《矩阵》-第四章第五节线性方程组解的结构

目录01齐次线性方程组02非齐次线性方程组1设有齐次线性方程组1.齐次线性方程组记(4．5)1则方程组(4．5)式可写成向量方程1.齐次线性方程组若，，…为方程组(4．5)的解，则称为方程组(4．5)的解向量，它也就是向量方程(4．6)的解．

(4．6)1.齐次线性方程组齐次线性方程组解向量的性质：性质l若为方程(4．6)的解，则也是方程(4．6)的解．性质2若为方程(4．6)的解，为实数，则也是方程(4．6)的解．1.齐次线性方程组定理13

n元齐次线性方程组的全体解所构成的集合S是一个向量空间，且当系数矩阵的秩时，解空间S的维数为n-r．1.齐次线性方程组例19求下列齐次线性方程组的基础解系与通解．解：对系数矩阵A施以初等行变换化为行最简形矩阵，1.齐次线性方程组由此得原方程组的同解方程组为1.齐次线性方程组即其中为自由未知量．1.齐次线性方程组取可得原方程组的一个基础解系为1.齐次线性方程组原方程组的通解为其中为任意实数．1.齐次线性方程组求解齐次线性方程组的通解的一般步骤为：(1)用初等行变换把系数矩阵A化为行最简形矩阵；(2)写出行最简形矩阵对应的同解方程组，等式左端为非自由未知量，等式右端为自由未知量的线性组合；(3)分别令第k个自由未知量为1，其余自由未知量为0，求出n-r个线性无关的解向量，即为所求方程组的基础解系；(4)写出原方程组的通解，其中为任意实数．2.非齐次线性方程组设有非齐次线性方程组它也可写作向量方程(4．8)(4．9)2.非齐次线性方程组非齐次线性方程组解向量的性质：性质3设和都是非齐次线性方程组(4．9)的解，则为对应的齐次线性方程组(4．10)的解．性质4设是方程(4．9)的解，是方程(4．10)的解，则仍是方程(4．9)的解．2.非齐次线性方程组

例20用基础解系表示如下非齐次线性方程组的全部解．解：对增广矩阵施行初等行变换2.非齐次线性方程组可见，故线性方程组有解，并且有2.非齐次线性方程组即2.非齐次线性方程组取，则，即得方程组的一个特解，，则，即得对应的齐次线性方程组的基础解系为若取2.非齐次线性方程组，故非齐次线性方程组的通解为（为任意实数）应用案例（求矩阵和向量组的秩）例21利用Matlab求向量组，，的秩，并判断其线性相关性．解：编写Matlab程序如下：A=[1-223;-24-13;-1203;0623;2-634];B=rank(A)ans=3由于秩为3<向量个数，因此向量组线性相关．

应用案例（求向量组的最大无关组）例22利用Matlab求向量组，，的极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示．解：编写Matlab程序如下：a1=[2-135];a2=[-4313];a3=[3-234];a4=[4-11517];a5=[76-70];应用案例（求向量组的最大无关组）A=[a1’a2’a3’a4’a5’];[R,j]=rref(A)%求A的行最简形ans=R=1．000000037．666701．000000-14．0000001．00000-43．6667