2026年数学建模基础理论与训练题目集

2026年数学建模基础理论与训练题目集一、线性规划问题（共3题，每题15分）题目1（物流配送路径优化问题）某城市物流公司负责在A市为三家工厂（工厂1、工厂2、工厂3）配送原材料。公司现有三个仓库（仓库1、仓库2、仓库3），分别存储不同种类的原材料。工厂对原材料的种类和数量有具体需求，仓库到工厂的运输成本（单位：元/吨）及各仓库的存储量（单位：吨）如下表所示：||工厂1需求量（吨）|工厂2需求量（吨）|工厂3需求量（吨）|存储量（吨）||-|-|-|-|--||仓库1|50|40|30|100||仓库2|60|50|40|120||仓库3|40|60|50|90|单位运输成本表：||工厂1|工厂2|工厂3||-|-|-|-||仓库1|4|5|6||仓库2|5|4|7||仓库3|6|7|4|要求：1.建立线性规划模型，确定各仓库到各工厂的配送方案，使总运输成本最小。2.若工厂1的需求量增加20吨，其他条件不变，重新求解最优配送方案及总成本变化。题目2（资源分配问题）某高校计划为三个学院（学院A、学院B、学院C）分配科研经费。学校总预算为500万元，各学院对经费的需求及预期效益（单位：万元/万元经费）如下表所示：|学院|需求量（万元）|预期效益||--|-|-||学院A|150|0.8||学院B|200|0.7||学院C|150|0.9|学校要求各学院获得的经费不得低于其需求量的70%，且学院C的经费不得超过总预算的30%。要求：1.建立线性规划模型，确定各学院的最优经费分配方案，使总预期效益最大。2.若学校预算增加50万元，其他条件不变，重新求解最优分配方案及总效益变化。题目3（生产计划问题）某制造企业生产两种产品（产品1、产品2），需要使用两种原材料（原材料A、原材料B）。生产每单位产品1需要消耗原材料A2单位、原材料B1单位；生产每单位产品2需要消耗原材料A1单位、原材料B2单位。原材料A的每日供应量为100单位，原材料B的每日供应量为120单位。产品1的售价为50元/单位，利润为30元/单位；产品2的售价为70元/单位，利润为40元/单位。企业要求产品1的产量不超过产品2的1.5倍。要求：1.建立线性规划模型，确定两种产品的生产计划，使企业总利润最大。2.若原材料A的供应量增加20单位，其他条件不变，重新求解最优生产计划及总利润变化。二、整数规划问题（共2题，每题20分）题目4（投资组合问题）某投资者有100万元资金，计划投资三家科技公司和一家房地产公司。投资决策需满足以下条件：1.对科技公司的投资总额不超过资金总额的60%；2.对房地产公司的投资不得少于对其中一家科技公司的投资额；3.每家公司的投资额必须是10万元的整数倍。各公司的预期收益率（年化）及风险系数（低风险为1，中风险为2，高风险为3）如下表所示：|公司类型|预期收益率（%）|风险系数||-|--|-||科技公司1|12|2||科技公司2|10|1||房地产公司|8|3|要求：1.建立整数规划模型，确定最优投资方案，使预期收益率最大且风险系数之和最小。2.若投资者要求风险系数之和不超过6，重新求解最优投资方案。题目5（项目选择问题）某企业有5个项目（项目1至项目5）可供选择投资，每个项目需要一次性投入，且项目间存在依赖关系：项目2需在项目1完成后投资，项目4需在项目1和项目2完成后投资，项目5需在项目2和项目3完成后投资。各项目的投资额、预期收益及持续时间（单位：月）如下表所示：|项目编号|投资额（万元）|预期收益（万元）|持续时间（月）|依赖项目||-|-||-|-||项目1|200|300|6|无||项目2|150|250|4|项目1||项目3|100|150|3|无||项目4|180|280|5|项目1、2||项目5|120|200|4|项目2、3|企业资金总额为500万元，要求选择部分项目投资，使总预期收益最大。要求：1.建立0-1整数规划模型，确定最优项目选择方案。2.若企业资金增加100万元，其他条件不变，重新求解最优项目选择方案。三、动态规划问题（共2题，每题25分）题目6（设备更新问题）某公司拥有一台设备，计划在接下来的5年内进行更新。设备在每年年初的购买成本及不同使用年限的维护成本如下表所示：|使用年限|购买成本（万元）|第1年维护成本（万元）|第2年维护成本（万元）|第3年维护成本（万元）|第4年维护成本（万元）|第5年维护成本（万元）||-||--|--|--|--|--||1|10|2|-|-|-|-||2|12|3|2|-|-|-||3|15|4|3|2|-|-||4|18|5|4|3|2|-||5|22|6|5|4|3|2|公司要求在每年年初决定是否更新设备，使5年内的总成本最小。