四川省成都市2026届高三数学上学期一诊模拟考试试题【含答案】

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共分）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出集合，利用交集的定义可得集合.【详解】由得，等价于，解得，所以，又因为，故.故选：D.2.已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点在第（）象限A.一B.二C.三D.四【答案】B【解析】【分析】先由复数的乘法和共轭复数化简后，再由复数的几何意义可得.【详解】，则的共轭复数在复平面内对应的点为第二象限.故选：B.3.已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是（）第1页/共21页

A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】将必要不充分条件转化为真子集关系即可求解.【详解】设集合，集合，若是的必要不充分条件，所以是的真子集，可得.故选：B.4.已知数列满足，，则数列前2025项和为（）A.1013B.C.1014D.-1012【答案】C【解析】【分析】由题意可知，当为偶数时，，利用并项求和法可求得结果.【详解】由题意可知，当为偶数时，，因此，数列前项和为.故选：C.5.已知一组数据为为这组数据的的展开式中的系数为（）A.B.280C.D.560【答案】C【解析】【分析】利用分位数求出幂指数，再利用二项式定理求出指定项的系数.详解】由，得，则展开式中含的项为，所以所求的系数为．故选：C.6.2025年高考结束后，某校高三年级一宿舍的6位舍友准备最后拍一张“全家福”.假设6位同学站成一排，第2页/共21页

舍长与副舍长必须站中间，其他两位1班同学彼此不相邻，两位2班同学彼此不相邻，则不同的站法共有（）A.16种B.32种C.48种D.64种【答案】B【解析】【分析】应用排列组合数依次安排舍长、副舍长和1、2班同学，再应用分步乘法求不同的排法数.【详解】先将舍长、副舍长排到中间的2个位置上，有种排法，再从两侧各选1个位置，把不相邻的两位1班同学安排其中，有种排法，最后把不相邻的两位2班同学安排到余下的2个位置上，有种排法.所以，共有种.故选：B7.已知点为抛物线的焦点，直线与该抛物线交于A，B两点，点为的中点，过点向该抛物线的准线作垂线，垂足为.若，则（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】转化得到的值.【详解】根据题意，过点分别向该抛物线的准线作垂线，垂足分别为，所以，所以，设，，根据定义可得，联立，可得，，则，，解得.第3页/共21页

故选：B.8.若点为的外心，且满足，则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据外心性质，以及平面向量的线性运算和数量积运算，对向量等式进行化简，再根据余弦定理解三角形，求出角的范围，根据正弦函数性质，求出结果.【详解】因为点为的外心，所以，因为，即，即，即，化简得，可知，化简得，根据基本不等式可知，当且仅当时取等号，因为，，所以，所以的最大值为.故选：C.第4页/共21页

二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共分．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9.已知函数，则（）A.的最大值为2B.在上单调递增C.在上有3个零点D.把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于y轴对称【答案】AD【解析】A的范围可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项．【详解】函数．选项A：，故最大值为2，A正确；选项B：时，不单调递增，故B错误；第5页/共21页

选项C：时，，可知当以及时，即以及时，在上有2个零点，故C错误；选项D：的图象向左平移个单位长度，得到，为偶函数，关于y轴对称，故D正确.故选：AD．10.甲袋中有3个黑球，2个白球，乙袋中有5个黑球，3个白球．这些球大小、形状完全相同．先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，记事件为“取出的是黑球”，事件为“取出的是白球”；再从乙袋中随）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据已知写出对应概率值，再应用条件概率公式、全概率公式计算相关概率判断各项正误.【详解】由题设，，，，，，所以，，.故选：ABD设函数的定义域为D，如果存在，使得，那么我们称为该函数的一个不动第6页/共21页

点；若满足，则称为的次不动点，下列结论正确的是（）A.函数存在次不动点B.对于函数，既存不动点，也存在次不动点C.函数的不动点有2个D.函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，则的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】由，令，求得，得到的单调性，得到A判定B正确；令，即，令在存在唯一的零点，得到的单调性，进而可判定C正确；令和，转化为和，结合函数的单调性，求得的范围，可判定D正确.【详解】对于A，由函数，令，即，令，可得，当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以当时，函数取得最小值，且，所以没有零点，所以不存在次动点，所以A错误；对于B，由函数，令，即，令，可得，所以是函数的一个零点，第7页/共21页

所以函数存在不动点；令，即，令，可得，所以是函数的一个零点，所以函数存在次不动点，所以B正确；对于C，由函数，令，即，令，可得定义域为且，令，可得，所以在单调递增，因为，所以函数在存在唯一的零点，当时，，单调递减；当时，，单调递增，且，即，所以当时，函数取得最小值，且最小值为，又由，，所以在上有且仅有2个零点，所以在上有且仅有两个不动点，所以C正确；对于D，函数，令，即，即，令且，则，由函数在上单调递增，所以，要使得仅有一个不动点，即有唯一的解，则；第8页/共21页

