三角函数的图像与性质

三角函数的图像与性质

知识点

1周期函数

一般地，对于函数/(%),如果存在一个非零常数兀使得定义域内的每一个工值，都满足

/(x+T)=/(X),那么函数/(乃就叫做周期函数，7叫做该函数的周期.

PS

①从解析式/(x+7)=/'(%)来看：任一自变量无对应函数值y与％增加T后对应函数值相

等：

②从图象看：整体函数图象是由一部分图象像“分身术”一样向两边延申，而那一部分图象的

水平长度就是其正周期！

TOW29

③三角函数就是典型的周期函数.

2正弦函数，余弦函数的图像与性质

注表中的“WZ

y=sinxy=cosx

2

图像K―.

-X-J717575

定义域R

R

值域[-1山

当x=]+2上兀时，ymax=1；

当x=2攵兀时，ymax=1；

最值

当％=一]+2尿时，ymin=-1.当x=7T+2kn•时，ymin=-1.

周期性27r27r

(而+],o)

对称中心(kn,0)

7T

对称轴x=kn+—x=kn

2

在卜/2而，升2则上是增函数；

在［-7i+2kzr,2"］上是增函数；

单调性

在楂+2/CTT,手+2时上是减函数.在［24兀，7T+2攵兀］上是减函数.

3正切函数的图像与性质

注表中的k£Z

y=tanx

图像

定义域{x\x*/C7T+-]

值域R

最值既无最大值也无最小值

周期性n

修，。）

对称中心

对称轴无对称轴

单调性在（而一/"+］）上是增函数

典型例题

1、下列函数中，关于直线对称的是（）

TTTC

A.y=sin{x4-B.y=sin（2x+-^）

C.y=cos（x4-守）D.y=cos（2x4-

【答案】D

【解析】将工=一轴入y=cos(2x+引，得函数值为1,

故％=一看是”C0S(2x-引的一条对称轴，

故选：D.

2、关于函数/(乃=|siru|+cosx有下述四个结论:

①/Q)是周期函数；②fQ)的最小值为一遮；

③/㈤的图象关于y轴对称；④f(x)在区间单调递增.

其中所有正确结论的编号是()

A.®@8.①③C.②③D.②④

【答案】B

【解析】函数f(x)=+cos%,其中|sinx|的周期为yr,cos2x的周期为2兀，所以函数

的最小正周期为2a故函数为周期函数.①/•(%)是周期函数：正确.

②函数的最小值为一1,所以：f(x)的最小值为-企；错误.

③由于f(f)=/(x),f(x)的图象关于y轴对称；

④/(%)在区间(为今)单调递减.故错误.

故选：B.

3、已知函数/(%)=si7l(3%+@)3>0,0V尹V刍的最小正周期为7T,且关于(一看,0)中心

对称，则下列结论正碓的是()

力.”1)</(0)<f(2)B./10)</(2)</⑴

C./⑵</(0)</(I)D.f(2)</(I)</(0)

【答案】D

【解析】•.•函数的最小周期是♦•・==加得3=2,

0)

则/1k)=sin(2x+(p),

•・•/(%)关于(-1⑨中心对称,

2x(—3)+3=k/r,keZ,即@=%加+?keZ,

0<9V夕

.,.当k=0时，<p=%即/(x)=sin(2x4-卞，

则函数在［一生会上递增，在盛，上递减，/⑼=/'(*)，

.••/■€)〉/⑴>f(2),即/'(2)Vf(l)</(0),

故选：D.

4、设/(x)=3sin3无一切+1,若/(%)在［T,即上为增函数，则3的取值范围是

【答案】(0,1］

【解析】设/(%)=3sin(sr-金)+1,在［一日看］上,侬％-金£［—等1-金，—

5

COTI71n<-

co-4

由于/(%)为增函数，，7

_rr_7T

am_3-<-

~6~~12-22

求得0<34，故选：D.

5、已知函数/㈤=3sE(s:+看)(3>0)在(0,5)上单调递增，则3的最大值是.

【答案】4

【解析】由函数/(x)=3si%®x+V)®>0)在区间(0,台)上单调递增，

可"得仓+看三夕求得3<4>故3的最大值为4.