要求：1.建立动态规划模型，确定最优的设备更新方案。2.若设备在第5年末必须报废，其他条件不变，重新求解最优方案。题目7（多阶段决策问题）某城市交通管理部门需要规划一条从市中心（节点A）到郊区（节点F）的公交线路。路线包含6个主要站点（A→B→C→D→E→F），各站点间存在不同距离（单位：公里）及乘客流量（单位：人次/天）。若在某站点增加公交站点，需额外建设成本（单位：万元/站点）。各站点间距离及乘客流量如下表所示：|站点间距离（公里）|乘客流量（人次/天）|额外建设成本（万元/站点）||-||||A→B|500|10||B→C|400|8||C→D|300|6||D→E|200|5||E→F|100|4|管理部门要求在满足乘客总流量不低于10000人次/天的前提下，使线路总建设成本最小。要求：1.建立动态规划模型，确定最优的公交站点规划方案。2.若乘客总流量要求提高至12000人次/天，其他条件不变，重新求解最优方案。四、图论与网络流问题（共2题，每题25分）题目8（最短路径问题）某城市计划修建一条从机场（节点A）到火车站（节点F）的地铁线路，路线包含7个主要站点（A→B→C→D→E→F）。各站点间距离（单位：公里）如下表所示：|站点间距离（公里）||-||A→B|5||B→C|4||C→D|6||D→E|3||E→F|7||A→C|7||B→D|8||C→E|5|要求：1.建立最短路径模型，确定从机场到火车站的最短路线及距离。2.若新增一条B→E的路线，距离为6公里，重新求解最短路径。题目9（最大流问题）某城市供水系统包含5个主要水泵站（泵站1至泵站5）和4个居民区（区域1至区域4），各泵站到居民区的供水能力（单位：万吨/天）如下表所示：|泵站→区域|供水能力（万吨/天）||--|||泵站1→区域1|40||泵站1→区域2|30||泵站2→区域2|50||泵站2→区域3|40||泵站3→区域3|30||泵站3→区域4|50||泵站4→区域4|60||泵站5→区域1|20||泵站5→区域2|40|要求：1.建立最大流模型，确定系统最大供水能力。2.若泵站3到区域4的供水能力增加20万吨，其他条件不变，重新求解最大供水能力。五、概率统计与随机过程问题（共2题，每题25分）题目10（排队论问题）某银行营业厅有3个窗口提供贷款业务，顾客到达服从泊松分布，平均每小时到达10人；各窗口服务时间服从负指数分布，平均服务时间为15分钟。要求：1.建立M/M/c排队模型，计算系统平均等待人数、平均排队长度及顾客等待时间期望。2.若增加一个窗口，其他条件不变，重新求解上述指标。题目11（马尔可夫链问题）某电商平台用户流失状态分为：留存（状态1）、低活跃（状态2）、流失（状态3）。状态转移概率矩阵为：||留存|低活跃|流失||-||--|||留存|0.8|0.1|0.1||低活跃|0.5|0.3|0.2||流失|0|0|1|假设初始状态为100%留存，计算1个月后各状态的用户占比。要求：1.建立马尔可夫链模型，求解稳态分布。2.若低活跃用户的流失概率增加至0.3，其他条件不变，重新求解稳态分布。答案与解析一、线性规划问题题目1答案：1.模型：目标函数：minZ=4x11+5x12+6x13+5x21+4x22+7x23+6x31+7x32+4x33约束条件：-x11+x12+x13≤100-x21+x22+x23≤120-x31+x32+x33≤90-x11+x21+x31=50-x12+x22+x32=40-x13+x23+x33=30-xij≥02.工厂1需求增加20吨：约束条件调整为：-x11+x12+x13=70最优解需重新求解。题目2答案：1.模型：目标函数：maxZ=0.8yA+0.7yB+0.9yC约束条件：-yA+yB+yC≤500-0.7yA≥150-0.7yB≥200-0.7yC≤150-yC≤1502.预算增加50万元：约束条件调整为：-yA+yB+yC≤550最优解需重新求解。题目3答案：1.模型：目标函数：maxZ=30x1+40x2约束条件：-2x1+x2≤100-x1+2x2≤120-x1≤1.5x2-x1,x2≥02.原材料A供应增加20单位：约束条件调整为：-2x1+x2≤120最优解需重新求解。二、整数规划问题题目4答案：1.模型：目标函数：maxZ=12y1+10y2+8y3-2r1-3r2-3r3约束条件：-y1+y2≤600-y3≥y1或y3≥y2-yij≥0,整数2.风险系数之和不超过6：新增约束：r1+r2+r3≤6最优解需重新求解。题目5答案：1.模型：目标函数：maxZ=300y1+250y2+150y3+280y4+200y5约束条件：-