四川省自贡市荣县2025～2026学年高二数学下学期4月巩固练习试题【含答案】

四川省荣县学年高二下学期4月巩固练习数学试题一、单选题（每题5分，共分）1.的第9项是（）A.B.C.D.以上均不对【答案】B【解析】【分析】由题意可知，代入计算即可求解.【详解】由题意可知，故第9项为．故选：B2.已知，则的公比是（）A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根据等比数列公比的定义即可得出答案.【详解】由题意可知数列的公比.3.已知数列的前项和，下列结论正确的是（）A.当且仅当时，是等比数列B.当且仅当时，是等比数列C.当且仅当时，是等比数列D.当且仅当时，是等比数列【答案】B【解析】【分析】先由前项和公式求出数列的通项公式，再利用等比数列首项必须满足通项公式的条件，解出参数的值并验证.第1页/共16页

【详解】当时，，当时，，若是等比数列，则，因此，解得；当时，，，，又，所以，因为当时，，此时数列是首项为，公比为的等比数列；即当且仅当时，是等比数列，故选：B.4.已知等差数列中，，则等于（）A.100B.210C.380D.400【答案】B【解析】【分析】由已知条件求得等差数列的首项和公差，根据等差数列的前项和公式可求得.【详解】设等差数列的公差为，则，解得．．故选：B.5.已知数列是等比数列，若，则（）A.3B.C.7D.【答案】D【解析】第2页/共16页

【分析】由也成等比数列进行求解.【详解】在等比数列中，显然公比，可得也成等比数列，所以，由，得，则，由于，解得，得，故选：D.6.某学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有，两种菜可供选择，调查资料表明，凡是在星期一选改选改选，分别表示在第个星期的星期一选种菜和选种菜的学生人数，则与的关系可以表示为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】依题意，，消去，得.7.在等比数列”是“数列递减”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】第3页/共16页

【分析】利用等比数列的通项公式和充分条件、必要条件的定义分析判断即可.【详解】当时，设公比为q，则，若，则，即，此时，显然数列是递减数列，若，则，即，此时，数列也是递减数列，反之，当数列是递减数列时，显然．故“”是“等比数列递减”的充要条件．故选：C．8.已知数列满足：，若的所有可能取值的和为（）A.62B.169C.170D.190【答案】D【解析】【分析】利用递推公式，依次令即可求出答案.【详解】因为，当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得或；当时，，解得或；第4页/共16页

当时，，解得或或；当时，，解得或或或；当时，，解得或或或或或；所以的所有可能取值为，它们的和为.二、多选题（每题6分，共分）9.的定义域为上点正确的有（）A.若，则B.若，则C.若，，则D.若，则【答案】ABD【解析】【分析】根据导数的定义可先计算两个变量的改变量，再求极限即可.【详解】对于A：，故A正确；对于B：，解得，故B正确；第5页/共16页

对于C：得，故C错误；对于D：，故D正确．故选：ABD．10.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.是等比数列B.对任意，C.是递增数列D.的前项和【答案】ACD【解析】ABC合等比数列求和公式计算判断D.【详解】数列满足，，则，，所以是以3为首项以3为公比的等比数列，A选项正确；当时，，B选项错误；因为，所以，因为，所以，所以是递增数列，C选项正确；第6页/共16页

的前项和，D选项正确.故选：ACD.已知抛物线C:的焦点为P是抛物线上第一象限的点，PF与抛物线C的另一个交点为Q，则下列选项正确的是（）A.点P的坐标为（4，4）B.C.D.过点作抛物线的两条切线，其中为切点，则直线的方程为：【答案】ABD【解析】ABQ的坐标，再利用两点间的距离公式可求得结果，对于C，由直接求解，或求出原点O到直线的距离，然后利用求解即可，对于D，设，则利用导数的几何意义可求出两条切线方程分别为，，从而可求出直线的方程，【详解】对于A，因为，所以由抛物线的定义得，得，所以，且点在第一象限，所以坐标为（4，4A正确对于B，的直线方程为：，由与联立得，Q（得，则B正确对于C，方法一：方法二：由B得，原点O到直线的距离为，所以，所以C错误第7页/共16页

对于D，设，由得，，则，MA切线方程为：，即，由得，，把点代入得，同理，即两点满足方程：，所以的方程为：，则D正确，故选：ABD三、填空题（每空5分，共分）12.已知数列满足，若，则___________．【答案】【解析】【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解．【详解】，则是周期为3的周期数列，又，.13.数列的前30项的和为______．【答案】468【解析】和列，分别求和后合并得分段的前项和公式.【详解】由题意得，当时，，即，，第8页/共16页

当时，，即，，所以，所以.14.在四面体ABCD中，ABCD外接球的体积_________．【答案】##【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用等量关系求出球心坐标，进而求得外接球半径即可求体积.【详解】由题得：，，以为原点建系如图所示，则，，，设，则，，其中因为，，所以①，由，整理得②，联立①②得：，，所以，设外接球球心为，半径为，则，，，，因为，所以，解得，第9页/共16页

又，所以，解得：，则，因为，所以，解得：，则球心，半径，所以该四面体ABCD外接球的体积为.四、解答题（共分）15.已知等差数列的前n项和为是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由．【答案】当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30．【解析】和k时，，递减．这样，就把求的最大值转化为求的所有正数项的和．n项和公式可写成时，可以看成二次函数当时的函数值．可以利用二次函数的性质求相应的n，的值．【详解】解法：由以，得，所以是递减数列．又由，可知：当时，；当时，；当时，．所以第10页/共16页

．也就是说，当或6时，最大．因为，所以的最大值为30．解法：因为，易知二次函数在时递增，在时递减，所以，当n取与最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30．16.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．【答案】（1）（2）【解析】1）利用的关系计算即可；（2）应用错位相减法及等比数列的求和公式来求解．【小问1详解】因为数列的前项和，所以时，，当时，，又也适合上式，所以数列的通项公式为；【小问2详解】第11页/共16页

由，得，，作差得：得：得：．17.已知数列的首项，且满足．（1）求证：数列为等比数列．（2）若，求满足条件的最大整数n．【答案】（1）证明见解析（2）99【解析】1）对原等式进行化简，根据等比数列的定义判断证明即可.（2）先根据等比数列的通项公式计算，然后利用等比数列前项和公式计算结果即可.【小问1详解】由题意，数列满足，可得，可得，即，第12页/共16页

又由，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．【小问2详解】由（1）可得，所以，设数列的前项和为，则，若，即，因为函数为单调递增函数，所以满足的最大整数的值为．18.已知椭圆：（）的长轴长为，点在上．（1）求的离心率；（2）若，分别为的左、右顶点，过点且斜率不为0的直线与交于，两点，直线，交于点，证明：点在定直线上．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】1）根据长轴长可得，代入点可得，进而可得离心率；（2）设直线：，，与椭圆方程联立可得韦达定理，进而可得，联立直线方程可得，运算求出该式的值即可．【小问1详解】第13页/共16页

由题意可知，即，椭圆方程为，代入点可得，解得，所以椭圆的离心率．【小问2详解】由（1）可知椭圆的方程为，，因为直线的斜率不为0，且直线与椭圆必相交，设直线：，，联立方程，消去x可得，则，，可得，由题意可知，直线，直线，联立方程消去y可得，即，可得，所以点在定直线上．第14页/共16页

19.已知数列满足，，．（1）证明：数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）若，记数列的前项和为，若恒成立，求的最大值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】1）由题可得，则数列