四川省南充市2026届高三数学上学期1月月考试题【含答案】

第一部分（选择题共分）85分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知确定集合中元素，然后由交集定义计算．【详解】集合，因为，所以.故选：C.2.已知，则（）A.B.C.D.40【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法则先求出，再求出，所以.【详解】，则，所以；所以，故选：B3.已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（）A.B.C.D.【答案】D第1页/共18页

【解析】【分析】由可得，再利用投影向量的公式求解即可．【详解】，两边平方得，解得，向量在向量上的投影向量为.故选：D4.若，则的值为（）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】先由诱导公式求得，再用诱导公式和二倍角公式求解.【详解】由知：，因此.故选：B.5.已知、、是直线，是平面，且，，则“，”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】【分析】由线面垂直的定义及判定定理即可判断.【详解】解：由得：存在，满足，若，则直线垂直平面中任意一条直线，，，，，，，，是否相交不确定，不一定成立，“，”是“”的必要不充分条件．第2页/共18页

故选：B6.若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于，则该等比数列的第4项等于（）A.16B.8C.D.【答案】D【解析】【分析】设等比数列为，其公比为，且前项和为，分和两种情况，结合前项和公式计算可得结论.【详解】设等比数列为，其公比为，且前项和为，若，则，所以，又，故不符合题意，若，则根据题意可知，且，解得，，故.故选：D.7.若直线与圆有两个交点，则m的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列不等式求解即可.【详解】圆即的圆心为，半径为，若直线与圆有两个交点，则，即，解得，所以m的取值范围为.故选：A8.已知为椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为椭圆的右顶点，连接交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（）第3页/共18页

A.B.C.D.【答案】B【解析】余弦定理得到，进而得到，最后构建齐次方程求解离心率即可.【详解】如图，连接，因为为椭圆的上顶点，所以，因为，所以，故，解得，设，，则，，由余弦定理有，即，解得，因为，所以，化简得，即，整理得，解得，故B正确.故选：B．36分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.第4页/共18页

9.已知函数的部分图象如图所示，其中，，则（）A.B.的图象关于中心对称C.在上单调递增D.将的图象向右平移个单位后关于原点对称【答案】AC【解析】A点代入函数选项B代入函数中，判断函数值是否为0来判断该点是否是对称中心点；对于选项CC中由D点对称.方法二：对于选项A，根据点在图象中的位置和坐标，确定题中的函数是由正弦函数如何变换得到的，从而可以确定的值；其他选项的分析方法同方法一.【详解】方法一：对于选项A：依题意，，，因为，，解得，，故，故正确；对于选项B：因为，故错误；第5页/共18页

对于选项C：当时，，故在上单调递增，故正确；对于选项D：，不关于原点对称，故错误.方法二：对于选项A：若是的图象，，两点的横向距离为，实际上，，两点的横向距离为，被拉伸了2倍，故；其他选项的判断同方法一.故选：AC.10.下列说法中，正确的是（）A.已知随机变量服从二项分布，若，，则B.已知随机变量服从正态分布，若，则C.已知，为随机事件，，，若，相互独立，则D.样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则【答案】ACD【解析】AB得C；利用残差的计算可得D.【详解】对于A，已知随机变量服从二项分布，若，，则，解得，故A正确；对于B，随机变量服从正态分布，所以对称轴为，则，因为，所以，所以，故B错误；第6页/共18页

对于C，若，相互独立，则，所以，故C正确；对于D，由题意可得样本点与的残差分别为和，所以，则，故D正确故选：ACD.在正三棱台中，，，且等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角的正切值均为2，则下列结论正确的有（）A.正三棱台的高为B.正三棱台的体积为C.与平面所成角的正切值为1D.正三棱台外接球的表面积为【答案】BCD【解析】【分析】将正棱台补全为一个正棱锥，结合正棱台、正棱锥的结构特征求台体的高、体积及侧棱与底面夹角正切值，由确定棱台外接球球心位置，建立等量关系求半径，进而求外接球表面积.【详解】将正棱台补全为一个正棱锥，如下图示，其中分别为上下底面的中心，为的中点，易知，则为等腰梯形所在的侧面与底面所成夹角，所以，而，则，根据棱台上下底面相似，知，即，故，A错；由，，所以，B对；第7页/共18页

