2026年上海市杨浦区高三二模数学试卷及答案解析

杨浦区2025学年度第二学期高三年级模拟质量调研数学学科2026.4考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号，并将核对后的条形码贴在指定位置上.2.本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1.设全集，，用列举法表示______.2.计算______.3.若幂函数的图像经过点，则实数______.4.在的二项展开式中，常数项的值为______.5.设正实数满足，则的最小值为______.6.不等式的解集为______.7.已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________．8.直线：的一个法向量是，则实数______.9.已知随机变量服从二项分布，若，则______.10.设集合，，若，则实数的取值范围是______.11.掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.12.记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13.14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，下列不等式中恒成立的是（）A. B. C.D.14.事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（）.A.0 B. C. D.15.已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（）.A.0是的极大值点，也是的极大值点B.0是的极小值点，也是的极小值点C.0是的极大值点，也是的极小值点D.0是的极小值点，也是的极大值点16.已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题：①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”；②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项；③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得；④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是.其中正确的命题是（）A.①②③ B.② C.②④ D.③④三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为.（1）求第一组的得分的均值与中位数；（2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；（3）兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关?附：，，，.高分组非高分组总计某客观题答对某客观题答错总计18.如图，在直四棱柱中，，，，，.（1）设是的中点，求证：平面；（2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小.19.已知函数（常数）.（1）若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小；（2）若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围.20.已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为.（1）求双曲线的离心率和渐近线的方程；（2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标；（3）设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程.21.设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”.（1）若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由；（2）若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围；（3）函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，.参考答案及解析：1、【答案】【解析】【分析】由集合的补集运算结合集合的表示法即可求解.【详解】由题意得，则.2.计算______.【答案】【解析】【详解】.3.若幂函数的图像经过点，则实数______.【答案】3【解析】【详解】代入，即，解得.4.在的二项展开式中，常数项的值为______.【答案】160【解析】【分析】利用二项式定理展开式求解即可.【详解】由二项式定理可知展开式通项为，令，得，此时.所以常数值为160.5.设正实数满足，则的最小值为______.【答案】##【解析】【分析】根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解.【详解】因为正实数满足，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.6.不等式的解集为______.【答案】【解析】【详解】令，定义域为，函数和在上均为增函数，所以函数在上为增函数，又，则，所以不等式的解集为.7.已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面积为__________．【答案】【解析】【分析】先由题干条件计算圆锥的高，再求圆锥的母线，进而可求圆锥的侧面积.【详解】由题得圆锥底面积，体积，解得，母线长，故圆锥侧面积.故答案为：.8.直线：的一个法向量是，则实数______.【答案】【解析】【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为，又直线的一个法向量是，所以两向量共线，根据向量共线的坐标表示得，解得.9.已知随机变量服从二项分布，若，则______.【答案】【解析】【分析】借助二项分布的期望与方差公式计算即可得.【详解】，则，则.10.设集合，，若，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】由知到与距离相等，其轨迹是这两点的垂直平分线,表示的轨迹是一个单位圆，两者有交点，等价于原点到直线的距离不大于，通过计算可得实数的取值范围.【详解】集合，由，即到与距离相等，即的轨迹为与两点连线的垂直平分线，设，所以，所以，化简得，若，等式化为，任何都满足，此时为整个复平面，满足；若，则，即的轨迹为直线，表示的为圆：，即直线与圆有交点，所以，解得，所以实数的取值范围是.11.掷实心球时，将轨迹视为抛物线的一部分，设实心球离手位置在起掷点O正上方2米，出手角度即抛物线在该处切线与水平地面所成角，如图所示.已知实心球轨迹最高点距离地面3米，若要成绩不小于10米（实心球落地点到起掷点的距离），则出手角度的最大值为______.（精确到0.1°）.【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程，利用已知点坐标结合已知条件，求出的范围；对抛物线方程求导得到斜率表达式，结合条件得到，进而求出即可.【详解】以最高点为坐标原点，以水平向右为轴正方向，以竖直向下为轴正方向，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为.则，.由题意得，即，所以，取.又，则.易知为锐角，所以，所以.故出手角度的最大值为.12.记…，是空间中的个不同的非零向量，满足：①其中任意向量在其它向量方向上的投影均为其本身或零向量；②其中任意三个向量、、均不能使成立，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】根据已知条件利用向量投影、共线性质结合条件①②分析即可得.【详解】设是这个向量中的任意两个向量，根据投影的定义，向量在向量方向上的投影为：，由条件①可知，或，当时，向量共线，当时，向量垂直；表示三个单位向量，当、不同向时，，则，则121α故不符合，则、同向，则由，可得、、同向，由其中任意三个向量、、均不能使成立，则其中任意三个向量、、不同向，即同一方向最多两个不等向量；故结合①②可得：这些向量中任意两个向量要么共线，要么垂直，且同一方向最多两个不等向量，例如可取空间中三个两两互相垂直的单位向量及其相反向量，再取，这个不同向量满足条件①②；若存在第个向量，则必须与另外个向量中的任一共线或垂直，由于已有的向量中包含三个互相垂直的方向，则必须与其中一个向量共线才能符合要求，但此时任一方向都有两不同向量，故不存在符合题意，所以满足条件的的最大值为.二、选择题（本题共有4题，满分18分，13.14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设，下列不等式中恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【详解】对于A，B，D，若，可设，此时，故A不符合题意；此时，，得到，故B不符合题意；此时，得到，故D不符合题意；对于C，因为在上单调递增，所以，一定有成立，故C符合题意.14.事件、相互独立，若，，则A与同时发生的概率为（）.A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据独立事件和对立事件概率公式求解即可.【详解】事件、相互独立，则事件、也相互独立.事件发生的概率为.则A与同时发生的概率为.15.已知函数和的定义域都为且都存在导函数.若和的零点均有且仅有，且当时恒有，则下列情形中不可能的是（）.A.0是的极大值点，也是的极大值点B.0是的极小值点，也是的极小值点C.0是的极大值点，也是的极小值点D.0是的极小值点，也是的极大值点【答案】D【解析】【详解】

