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10.2.2课时2

复数的除法与实系数方程解集

第十章

复数1.理解复数除法的本质“分母实数化”，掌握复数的除法运算.2.会求实系数一元二次方程在复数范围内的解集.探究1：复数的除法运算.如果复数z≠0则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商，并记作：

(或

).其中，z1称为被除数，z2称为除数.复数除法运算的两个性质：利用复数除法的定义，可以证明当ω为非零复数时，有1.设实数满足(a+bi)(1+2i)=1，利用方程组求a,b的值.根据复数乘法有所以

解得思考：由除法可知a+bi=

，又问题1得a+bi的一般式为

，如何把

化成一般式

？∵(1+2i)(1-2i)=5，∴

上面这种方法称为“分母实数化”.3.规定(其中z≠0，n是正整数).1.一般的给定复数z≠0称

为z的倒数，z1除以z2的商也可以看成z1与z2的倒数之积.2.复数除法的一般计算公式为：求

的值.解：探究2：求实系数一元二次方程在复数范围内的解集.问题1：我们知道，虚数单位i是方程x2=1的一个解，还有其他复数是这个方程的解吗？因为

，所以x2=-1在复数内的解集为{i，-i}，问题2：如果实数a>0,那么方程x2=-a在复数范围内的解集是什么？当a>0时，可得

，

问题3：如何在复数范围内求方程

的解集.因为

，所以原方程可以化为

，从而可知

或

，因此

或

，所求解集为

.

思考：在复数范围内，方程

（其中a,b,c∈R,且a≠0,∆=b2=4ac<0）的根是什么？将

的二次项系数化为1，得

.配方，得

，即

.由∆<0，知

，可得

.所以原方程的根为

.当a，b，c∈R且a≠0时，关于x的方程

称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，而且(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根：注：(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程有两个互为共轭的虚数根：在复数范围内解方程：9x2+16=0.解：由题可知

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