值为

()A.

B.

C.

D.16

B

解析因为ξ~N(1,σ2),且P(ξ≤-1)=P(ξ≥a),又P(ξ≤1-2)=P(ξ≥1+2),所以a=3.所以

+

=

[x+(3-x)]

=

,因为0<x<3,所以

≥

=

,当且仅当

=

,即x=

时取等号.故

+

的最小值为

.故选B.4.(情境模型变式)为了研究学生的性别和是否喜欢跳绳的关联性,随机调查了某中

学的100名学生,整理得到如下列联表:

男学生女学生合计喜欢跳绳353570不喜欢跳绳102030合计4555100(1)依据α=0.1的独立性检验,能否认为学生的性别和是否喜欢跳绳有关联?(2)已