基础题型训练

一、单选题

1.函数/(x)=log/的图象与函数g(x)=sinG的图象的交点个数是

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】画出两个函数的图像，由此确定两个图像交点的个数.

【详解】依题意，画出两个函数的图像如下图所示，由图可知，两个函数图像有3个交点,

【点睛】本小题主要考查指数函数和三角函数的图像的画法，考查数形结合的数学思想方法,

属于基础题.

2.下列函数最小正周期为〃的是()

B.y=-^cos(2.v)

D.y=tan(2x)

【答案】B

【分析】根据三角函数的性质计算可得：

I(1Ar---4^-

【详解】解：对于A,y=)n3X的最小正周期/-1-M,故A错误；

2I幺/2

对于B：y=gcos(2x)的最小正周期7=葛=不，故B正确；

对于C：y=2tanf：x]的最小正周期「一彳一？"，故c错误；

【2J2

对于D：y=tan(2x)的最小正周期T=],故D错误；

故选：B

3.已知函数/(x)=x?-x-asin/rx+1有且仅有一个零点，则实数。=()

134

A.-B.-C.-D.2

243

【答案】B

【分析】将零点问题转化为函数g(x)=——x+l与"x)=asinc的图象的交点问题，数形

结合得出。.

【详解】由/(x)=--x-qsinG+1=0得，x2-x+\=asin7rx

当时，函数g(x)=i-x+l与"x)=asin;rx的图象如卜.图所示

当a=()时，方程x2-x+1=asin7TX=0无解

当q>0时，函数g(x)=x?-x+1与〃(x)=asin;rx的图象如下图所示

要使得只有一个交点，必须g-=h-,即:=asing,4=；

U；UJ424

故选：B

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于将函数的零点问题转化为两个函数图象的交点问题,

数形结合得出。的值.

4.下列函数中，周期是九且在总上是减函数的是

A.y=sin（x+：）B.y=cos（x+：）

C.y=sin2xD.y=cos2x

【答案】D

【分析】根据三角函数的周期性与单调性，逐项判断，即可得出结果.

【详解】对于A,此函数的周期为2兀，排除A；

对于B,此函数的周期为2冗，排除B；

对于C,此函数的周期为加，在一个周期［0,扪内，其单调递减区间为学］,排除C；

44

对于D,此函数的周期为兀，在•个周期电利内，其单调递减区间为［。之•

故选D

【点睛】本题主要考查三角函数的性质，熟记三角函数的周期性与单调性即可，属于常考题

型.

5.下列函数①y=sin（2x+^；②尸sin（x+?］；③尸cos|2x|；@y=tan^2x-^；

（5）y=|tanA-|;⑥y=sink|中最小正周期为4的函数的个数为（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】B

【解析】根据正、余弦函数的最小正周期公式7=而以及正切函数的最小正周期7=向，

并且正弦、余弦整体带绝对值，周期减半，正切整体带绝对值，周期不变，逐一判断即可.

【详解】①ksinbT最小正周期为彳二九，①正确.

②因为sin0-T卜卜卡+外同闻,

④y=tan（2x-7J最小正周期为④不正确.

⑤），二随1乂，故周期为不，如图：

⑤正确.

⑥^二如中］为偶函数且无周期，⑥不正确.

故选：B

6.声音是由于物体的振匆产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音.若一个复

合音的数学模型是函数/⑶=sinx+；sin2，x£R）,则下列结论正确的是（）

A./（x）的一个周期为兀B.7"）的最大值为:

C./（力的图象关于直线'=兀对称D./⑺在区间［0,2可上有3个零点

【答案】D

【分析】A.代入周期的定义，即可判断;

x值，即可判断：

C.代入对称性的公式，即可求解：

D.根据零点的定义，解方程，即可判断.

sin(x+7t)+ysin2(x+n)=-sinx+gsin2xH/(X)

【详解】A./（X+71）=故A错误;

B.y=sinx,当工=马+2h，左eZ时，取得最大值1,>=-sin2x,当2》=4+2府，keZ

222

时，即x=：+E,%wZ时，取得最大值所以两个函数不可能同时取得最大值，所以/（x）

的最大值不舄，故B错误;

C./(2兀一x)=sin(27i-x)+；sin2(2?r-x)=-sin.gsin)工/'(),所以函数/(x)的图象不

关于直线彳=冗对称，故C错误;

g|Jsinx(l+cosx)=0,xe[O,27i],

即sinx=0或cosx=-l,解得：x=0,n,2it,

所以函数/（x）在区间［0,2可上有3个零点，故D止确.