由图知：为与平面所成角，则，C对；若为正三棱台外接球的球心，则其半径，即，令，则，可得，所以，故外接球表面积为，D对.故选：BCD第二部分（非选择题共分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共分.12.的展开式的第5项的系数是_____【答案】210【解析】【分析】根据二项式展开式通项，为第5项代入求解即可.【详解】二项式展开式通项，所以，则的展开式的第5项的系数是210.故答案为：210.13.若直线是曲线的一条切线，则__________.【答案】【解析】【分析】设出直线与曲线的切点，根据曲线在点处导数的几何意义是曲线在点处切线的斜率第8页/共18页

列出方程即可求解.【详解】设直线与曲线相切于，则；所以，解得，所以；又，所以，解得.故答案为：.14.已知双曲线，左、右焦点分别为、，过作倾斜角为的直线与双曲线交于两点，则的周长为______．【答案】12【解析】【分析】由，，可得为，代入双曲线方程中，利用弦长公式求出，再由双曲线的定义即可求解周长.【详解】因为，，所以直线为，设，由，得，则，所以，因为，，所以，所以故答案为：12第9页/共18页

四、解答题：本题共5小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记的内角的对边分别为，已知.（1）求A；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】1）利用正弦定理和二倍角公式计算可得；（2）利用正弦定理求出，再由诱导公式计算可得.【小问1详解】，由正弦定理得：，又由二倍角公式，得，又，∴在三角形内，有．又．【小问2详解】在中，由余弦定理，得：．又由条件可知代入上式有：，或，第10页/共18页

由正弦定理得，故在中，，又由（1）可知，，又，，则，故，则为锐角，，16.已知抛物线的焦点为上动点到点的最小距离为1.（1）求抛物线的标准方程；（2）过点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，，求的值.【答案】（1）（2）或3【解析】1）根据抛物线的定义求解即可；（2）设直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理表示出，再表达三角形面积为，求解出，进而求解即可得.【小问1详解】根据抛物线的定义，有，由题意可得,当时，，所以，所以抛物线的标准方程为.【小问2详解】第11页/共18页

抛物线的焦点，设直线的方程为，联立，得，所以，由，解得，由，解得或，又，所以或.17.如图，在三棱锥中，平面，．（1）求证：平面PAB；（2）求二面角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】1）先由线面垂直的性质证得，再利用勾股定理证得，从而利用线面垂直的第12页/共18页

判定定理即可得证；（2）结合（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面法向量，再利用空间向量夹角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】因为平面平面，所以，同理，所以为直角三角形，又因为，，所以，则为直角三角形，故，又因为，，所以平面.【小问2详解】由（1）平面，又平面，则，以为原点，为轴，过且与平行的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，所以，设平面的法向量为，则，即令，则，所以，第13页/共18页

设平面的法向量为，则，即，令，则，所以，所以，又因为二面角为锐二面角，所以二面角的大小为.18.2025年政府工作报告明确提出持续推进“人工智能+”行动.上海某人工智能实验室的多模态大模型1分的可能性为2分的可能性为，假设每道试题得分情况相互独立.（1）从所有测评试题中随机抽取4道试题，记这4道题得分总数为，求的分布列和数学期望；（2）从所有测评试题中随机抽取n道试题，记这n道题得分总数为的概率为，求的值；（320名学生分别用模型解答该数学测评中最后一题.若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，请问王老师应该提前准备多少朵小红花比较合理？【答案】（1）分布列见解析，5；（2）；（3）25朵.【解析】1）列出的所有可能取值，利用二项分布的概率公式求出分布列，再根据分布列求数学期望即可；（2n道试题中只有1道得到2相减法求和即可；（3）设得到1分的人数为，则得到的总分为，利用二项分布第14页/共18页

的概率公式列不等式组求解即可.【小问1详解】由题意知得分总数的所有可能取值为4，5，6，7，8，其中，，，，，所以分布列为45678.【小问2详解】因为n道题得分总数为，所以其中只有1道题得到2分，所以，则，所以，两式相减得，第15页/共18页

所以．【小问3详解】在这20名学生中，设得到1分的人数为，则得到2分的人数为，所以得到的总分，此时得到的总分的概率为，所以，整理得，解得，而，，所以，所以，所以若王老师按照这20人的总分概率最大为依据，一分奖励一朵小红花，王老师应该提前准备25朵小红花比较合理.19已知函数．（1）当时，证明：有且仅有一个零点；（2）若曲线与相切．（ⅰ）求a；（ⅱ）当时，证明：．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】1）根据已知，根据其单调性结合零点存在性定理，即可证；（2iii）设并应用导数研究函数值符号，即可证.【小问1