中考数学复习专题代数式

中考数学复习专题代数式

一.教学目标：

1.复习整式的有关概念，整式的运算

2.理解因式分解的概念，驾驭提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，

能把简洁多项式分解因式。

3.驾驭分式的概念、性质，驾驭分式的约分、通分、混合运算。

4.理解平方根、立方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根和算

术平方根。会求实数的平方根、算术平方根和立方根，了解二次根式、最简二次根式、同

类二次根式的概念，会辨别最简二次根式和同类二次根式。驾驭二次根式的性质，会化简

简洁的二次根式，能依据指定字母的取值范围将二次根式化简;驾驭二次根式的运算法则,

能进行二次根式的加减乘除四则运算，会进行简洁的分母有理化。

二.教学重点、难点：

因式分解法在整式、分式、二次根式的化简与混合运算中的综合运用。

三.学问要点：

学问点1整式的概念

整式］单项式——单项式的次数系数

(多项式——多项式的次数项数系数——升降某排列

(1)整式中只含有一项的是单项式，否则是多项式，单独的字母或常数是单项式；

(2)单项式的次数是全部字母的指数之和；

多项式的次数是多项式中最高次项的次数；

(3)单项式的系数，多项式中的每一项的系数均包括它前面的符号

(4)同类项概念的两个相同与两个无关：

两个相同：一是所含字母相同，二是相同字母的指数相同；

两个无关：一是与系数的大小无关，二是与字母的依次无关;

(5)整式加减的实质是合并同类项；

(6)因式分解与整式乘法的过程恰为相反。

学问点2整式的运算(如结构图)

塞的运算

(咐"=anbn

单项式乘以单项式

单项式乘以多项式提公因式法

＞因式分解

多项式乘以多项式公式法

(«+b^ci-b)=a~-b~

乘法公式

(a+b)2=a2+lab+b2

学问点3因式分解

多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积.分解因式要进行到每一个

因式都不能再分解为止.分解因式的常用方法有：

(1)提公因式法

如多项式am+bm+cm=m(a+/?+c),

其中m叫做这个多项式各项的公因式，m既可以是一个单项式，也可以是一个多项

式.

(2)运用公式法，即用

a2-b2=(a+b)(a-b),

a2±2ab+b2=(a±b)2,写出结果，

a5±b'=(a±b)(a2+ab+b2)

(3)十字相乘法

对于二次项系数为1的二次三项式/+/»+/找寻满意ab=q,a+b=pa,b,

如有,则/+px+g=(x+a)(x+/1);对于一*般的二次三项式以2+历;+C(〃*0),找寻满意

a】a2=a,c1C2=c,a1C2+a2cl=b的a］，a2,，，c2,如有，则。厂+bx+c=(qx+ct\a2x+c2).

(4)分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各

组之间进行.

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前

面是“一”号，括到括号里的各项都变更符号.

(5)求根公式法：假如♦+法+6、=03‘工0),有两个根Xi,x2,那么

ax-4-bx+c=a(x-x))(x—x2)(>

学问点4分式的概念

(1)分式的定义：整式A除以整式B,可以表示成《的形式。假如除式B中含有字

D

母，那么称今为分式，其中A称为分式的分子，B为分式的分母口

对于随意一个分式，分母都不能为零。

(2)分式的约分

(3)分式的通分

学问点5分式的性质

(1)等=。，叱。)(2)已知分式分式的值为正：a与b同号；分式的值为负：a

与b异号；分式的值为零：a=。且bwO;分式有意义：bwO。

(3)零指数40=1("0)

(4)负整数指数a-P=4(awO,p为正整数).

a1

am-an=am+n,

(5)整数骞的运算性质心""二心”"

(am)n=am\

(ab)n=anbn

上述等式中的m、n可以是。或负整数.

学问点6根式的有关概念

1.平方根：若x2=a(a>0),则x叫做a的平方根，记为士而。

留意：①正数的平方根有两个，它们互为相反数；②。的平方根是。；③负数没有平

方根；

2.算术平方根：一个数的正的平方根叫做算术平方根；

3.立方根：若x3=a(a>0),则x叫做a的立方根，记为瓜。

4.最简二次根式

被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式,

叫做最简二次根式。

5.同类二次根式：化简后被开方数相同的二次根式。

学问点7二次根式的性质

②(向2>

①右(心0)是一个非负数；=a(a0)

a(a>0)

④后亲/>0)

③(Va)~=|a|=<0(a=0)

-a(a<0)

⑤•4b(a>0,b>0)

学问点8二次根式的运算

(1)二次根式的加减

二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并.

(2)二次根式的乘法

二次根式相乘，等于各个因式的被开方数的积的算术平方根，即

Va-<b=Vab(a>0,b>0).

二次根式的和相乘，可参照多项式的乘法进行.

两个含有二次根式的代数式相乘，假如它们的积不含有二次根式，那么这两个二次根

式互为有理化因式.

(3)二次根式的除法

二次根式相除，通常先写成分式的形式，然后分子、分母都乘以分母的有理化因式，

把分母的根号化去(或分子、分母约分).把分母的根号化去，叫做分母有理化.