故选：D

二、多选题

7.若函数/'（x）=sin（69x）的最小正周期为4瓦，则外的值可能是（）

A.2B.vC.--D.-2

22

【答案】BC

【解析】根据周期公式求解即可.

【详解】因为函数/（x）=sin（8）的最小正周期为4兀

叽mi-2乃2笈1,I

所以131=弁=1=7，3二±彳

74乃22

故选：BC.

【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.

8.下列函数中，以2乃为最小正周期的函数有（）

JVJV

A.y=COS|2A-|B.=sin—C.=|sin2x|D.y=tan—

22

【答案】BD

【分析】依次求出每个函数的周期即可.

【详解】^=cos|2x|=cos2x,其最小正周期为年=乃，

y=sii0的最小正周期为M，所以y=si*的最小正周期为2不，

y=sin2x的最小正周期为"，所以y=卜布2M的最小正周期为£

N=tan；的最小正周期为T二/兀

25

故选：BD

三、填空题

9.函数），=也的11.丫-85幻的定义域为

【答案】（2%笈+1,2%笈+¥）,“€2

44

【详解】sinA-cosx>041sin(x--)>0

4

2k兀<x-—<2k兀+7r(keZ),即定义域为(2Z;r+工，2£笈+'),〃eZ

444

10.函数y=-2sin2x+?)的对称轴是.

■—,>.kjt7T〜

【令案t】x=+飞,kfwZ

jrTT

【分析】解出方程2x+L/kZ即可得到答案.

【详解】令2X+?=AN+；,&WZ,解得x=£+JeZ

所以函数y=-2sin（2x+?的对称轴是X=~^~+—€Z

故答案为：X=y+p^eZ

11.函数尸cos2x-6sin.r最大值为

【答案】5

【分析】利用二倍角公式，得至IJ函数歹=-2sin\-6sin.x+l再令f=sinxe[-l,l],得到

y=-2r2-6/+l,re[-l,l],利用二次函数的单调性得到最值.

【详解】函数尸cos2x-6sinx

=-2sin:x-6sinx+l,

=sinxe[-l,l]

贝ijy=_2/_6/+l,/e卜1,1]

3

为开口向下，对称轴为"-彳

2

所以函数在上单调递减，

2

所以在/=-1时，为1K=-2X(-1)-6X(-1)+1=5

故答案为：5.

【点睛】本题考查余弦的二倍角公式，正弦函数与二次函数复合求最大值，属于简单题.

12.已知函数/(x)=-2cos2x+2cosx,”€[0,可的值域为[o,；],则实数〃的取值范围为

【答案】\/a|——

JJ,

【分析】由题意，可令LCOSX,将原函数变为二次函数，通过配方，得到对称轴，再根据

函数的定义域和值域确定实数。需要满足的关系，列式即可求解.

【详解】设/=COSX,则j,=_2r+2f=-2，一3+；,

・・・”0,1,诅OM].1必须取到卜・・・〃吟,

又x=g时，1=0,y=0,

故答案为：

四、解答题

13./(x)=2\/3COS69X-COSa)x+—+2§而3(3>0)最小正周期是“

⑴求⑴的值；

(2)求函数/*)的单调增区间.

【答案】(1)⑪=1

(2)%兀+/E+$(kGZ)

【分析】(1)利用正弦和余弦的二倍角公式及其辅助角公式即可变形为

/(x)=-2sin^2<yx+^+l,再利用正弦函数的周期公式即可求出⑴的值;

(2)利用正弦函数的性质直接求其单调递增区间即可.

