17.2 第2课时 平行四边形的判定定理3 教学课件初中数学八年级下册

17.2第2课时

平行四边形的判定定理31.理解平行四边形判定定理3，能应用其解决证明的相关问题.思考

由平行四边形的性质“平行四边形的两条对角线互相平分”，逆向思考，互换条件和结论，试写出它的逆命题，并且你认为它是真命题吗？条件结论平行四边形的两条对角线互相平分逆命题一个四边形是平行四边形这个四边形的两条对角线互相平分一个四边形的两条对角线互相平分这个四边形是平行四边形试一试

如图，作一个两条对角线互相平分的四边形1.任意画两条相交直线

m

、n，记交点为

O；2.以点

O为中心，分别在直线

m、n

上截取

OB

与

OD

、OA

与

OC，使

OB

=

OD，OA=

OC，顺次连结所得到的四点，四边形

ABCD即为所要求作的四边形.mnODACBABCDO

证一证

已知：四边形

ABCD中，OA=OC，OB=OD.求证：四边形

ABCD是平行四边形.证明：在

△AOB和

△COD中，OA=OC(已知)，OB=OD(已知)，∠AOB=

∠COD(对顶角相等)，∴△AOB≌△COD(SAS).∴∠BAO=∠OCD，∠ABO=∠CDO.∴

AB∥CD，AD∥BC.∴四边形

ABCD是平行四边形.平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.几何语言描述：在四边形

ABCD中，∵AO=CO，DO=BO，∴四边形

ABCD是平行四边形.BODAC例1

如图，在□

ABCD中，点

E、F是对角线

AC上的两点，且AE=CF.求证：四边形

BFDE是平行四边形.

分析：连结

BD，交

AC

于点

O，由四边形

ABCD是平行四边形，可得OB=OD.如果能证明OE=OF，就可以根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”得到四边形

BFDE是平行四边形.证明：如图，连结

BD，交

AC于点

O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴

BO=DO，OA=OC(平行四边形的对角线互相平分).又∵

AE=CF，∴OA-

AE=CO-

CF，即

OE=OF.∴四边形

BFDE

是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形).1.如图，在四边形

ABCD中，AC与

BD交于点

O.如果

AC=8cm，BD=10cm，那么当

AO=____cm，BO=___cm时，四边形

ABCD是平行四边形.BODAC45例2

如图，在□

ABCD中，点F、H分别在边AB、CD上，且BF=DH.求证：AC和HF互相平分.分析：因为

AC

和

HF

是四边形AFCH

的对角线，所以要证明

AC和

HF

互相平分，只需证明四边形

AFCH

是平行四边形.典例精析解：分别连结

AH、CF.∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴AB∥CD

(平行四边形的对边平行)，AB=CD

(平行四边形的对边相等).又∵BF=DH，∴AB

-

BF

=

CD

-

DH，即

AF=CH，∴四边形

AFCH

是平行四边形∴AC

和

HF

互相平分.例3

如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：四边形ABCD是平行四边形.ABCD证明

∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，∵∠A=∠C，∠B=∠D，∴2∠A+2∠B=360°，即

∠A+∠B=180°，∴

AD∥BC.同理得AB∥CD，∴

四边形

ABCD

是平行四边形.典例精析两组对角分别相等的四边形是平行四边形2.判断下列四边形是否为平行四边形：ADCB110°70°110°ABCD120°60°是不是3.能判定四边形

ABCD是平行四边形的条件：

∠A∶∠B

∶∠C∶∠D的值为(

)A.1∶2∶3∶4

B.1∶4∶2∶3

C.1∶2∶2∶1

D.3∶2∶3∶2

D判定一个四边形是平行四边形可以从哪些角度思考?具体有哪些方法?从边考虑两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理2)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(判定定理1）从对角线考虑平行四边形的判定方法对角线互相平分的四边形是平行四边形(判定定理

3)1.如图，四边形

ABCD

的对角线交于点

O，下列哪组条件不能判断四边形

ABCD

是平行四边形(

)A．OA

=

OC，OB

=

OD

B．AB

=

CD，AO

=

COC．AB

=

CD，AD

=

BCD．∠BAD

=

∠BCD，AB∥CDBODACB

2.如图，△ABC

中，AB

=

AC

=

10，D

是

BC

边上的任意一点，分别作

DF∥AB

交

AC

于

F，DE∥AC

交

AB

于

E，求

DE

+

DF

的值．解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形

AEDF

是平行四边形.∴DE

=

AF.又∵AB

=

AC

=

10，∴∠B

=

∠C.∵DF∥AB，∴∠CDF

=

∠B.∴∠CDF

=

∠C.∴

DF

=

CF.∴

DE

+

DF

=

AF

+

FC

=

AC

=10．解：四边形

BMDN

是平行四边形．理由如下：连结

BD

交

AC

于

O．∵

BM⊥AC

于

M，DN⊥AC

于

N，∴∠AND

=

∠CMB

=

90°．∵四边形

ABCD

是平行四边形，∴OB

=

OD，AO=

CO，

AD=

BC，AD∥BC，∴∠DAN

=

∠BCM.∴△ADN≌△CBM.∴

AN

=

CM.∴OA

-AN

=

OC-CM，即

ON

=

OM.∴四边形

BMDN

是平行四边形．O3.如图，AC

是平行四边形

ABCD

的一条对

角线，BM⊥AC

于

M，DN⊥AC

于

N，四边形

BMDN

是平行四边形吗？说说你的理由．拓展探究

昨天小李同学在生物实验室做实验时，不小心碰碎了实验室的一块平行四边形的实验用的玻璃片，只剩下如图所示部分，他想回家去割一块赔给学校，带上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原来的平行四边形重新在纸上画出来?然后带上图