令，即，即，令且，则，由函数，可得，所以在上单调递增，所以，要使得仅有一个次不动点，即有唯一的解，则，所以函数在的取值范围是，所以D正确.故选：BCD.三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共分）12.已知函数，则在处的切线方程为__________．【答案】【解析】【分析】求导，根据导数的几何意义可求在处的切线方程【详解】，且，则，则切线方程为，即为．.故答案为：.13.已知在直线上，则的最小值为_______．【答案】3【解析】【分析】根据，即表示直线上的点到原点距离，由点到直线的距离公式计算，即可得结果.【详解】因为表示点到原点的距离，而点在直线上，第9页/共21页

所以的最小值即为原点到直线的距离，.所以的最小值为3.故答案为：.14.在斜边为AC的中，的平分线交于点，平面于点，，当四面体体积最大时，直线与所成角的正弦值为______．【答案】【解析】【分析】明确当四面体体积最大时，点的位置，再利用空间向量求异面直线所成角的正弦值.【详解】在中，平分，根据三角形的角平分线定理可得.设，则，由勾股定理.以为原点，所在平面为平面，平面所在平面为平面，建立如图空间直角坐标系：则，，，，可设（）.所以，，因为，所以.所以（）.又，第10页/共21页

所以当或时，三棱锥体积最大.根据对称性取，此时，.设直线与所成的角为，则，所以.即直线与所成角的正弦值为.故答案为：四、解答题（木大题共5小题，共分）15.为数列的前项和．已知，．（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；（2）数列为等差数列，且，求数列的前项和．【答案】（1）见解析，2）．【解析】【分析】（1）先利用定义法证明是等比数列，再由与的关系求出的通项公式；（2）先利用数列与的关系求出，然后利用裂项相消法求．1）证明：因为，所以．又，所以是以为首项，以2为公比的等比数列．∵，∴．当时，；经检验，也符合．∴．（2）数列为等差数列，且，第11页/共21页

公差．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了等比数列与等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和，属于中档题．16.如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，底面是的中点，是的中点，且.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】1作所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，利用直线方向向量与平面法向量垂直即可证明结论；（2）求出以及平面的法向量，再利用空间向量夹角公式求解即可.【小问1详解】在平面内，过点作，由题知，，第12页/共21页

所以，所以.因为底面，且在平面内，所以，所以两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴､轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，设，因为，所以所以，所以，易知平面的一个法向量为，所以，所以，又因为平面.所以平面.【小问2详解】第13页/共21页

由（1）知，，设平面的法向量为，则令，得，所以，设直线与平面所成角为，又，所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.17.某县承包了一块土地，已知土地的使用面积与相应的管理时间的关系如下表所示：土地使用面积x/亩12345管理时间y/月810132524并调查了某村300位村民参与管理的意愿，得到的部分数据如下表所示：单位：人愿意参与管不愿意参与管理理男性村15050民女性村5050民（1r的大小，并判断管理时间y与土地使用面积x（2）以该村村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况，从该县中任取3人，记取到不愿意参与管第14页/共21页

理的男性村民的人数为X，求X的分布列及数学期望．参考公式：；参考数据：．【答案】（1），管理时间与土地使用面积线性相关．（2）分布列见解析，【解析】1）根据条件，直接利用公式即可求解；（2）由题知的可能取值为，再求出相应的概率，利用期望的计算公式，即可求解；【小问1详解】由题知，，，，，，则，故管理时间与土地使用面积线性相关．【小问2详解】依题意，的可能取值为，从该县中随机抽取一位村民，取到不愿意参与管理的男性村民的概率为，故，，故的分布列为第15页/共21页

0123则数学期望．18.已知AB分别是双曲线P是C上异于AB，的斜率分别为，且．（1）求双曲线C的方程；（2）已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B（i）求m的取值范围；（ii）设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上．【答案】（1）（2i）或ii）证明见解析【解析】1）由已知条件去设点的坐标，表示斜率之积，通过点在双曲线上，代入并消元一个变量，即可得到，从而求出双曲线方程；（2i）利用过点的直线与双曲线的左右两支相交，必满足，从而去求出的取值范围；（ii）先用交点坐标去表示直线的方程，然后猜想交点的横坐标为定值，所以消去纵坐标得到关于交点的横坐标的表达式，最后利用韦达定理代入化简，可得定值，即问题可得证.【小问1详解】第16页/共21页

由题意可知，因为，所以.设，则，所以，又，所以.所以双曲线C的方程为.【小问2详解】（i）由题意知直线l方程为.联立，化简得，因为直线l与双曲线左右两支相交，所以，即满足：，解得或；（ii）由（i），直线的方程为直线的方程为．联立直线与的方程，得，第17页/共21页

所以，所以，所以.所以点Q的横坐标始终为1，故点Q在定直线上.19.已知函数的导函数为.（1）当时，求的极值；（2）若在上不单调，求的取值范围；（3）已知，若在定义域内有三个不同的极值点，且满足，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为；极大值为.（2）.（3）.【解析】1）利用导数研究函数单调性、极值；（2）先求，使在上不单调，由一元二次方程的解求的取值范围；（3）先求出导函数，再得出导函数正负确定函数单调性及极值数形结合计算求参.第18页/共21页

【小问1详解】当时，，则，所以当或时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，所以当时，取得极小值，且极小值为；当时，取得极大值，且极大值为.【小问2详解】由题可知，，设，注意到，要使在上不单调，只需满足，解得，即实数的