⑴

f(x)=-2百cosoxsintyx+l-cos%x

=-Gsin2cox-cos2a)x+1

=-2sin2(DXCOS-+sin-cos2a)x\+1

I66)

.(瓦)i

=-2sin2<yx+—+1

I6j

则7=把=兀，即啰=1.

2co

⑵

解得痴+看4》《后兀+$•化€Z)

故的单调递增区间为妹+3痴+§仔")

o3J

14.已知函数y=4sin(8+>X4>O，0>O，SI〈0的最小正周期为耳,最小值是2,且图像

过点求这个函数的解析式.

【答案】y=2sin卜x+q或y=2sin,x-等.

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出w,由零点坐标求出。的值，可得函

数的解析式.

【详解】解：由函数…加(由+砌/>0,3>0,［例<")的最小正周期为杯，最小值为-2,

可得—=—,<y=3且4=2,

CD3

所以y=2sin(3x+。)

乂图象过点(5等乃,。)，可得3x期•+0=Qr,keZ,解得。=后乃一葛，AGZ,

9

因为1*1<乃，所以当〃=2时e=函数的解析式为y=2sin(3x+?卜

当斤=1时3=-4，函数的解析式为N=2sin(3x—?、.

(X

15.已知函数/(x)=2sinx+£+1.

k6J

(1)求函数/(x)的单调电增区间：

(2)若g(x)=/(2r+?xef-py,求函数g(x)的最值.

【答案】(1)2^-y,2^+yl(^GZ)；(2)最小值「百；最大值3.

【分析】(1)由""-13+千工2%乃+式上eZ)即可求出单调递增区间;

/\

(2)求得g(x)=2sin+1,根据正弦函数的性质即可求出最值.

/\

【详解】解：(1)/(x)=2sinx+.+1,

由2k兀——<x+—<2k4eZ),得2k冗——KxK2A'乃+§(Ar€Z),

所以函数/(x)的单调递增区间为2^-y,2^+0Z:eZ).

(2)g(M=/(2x2sin2x+—\+1.

琮卜3J

因为xe-，所以2x+ge—$万

JJJJ

当2x+9=-g即x=-9时，g(x)取得最小值1—百;

当2x+g=g,即彳=看时，g(x)取得最大值3.

16.已知函数/(x)=4sin3x+c)(4>0,/〈乃)的一段图象如图所小.

(1)求函数/(x)的解析式；

(2)若XW，求函数/⑴的值域.

/QX

【答案】⑴/(x)=2sin(2x+亍4(2)［一及二］

【分析】(1)由函数/(x)的一段图象求得A、T、3和3的值即可；

(2)由-导求得2x+学的取值范围，再利用正弦函数的性质求得/(幻的最大和

_84J4

最小值即可.

【详解】解：(1)由函数/(x)=4sin3x+e)的一段图象知,

,-.T=—=7T,解得0=2,

CO

乂x=q时,2sin(-兀^x2+^j=2,-0=］+2而，(AwZ),解得9=,+2无力，(1eZ)；

84

Q冏＜乃，夕=半

・•・函数/(x)的解析式为f(x)=2sin[2x+^j

2x+3H54

(2)当£时，Ven

o4Q°'T，

令2x+［=f,解得“一£,此时〃x)取得最大值为2；

4Zo

令2x+f弓，解得片不此时g)取得最小值为

・•・函数/(x)的值域为［-0,2：.

【点睛】本题考查了函数〃x)=4sin(/yx+0)的图象和性质的应用问题，属于基础题.

提升题型训练

一、单选题

1.根据函数”sinx的图像，可得方程sinx=O的解为（）

A.x=2kn（AuZ）B.x=k冗（Z:cZ）

C.x=—+kit（"wZ）D.x=—+2k^（keZ）

22

【答案】B

【分析】结合正弦函数y=sinx的图象和正弦函数的性质即可求出结果.

【详解】由题意和正弦函数y=sinx的图象可知，sinx=O可得x=左不（keZ）.

故选:B.

2.若函数八sin"-?）在［0,向上单调递增，则机的最大值为（）

A.；B-JC-|D.1

【答案】C

【分析】由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围.

