四川省泸州市泸县2025～2026学年高二数学下学期开学检测试题【含答案】

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.2．考生必须保持答题卡的整洁.第I卷选择题（58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将方程化简为标准形式，求出的值，根据定义求准线方程即可.【详解】由方程，则，则，所以抛物线开口向下，所以准线方程为.故选：C2.过点且倾斜角为的直线方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出.【详解】直线斜率为，又直线过点，，即.故选：C.3.圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为（）A B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据圆与轴相切求得半径，根据圆的标准方程即可得到答案.【详解】圆心到轴的距离，由题意知，圆的半径，所以与轴相切的圆的方程为.故选：B.4.已知直线，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论.【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性；当时，，，当时，，，当时，显然，∴，即，∴，∴或，当时，，，两直线重合，舍去.∴，满足必要性.∴“”是“”的充要条件.故选：C.5.如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可.【详解】由为的中点，得，所以.故选：A6.已知数列满足：，，若，则n为（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】先根据已知条件判断数列的类型，再代入求的值.【详解】因为，，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，由，得，解得.故选：C7.已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据点到直线的距离公式、双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，.取焦点，渐近线方程，由题意知，整理得.所以，所以.故选：A．8.双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率.【详解】如图：设直线与圆的切点为，作，交于点，则.因为，，所以.又为中点，所以，.又，，所以可设：，，.由.根据双曲线的定义：.所以.所以.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.数列的前项和，则（）A. B.C.数列有最小项 D.是等差数列【答案】AD【解析】【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D.【详解】对于A：因为，当时，故A正确；对于B：当时，所以，经检验时也成立，所以，所以，，则，故B错误；对于C：因为，所以当或时取得最大值，且，即数列有最大项，故C错误；对于D：因为，则，又，所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确.故选：AD10.已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（）A. B.C. D.的最小值是【答案】BCD【解析】【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断.【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，准线方程为，圆圆心坐标为，半径为.对于A：所以本选项说法错误；对于B：因为，所以，所以本选项说法正确；对于C：设直线为，，由，得，因为，所以，直线的方程为，所以点的坐标为，因为，所以点的坐标为，而点的坐标为，所以点的纵坐标和点的纵坐标相同，所以，因此本选项说法正确；对于D：设，由选项C可知，且，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是，所以D正确，故选：BCD11.如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（）A.B.三棱锥的体积最大值为1C.若，则点到直线的距离为D.三棱锥外接球球心轨迹长度近似为【答案】AC【解析】【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系求得直线方向向量可判断A，由三棱锥体积公式可判断B，由点到线距离的向量法公式即可判断C，设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，判断直线与平面交于点为球心，得到点的轨迹长度与点的轨迹长度相等，即可判断D．【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．设，则，，，，．对于选项A：因为，，所以，所以，所以，A正确．对于选项B：三棱锥的体积，所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误．对于选项C：若，则，，，所以，，所以点到直线的距离，C正确．对于选项D：设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，直线与平面交于点，则点为外接球的球心，显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等．因为，，所以．在平面内，点的轨迹方程为，且，，故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D错误．故选：AC．第II卷非选择题（92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.若事件与事件相互独立，，，则_____________________.【答案】##【解析】【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可.【详解】因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立，，，则，故答案为：.13.已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是_______.【答案】或【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，进而分，结合的正负情况讨论求解即可.【详解】联立，得，①当时，，解得，此时，直线与抛物线有且仅有一个公共点；②当时，由，若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点；若，即，方程有两个相等实根，则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点；若，即且时，方程有两个不等实根，则直线与抛物线有两个不同交点；综上所述：当直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点.故答案：或.14.空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________.【答案】【解析】【分析】设四面体的外接球球心为，根据得到，再根据结合的范围求出的范围，再根据的范围即可求出的最小值，利用球的体积公式即可求解.【详解】设四面体的外接球球心为，外接球半径为，则，，，由题意得，则，化简得，同理，由得，由得，则，又，由得，化简得，因为，由二次函数图象可得当时，取最小值，当或时，取最大值，即，而，所以当时，取得最小值，即取得最小值，此时外接球的体积，所以四面体的外接球的体积的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求：（1）“取出两球的标号之和为3”的概率；（2）“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1，结合独立事件概率乘法公式运算求解；（2）取对立事件为取出两球的标号均等于1，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率求法运算求解.【小问1详解】记“取出两球的标号之和为3”为事件A，可知和为3为或，即甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1，所以.【小问2详解】记“取出两球的标号至少有一个大于1”为事件B，则为“取出两球的标号均等于1”，可得，所以.16.已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为.（1）若点，为圆上一动点，求的最小值；（2）若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）先用几何法构造直角三角形得到圆心和半径，运用向量法对所求进行整理求解；（2）联立直线与圆的方程，整理得到根与系数的关系，再结合垂直条件运用向量法求解.【小问1详解】设圆心坐标为，则半径，圆心到轴的距离为，，得，圆的方程为.设，则，又，，又，，，即的最小值为.【小问2详解】（2）设，，联立，消去得，由，得，，.由，知，即，，，得，满足，.17.已知椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8.（1）求椭圆的方程；（2）若，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由题意得，再根据椭圆的定义得出周长为，即可求出椭圆标准方程；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式列方程求解即可.【小问1详解】因为为C的焦点，所以，的周长为：，解得，所以，所以椭圆C的方程为：．【小问2详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，，联立，得，则，，所以，解得，则直线的方程为，即或.18.已知数列满足.（1）证明：是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）证明：.【答案】（1）证明见解析（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）可根据等差数列的定义，通过计算是否为常数即可证明；（2）由（1）得到的通项公式，再利用累加法求出的通项公式；（3）先对进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式.【小问1详解】已知，移项可得,则,当时，,因为（常数），且首项，所以是以4为首项，4为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）可知是以4为首项，4为公差的等差数列，根据等差数列通项公式可得.当时，.将代入上式可得：.，当时，，上式也成立.所以数列的通项公式为.【小问3详解】因为，所以.当时，，不等式成立；当时，.所以.19.已知动点P到定点与到定直线的距离相等．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N．①证明：直线恒过定点；②求的最小值．【答案】（1）（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）设点，利用两点间距离公式构造方程求解；（