例题精讲

例1.假如单项式以‘”)产7与一5/-〃？5的和①为0时，外m、n各为多少？②仍为一个

单项式，a、m>n各为多少？

a为有理数

例2.因式分解：(1)4〃氏2-9冲2(2)(6/+b)2+2(«+/?)+1(3)-2x2+5xy+

2y2

解：①原式=111(2x4-3y)(2x-3y)

②原式=(a+b+D

③令-2x?+5xy+2y2=0

-5y±J25y2+]6y25±a

:

x=--------------------y

-4-

5+如5-V4?

原式=-2(x-y)

44

例3.(1)已知(3/一2〃+1)(〃+幻的结果中不含二项，求k的值；

(2)%的一个因式是求k的值；

解：⑴选的系数为：3k-2=0.\k=1

J

(2)当a=-l时(-1)3-(-1)2+(-1)+k=0.・.k=3

例4.利用简便方法计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)的

值,

你能确定积的个位数是几吗？

解：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)

=264_I・.,264的个位数为6...积的个位数字为5

例5.x为何值时,下列分式的值为0?无意义？

|力2

(1)(2)£-3"2

x+2X2-x-2

解：当①x=2②x=l时为零当③x=-2④x=2,x=-l时分式无意义

例6.分式的约分与通分

0.8x2ny2n-13c5b

1.约分:通分套

1.4x2n-ly2n+l10a2b'-2ac2

4x8aZ3bc'-25ab

解：①原式=②

7y210a2b2c29\Oa2b2C2'\Oa2b2c2

x-3x2-2x-31

例7.先化简后再求值:―----------1------,其中x=V^+l

x2-lx~+2x+1x+1

x-3(A+1)2

原式=X+—

U+lXx-3)X+1

12x

+—=-

x-\x+1x2-\

当*=&+1时，原式=1

例8.若最简二次根式-;后与3“^三是同类二次根式，求a的值。

解：l+a=4a?—2=0,ai=l,a=--

24

yla2-2^+1一(")、(夕值

例9.已知:a=----尸，求

2+y/3

a=-----产a=2—A/3V1

2+J3

|aT|-1)2।]

原式=--——(a-1)+1=———a+l+l=-L-a+2

a(a-l)a-\aa

1

当a=时，a=2-V3,-=2+V3

2+73a

•二原式=-2—V5—2+V5+2=-2

例10.把根号外的因式移到根号内：_

⑴出;⑵（x-1）^^^；（3）X卜；;（4）（2-x）^-^

解：（1）原式=&（2）原式=-Jl-x（3）原式=-J-x（4）原式=-Jx-2

例11.视察下列各式和其验证过程

区—/(23-2)+2_/2(22-1)+2_I2

VT-V-22-1--V-22-1-V+3

依据上述两个等式和其验证过程的基本思路，猜想4e的变形结果并进行验证。

针对上述各式反映的规律，写出用n（n为随意自然数，且n>2）表示的等式，并给

且1ME图局缭用

一.选择题

1.下列运算正确的是（）

A.2x3•3x2=6x6B.3a,n-4a=12amC.—2a3•(—3tz)=6<rz4D.

（一份2.（-2Z?）3=2Z?5

2.把a2-a—6分解因式，正确的是（）

A.a(a-1)-6B.(a-2)(a+3)C.(a+2)(a-3)D.

(a—1)(a+6)

3.设(x+y)(x+24-y)-15=0,则x+y的值是()

A.-5或3B.—3或5C.3D.5

4.不论a为何值，代数式一a2+4a—5的值()

A.大于或等于0B.0C.大于。D.小于0

5,化简二次根式、pp的结果是()

A.J—a—2B.-J—a—2C.Ja—2D.-y/a-2

6.下列命题：（1）任何数的平方根都有两个（2）假如一个数有立方根，那么它肯定

有平方根（3）算术平方根肯定是正数（4）非负数的立方根不肯定是非负数，错误的个

数为（）

A.1B.2C.3D.4

7.当l<x<2时，化简Il—x|+[4—4X+X2的结果是()

A.-1B.2x—1C.1D.3—2x

二.填空题

8.矩形的面积为6x2+13x+5(x>0),其中一边长为2x+l,则另一边为。

9.对于分式中,假如x、y都扩大为原来的3倍，则分式的值

厂

10.若x2+kx-6有一个因式是(x-2),则k的值是;

11.(-五产的平方根是,9的算术平方根是,—是一64的立方根。

12.拒-6的倒数是;应的肯定值是o毒的有理化因式

是,g的有理化因式是o

三.计算与解答题

13.三角形某一边等于为+〃，其次边比第一边小(g"2),而第三边比第一边大

这个三角形周长为多少？

14.a、b、c为/ABC三边，利用因式分解说明b2-a?+2ac-c2的符号

15.实数范围内因式分解

(1)X2-2X-4(2)4x2+8x-l(3)2x2+4xy+y2

x2+3xy

16.已知x2-5xy+