【详解】由y=sin1;rx-2）,可得当-£+2々江工公」七《七+24乃,£62时函数单调递增,

k6；262

即xe—g+2〃,：+2左、keZ,

'12"

当k二0时，xe,

又函数在［0,向，

2

所以

即〃?的最大值为：，

故选：C.

8sinx,x<n

3已知/（、）=?（…）…，则如）=叱5、）的零点个数为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】令g(x)=O,可得出lg(x+l)=/(x),则函数J，=g(x)的零点个数等于函数

y=lg(x+l)与函数歹=/(x)图象的交点个数，利用数形结合思想可得解.

【详解】令g(x)=O,可得出lg(x+l)=/(x)，则函数」=g(x)的零点个数等于函数

y=lg(x+l)与函数歹二/(x)图象的交点个数，且当x>9时，lg(x+l)>l.

在同一直角坐标系中作出函数歹=lg(x+l)与函数y=/(x)的图象如下图所示：

由图象可知，两个函数共有7个公共点，

因此,函数g(x)=lg(x+l)-的零点个数为7.

故选：C.

【点睛】本题考查函数零点个数的求解，一般转化为两个困数图象的交点个数，利用数形结

合思想求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.

4.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的图案，它形象化地表达了阴阳轮转、相反相成是万物

生成变化根源的哲理，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，

在平面直角坐标系中，圆。被函数y=2singx的图象分割为两个对称的鱼形图案(如图)，其

O

中阴影部分小圆的周长均为4不，现从大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为()

1

D.8-

【解析】根据几何概型的概率公式，求出大圆的面积和小圆的面积，计算面积比即可.

=2-

【详解】由已知，可得大圆的直径为y=3sin£x的周期，由百丁，

88

可知大圆半径为8,

则面积为S=64n,

一个小圆的周长/=2夕=4.」=2故小圆的面积S,=n*22=4n,

在大圆内随机取一点，此点取自阴影部分的概率为：

故选：D.

【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题，关键是明确测度比为面积比，是基础题.

5.函数y=cos2x-cosx-2(xwR)的值域为()

「49)」25、「49」「25/|

[16)L8)L16」L8」

【答案】D

【分析】利用余弦的倍角公式，将函数转化，利用二次函数的图象和性质即可得到结论.

【详解】y=cos2xcosjt2=2co$xcosx3,

令，=cosx,则Ze卜1,1],

「•函数转化为y=2『-L3=2；/；-y,

125

时，Jmin=一丁，/=-1时，^=0,

4o

-25-

..・函数的值域为-k,0.

O

故选：D.

【点睛】本题主要考查函数的值域的计算，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键,

需要用换元法进行转化.

6.已知函数/(x)=x|x|,则下列命题错误的是()

A.函数/(sinx)是奇函数，且在(-［：)上是减函数

22

B.函数$in(/(x))是奇函数，且在(-；,；)上是增函数

C.函数/(cosx)是偶函数，且在(0,1)上是减函数

D.函数cos(/(x))是偶函数,且在(-1,0)上是增函数

【答案】A

【分析】根据/国的奇偶性和正余弦函数的奇偶性可判断复合函数/(sinx)、sin(/*))、/(cosx)、

cos(/(x))的奇偶性，根据复合函数单调性判断方法即可判断它们的单调性.

【详解】对于/(x)=x|x|,定义域为R关于原点对称，

且/(t)=T卜M=-x\x\=-f(x),

・•・/(x)是奇函数,

又丁=4微是奇函数，y=cosx是偶函数,

.•./(si")和sin(/(x))是奇函数，/(cosx)和cos(/(x))是偶函数,

x2»x..O

又/(x)=MM=、

-x2,x<0

.•J(x)在R上是增函数,

•.•y=si!U•在卜器)上是增函数，…网在(0,1)上是减函数，

.•./(sinx)在上是增函数，/(cosx)在(0,1)上是减函数，故A错误，C正确:

••・y=simr在J］上单调递增，

.•.sin(/(x))在上单调递增，故B正确;

当x«-l,o)时,/(X)€(-1,O),

•••y=COS,X在(-1,0)上单调递增,

.•.cos(/(x))在(-1,0)上单调递增，故D正确.