对A，若取，，两个函数的零点只有，时恒有，且是两个函数的极大值点，故A可能；对B，若取，，两个函数的零点只有，时，且是两个函数的极小值点，故B可能；对C，，，两个函数的零点只有，时，且是的极大值点，也是的极小值点，故C可能；对D，若是的极小值点，结合且只有是零点，可知对任意，；又若是的极大值点，结合且只有是零点，可知对任意，；此时必有，即，与题设时不符，故D不可能.16.已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题：①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”；②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项；③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得；④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是.其中正确的命题是（）A.①②③ B.② C.②④ D.③④【答案】B【解析】【分析】根据“-加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前项和公式依次判断即可.【详解】令，由题意可得常数，对于任意的，都有成立，对于①，，，因为，所以，所以成立，即，因为，所以存在，使得成立，即数列都是“-加速数列”，故①错误；对于②，若数列是“1-加速数列”，则，所以数列是常数列或单调递增数列，因为，若，满足题意，即数列是常数列，，若数列单调递增，则必有，，即数列先单调递减，后单调递增，故数列存在最小项，故②正确；对于③，若数列是“2-加速数列”，则，且，则，所以，即，当时，，所以不存在，使得，故③错误；对于④，若正数列是等比数列，则，若，则，不等式，等价于，只要，数列是“-加速数列”；若，则，不等式，等价于，只要，数列是“-加速数列”；所以是“-加速数列”的充要条件不是，故④错误；综上所述：正确的命题是②.三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.一次考试后，数学兴趣小组分析某班级考试成绩.该班级共40人，将得分由高到低平均分为四组，第一组（均分最高的一组）的数据为.（1）求第一组的得分的均值与中位数；（2）若从第一组中等可能的选取2名学生，求2人得分都在135分以上的概率；（3）兴趣小组考察某客观题的得分情况.将前15名学生作为高分组，后25名学生作为非高分组；前15名学生中13人答对该题，后25名学生中16人答对该题.据此，填写表格，并判断是否有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关?附：，，，.高分组非高分组总计某客观题答对某客观题答错总计【答案】（1）均值为，中位数为；（2）（3）答案见解析，没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关.【解析】【分析】（1）利用平均数和中位数的概念即可求解；（2）利用古典概型及组合数即可求解概率；（3）利用独立性检验规则即可求解.【小问1详解】第一组共10个数据的均值为：，第一组共10个数据按从低到高排序：，中位数为第5、6个数的平均值，即，所以第一组的得分均值为，中位数为；【小问2详解】第一组中，得分在135分以上的共有3人，从10人中任选2人：总选法数：,两人都在135分以上的选法数：,所以2人得分都在135分以上的概率为：；【小问3详解】根据题意填写列联表：

高分组非高分组总计答对131629答错2911总计152540零假设：认为答对该题与进入高分组无关，计算卡方：根据独立性检验规则，可知没有95%的把握认为答对该题与进入高分组有关.18.如图，在直四棱柱中，，，，，.（1）设是的中点，求证：平面；（2）若直四棱柱的体积为36，求平面与平面所成的锐二面角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）通过证明，得证平面；（2）过作，则即为所求，利用直角三角形的性质计算出即可.【小问1详解】连接，直四棱柱中，，，是的中点，，则，所以为平行四边形，则有，又平面，平面，所以平面；【小问2详解】梯形的面积，，则，过作，交于，连接，直四棱柱中，平面，则为在平面内的射影，由，有，所以即为所求，中，，有，又，则，，所以锐角.19.已知函数（常数）.（1）若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小；（2）若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用函数解析式由，求出角A，再由，利用正弦定理求出，可得角B的大小；（2）由函数图象的变换，求出解析式，由时，求出的取值范围.【小问1详解】时，函数，，，中，，所以，，由正弦定理可得，，由，所以.【小问2详解】函数（常数），的最小正周期为π，所以，得，即，所以，时，，则有，此时，当时恒有，则有，解得，所以的取值范围为.20.已知A、F分别是双曲线：（常数）的右顶点和右焦点，记过一、三象限的渐近线为.（1）求双曲线的离心率和渐近线的方程；（2）设，是上一点，若线段的中点在双曲线上，求点Q的坐标；（3）设，过A作两条相互垂直的直线与双曲线交于M、N两点（M在第一象限），若直线、分别与交于C、D两点，且与的面积之比为2，求直线的方程.【答案】（1）；（2）（3）【解析】【分析】（1）借助离心率定义与渐近线定义计算即可得；（2）设，结合中点公式可表示出点坐标，代入双曲线方程计算即可得；（3）设出直线的方程，联立曲线可得点坐标，联立渐近线方程可得点坐标，利用直线、的关系计算可得