向量数量积的坐标运算课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.3向量数量积的坐标运算《人教B版2019高中数学必修第三册》探究新知我们知道，在平面直角坐标系中，分别给定与x轴、y轴正方向相同的单位向量e1,e2之后，如果对于平面内的向量a，有a=xe1+ye2（用两个规定方向的向量和表示向量a）则（x,y）就是向量a的坐标，记作a=(x,y).而且，{e1,e2}是一组单位正交基底，这就是说，

e1·e1=e2·e2=1,e1·e2=e2·e1=0因此a·e1=(xe1+ye2)·e1=xe1·e1+ye2·e1=x.类似地，有a·e2=y也就是说，a在单位正交基底{e1,e2}下的坐标为(a·e1,a·e2),如图所示．这也可通过向量数量积的几何意义看出来，请读者自行尝试.（提示：在单位向量e1,e2下向量a的坐标，就是在俩基底上的投影，即a·e1和a·e2）探究新知由向量坐标的定义可知，存在单位正交基底{e1,e2}，使得a=x1e1+y1e2,b=x2e1+y2e2因此a·b=(x1e1+y1e2)·(x2e1+y2e2)=x1x2e1·e1+x1y2e1·e2+y1x2e2·e1+y1y2e2·e2=x1x2+y1y2从而探究新知由此可知，利用向量的坐标可以迅速地算出向量的数量积.也就是说，根据向量的坐标，还能方便地算出它们的模以及夹角等.

探究新知在平面直角坐标系中，如果A(x1,y1)，B(x2,y2)，则这就是说，利用向量的数量积，同样可以方便地得出平面直角坐标系中两点之间的距离公式.

探究新知例1

已知a=(3,-1),b=(1,-2)，求a·b,|a|,|b|,〈a,b〉.

探究新知例2

已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0)，求∠BAC的余弦值

探究新知因为a⊥b的充要条件是a·b=0，因此

这就是说，利用向量的坐标与向量的数量积，可以方便地表达出向量垂直的条件.探究新知

探究新知

探究新知例5

如图8-1-13所示，已知正方形ABCD中，P为对角线AC不在端点上的任意一点，PE⊥AB,PF⊥BC，连接DP,EF.求证：DP⊥EF.

例5说明，建立合适的平面直角坐标系之后，可以方便地借助向量的坐标来解决有关几何问题.小结

练习A①已知向量a,b的坐标，分别求a·b,|a|,|b|和cos〈a,b〉(1)a=(4,-3),b=(-4,3);(2)a=(3,5).

b=(-5,3);(3)a=(12,5),b=(1,2);(4)a=(-11,2),b=(3,9).

练习A

练习A③求证：对任意实数k，向量k(-y,x)与向量（x,y）垂直.证明

因为

k(-y,x)·(x,y）=k(-yx+xy)=0所以对任意实数k，向量k(-y,x)与向量（x,y）垂直练习A

练习A

练习B①已知向量a=(1,-2),b=(1,λ)，若a与b的夹角为锐角，求λ的取值范围.

练习B②已知A(1,1),B(-3,4),C(0,8)，试求ΔABC三个内角的大小.

练习B③求与下列向量垂直的单位向量.(1)a=(3,4); (2)b=(-1,1);(3)c=(12,-5); (4)d=(8,-15)

练习B④已知向量a=(3,3),b=(-2,5)，求a在b上的投影的数量.

练习B

练习B

巩固提升

规律总结：两个向量能否作为平面的一个基底，关键是看这两个向量是否共线，若共线，则不能作基底，反之，则可作基底.AC巩固提升

注意：同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但是在同一基底下的分解都是唯一的.ABCDEFGab

巩固提升

（4，7）巩固提升3.平面向量共线的坐标表示（2）已知向量a=（1,2），b=（-3,2），当k为何值时，ka+b与a-3b平行？平行时它们是同向还是反向？

巩固提升5.平面向量数量积的坐标表示已知向量a=(1