故选：A.

二、多选题

7.函数/(幻=/sin(s+山＞0,勿＞()弧＜今的部分图象如图，g蒋是/(x)的两个

\乙｝1/1N

相邻正零点，其中专是/(X)最小的正零点.则()

B./(x)=2sinf2x--^

C.曲线产/⑺的对称轴是-白kZ)

26

TT§冗

D./(X)在区间2^+-,2^+—(ZeZ)上单调递减

36

【答案】BCD

【分析】由图象可知4=2,3="-展求出周期7,再利用周期公式可求出口,再由;|是

/(X)最小的正零点可求出。的值，从而可求出/(x)的解析式，然后逐个分析判断.

【详解】由图象可知，=2,g*卡、，则7r

所以T青兀,

口＞0,得切=2,

所以/(x)=2sin(2x+0)|同＜：

因为三是/(X)最小的正零点，所以2sin(2x2+e]=0,则g+e=E,%eZ,

12\1276

因为|研＜9所以e=

26

所以/(x)=2sin(2x-》，所以A错误,B正确;

对于C,由2x」=-E+A7awZ,得工二」+幺,旌2,

6262

所以曲线y=/(x)的对称轴是X="<(“CZ),所以C正确；

26

对于D,由2+2®42x-XW型•+2加上wZ,M<x<—+kit,AreZ,

26236

所以/(%)的减区间为仁以"+小女"),

_3o

jr5jr

所以/(x)在区间2^+-,2^+—(keZ)上单调递减，所以D正确.

.36

故选：BCD

8.对于函数〃x)=Fn”，sm“次os》，下列说法中不正确的是

[cos.x,smx<cosx,

A.该函数的值域是卜15

B.当且仅当x=2/s+'(上uZ)时，函数取得最大值1

C.当且仅当x=2k/r-时，函数取得最小值一1

D.当且仅当2丘+不<.丫<2版■+技化eZ)时，/(x)<0

【答案】ABC

“、fsinx.sinx>cosx,

【分析】画出函数/x=.的图像，根据图像判断出结论不正确的选项.

cosX,sinx<cosx,

【详解】画出函数/(x)的图像如下图所示，由图像容易看出：该函数的值域是一冬;

当且仅当X=2Z乃+1或x=2〃*%wZ时，函数取得最大值1：当且仅当工二2左乃+斗，keZ

24

时，函数取得最小值一正；当且仅当然乃+乃<》<2女乃+兰，keZ时，〃力<0,可知A,B,C

22

不正确.

故选ABC.

【点睛】本小题主要考查利用三角函数图像研究三角函数的性质，考查数形结合的数学思想

方法，属于中档题.

三、填空题

9.函数》=2tan3x的最小正周期7=

【答案】y

【分析】直接利用公式求出结果.

【详解】函数N=2tan3x的最小正周期7=2.

故答案为：y.

10.函数/(.¥)=2sin2x+sin2x的最小正周期为.

【答案】兀

【分析】将三角函数进行降次，然后通过辅助角公式化为一个名称，最后利用周期公式得到

结果.

【详解】vf(x)=1~cos2x+sin2x=1+\/2sin^2x--j,:.T=^-=n.

【点睛】本题主要考查二倍角公式，及辅助角公式，周期的运算，难度不大.

/\

11.关于函数/(x)=4sin|/rx-g有如下四个命题：

①/“)的最小正周期为2；

②/3的图象关于点信0)对称；

=+则时的最小值为看

④/⑴的图象与曲线共有4个交点.

其中所有真命题的序号是.

【答案】①②④

【分析】结合正弦函数的性质判断各命题的真假.

【详解】由图可得：至=2,/(x)的最小正周期为2,①正确；

7T

/(Z)=4sin^-^=0,/*)的图象关于点对称，②正确；

离V轴最近的对称轴为x=-；,所以若/(a-x)=/(〃+x),则时的最小值为:，③错误；

7j_=3

在y轴右边离y最近的对称为x=；,/(字=4,而在(0,y)上是减函数,

X

因此“X)的图象在第一象限每个周期内与y=J的图象都有两个交点，在区间(!，?)上有两

X66

个交点，在区间(二,§)上有两个交点，从而在(0,学)上有4个交点，④正确；

666

故答案为：①②④.

【点睛】思路点睛：本题考查正弦型三角函数的性质，解题方法是利用正弦函数性质求得/(X)

的最小正周期，对称中心，对称轴，利用周期性确定函数图象交点个数，最终得出结论.

12.已知函数/(x)=sin,xc&,将函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的上倍

(纵坐不变)，得到函数g(x)的图象,则关于/(x)g(x)有下列命题:

①函数y=/(X)•g(x)是奇函数；

②函数y=/(x)・g(x)不是周期函数；

③函数y=/(x)・g(x)的图像关于点世，0)中心对称；

④函数y=/(x)-g。)的最大值为印.其中真命题为.

【答案】③

【详解】试题分析：由题知g(x)=sinx,所以/a)・ga)=sin5sinx,因为

/(-力g(r)=sinTsin(-x)=sin|sinx=/(x)•g(x)是偶函数，故①错，

因为/(x+2乃)g(x+2;r)=sin(乃产)sina+4])=sin；sinx=/(1)•g(x),周期为4%,故②

错，

因为设(Xo/o)是函数y=/'(x)g(x)图像上任意一点，则为=/(工箔(/)，该点关于仅，0)

2乃f

的对称点为(2乃-.%,-为)，所以，(2乃-Xo>g(2/r-Xo)=sinsin(2乃一.%)=-sin

FTsin

=-/&))g(Xo)=%，即点(2万-小,一及,)也在函数y=/(x)g(x)图像上，故y=/(x)g(i)图

像关于(TI,0)对称，③正确；

22

因为fW-g(x)=2sin-cos—=2(1-cos—)cos—,令/=cos±,则-lwtwi,

22222

y=fWg(x)=2t(\-t2)=2r-2/3(-l<t<l),所以"=2-&2=-6(f+母)(一亭),当・14q当

或更mu时，y<o,当・@VY立时，y>0,所以该函数在I,.立)，(立，1)

33333

上是减函数，在(•且，电)是增函数，当心且时，/ix)・g(x)取极大值也，因为当，=・1

3339

时，y=0,所以/(x)-g(x)的最大值为竽，故④错，所以正确的命题为③.

考点：周期变换，函数的周期性、奇偶性、对称性，函数最值，转化与化归思想

四、解答题

13.求y=l-sinx的最大，直、最小值，并指出取到最值时x的值.

【答案】当x=-^+2%笈时，乂侬=2；当X=]+2A;T,AGZ时，为m=0・

【分析】结合正弦函数的图象与性质，即可求解.

【详解】由题意，函数歹=「sinx,

当sinx=-l时，即x=9+2版•MeZ时，函数取得最大值%—2；

当sinx=l时，即尤='+2丘,〃wZ时，函数取得最小值为"0.

14.已知函数/(x)=T-sinx

⑴用"五点法"作出函数/。)=-1-411.口€[0,2乃]的图象；

出若8(、)=802.*+〃的，求出g(x)的最大值和最小值，并求出取得最大值和最小值时x的值.

【答案】⑴见解析

(2)见解析

【分析】(1)按照“五点法〃列表作图即可；

(2)通过同角三角函数关系得g(x)=-1inx+；J+；,利用二次函数的图象与性质即可得

到最值.

【详解】(1)列表如下：

it3兀

00712兀

2T

sinx010-i0

-1-sinx-1-2-10-1

对应的图象如图:

(2)g(x)=cos2,r+/(x)=cos2,r-l-sinx=1-sinx-1-sinx=-sin2.r-sinx

=-sinx+—+—,v-l<sinx<1,

I2)4

41一

故当sin."—；；时，g(x)的最大值为:，此时工=2%乃一?，ZeZ或工=2〃乃一£,kwZ；

2466

当sinx=1时，g(x)的最小值为一(]+g]+：=一2,此时