专题03函数图像的压轴真题训练

挑战2023年中考数学选择、填空压轴真题汇编

专题03动点问题的函数图象压轴真题训练

1.（2021•益阳）如图，己知口的面积为4,点P在45边上从左向右运

动（不含端点），设△APO的面积为x,△3PC的面积为y,则y关于x的函

数图象大致是（）

【答案】B

【解答】解：•・•0力BCQ的面积为4,x+y是平行四边形面积的一半，

；・x+y=2,

.\y=2-x,

是x的一次函数，

且当x=0时，y=2：x=2时，歹=0；

故只有选项8符合题意.

故选：B.

2.（2021♦河南）如图1,矩形48CQ中，点E为的中点，点。沿4C从点

8运动到点C,设8,P两点间的距离为x,PA-PE=y,图2是点P运动时

y随x变化的关系图象，则8C的长为（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解答】解：由函数图象知：当x=0,即尸在3点时，BA-BE=1.

利用三角形两边之差小于第三边，得至

・•・》的最大值为AE,

•»AE=5.

21

在Rt△力BE中，由勾股定理得：BA+BE=AE?=25f

设BE的长度为3

则BA=t+T,

：.（r+1）2+r2=25,

即：t2+t-12=0,

・•・（什4）（Z-3）=0,

由于r>0,

・・.什4>0,

:・t-3=0,

Z—3.

：.BC=2BE=2t=2X3=6.

故选：C.

3.（2022・鞍山）如图，在中，NACB=90°,ZA=30°,AB=4时cm,

CDA.AB,垂足为点。，动点M从点/出发沿48方向以畲c〃曲的速度匀速

运动到点£同时动点N从点。出发沿射线QC方向以1c〃心的速度匀速运

动.当点用停止运动时，点N也随之停止，连接设运动时间为S△

的面积为Sc〃落则下列图象能大致反映S与/之间函数关系的是（）

【答案】B

【解答】解：•：/ACB=90°,/力=30°,AB=4几

:.NB=60°,BC=LB=2M，AC=^BC=6,

2

*：CDLAB,

C

・・・CO=L=3,AD=^3CD=3431BD=1BC=^

22

，当“在4D上时,04W3,

MD=AD-AM=3g■正3DN=DC+CN=3+t,

:・S='D・DN=L(373-V3r)（3…一浮吟

22

当〃在8。上时，3<fW4,

MD=AM-AD=42t-3弧,

：.S=1-MD9DN=^-(V3^-3V3)"等等

22

故选：B.

4.（2022•荷泽）如图，等腰RtZ\/4C与矩形。EFG在同一水平线上，AB=DE

=2,DG=3,现将等腰Rt△4BC沿箭头所指方向水平平移，平移距离工是自

点C到达DE之时开始计算，至力3离开GF为止.等腰RtAJ5C与矩形DEFG

的重合部分面积记为y,则能大致反映y与x的函数关系的图象为（）

【答案】B

【解答】解：如图，作于点H,

・；4B=2,△彳8C是等腰直角三角形，

:・CH=\,

故选：B.

5.（2022•鄂尔多斯）如图①，在正方形48CQ中，点A/是48的中点，点N

是对角线8。上一动点，设。N=x,AN+MN=y,已知y与x之间的函数图象

如图②所不，点£（a,2爬）是图象的最低点，那么。的值为（)

【解答】解：如图，连接AC交BD于点。,连接NC,连接MC交BD于点N'.

•・•四边形48CO是正方形，

・・・。是4。的中点，

丁点M是45的中点，

:.N是△45C的重心，

:・N'0=1-80,

3

：.NrD=2LBD,

3

;力、。关丁对称，

:・NA=NC,

:・AN+MN=NC+MN,

•・,当A/、N、C共线时，y的值最小,

的值最小就是MC的长，

:.MC=2®

设正方形的边长为小则!〃，

2

在RtZ\8CW中，由勾股定理得：MUBC+MB，

.*.20=/7/2+（4〃）2,

2

••〃7=4,

:.BD=4版,

：・a=ND=&BD="啦=封2,

333

故选：A.

6.（2021•鞍山）如图，ZVIBC是等边三角形，/8=6cm,点/从点C出发沿

CB方向以\cm/s的速度匀速运动到点B,同时点N从点C出发沿射线CA方

向以2c〃次的速度匀速运动，当点〃停止运动时，点N也随之停止.过点"

作MP//CA交AR于点P,连接MN,NP,作关于直线MP对称的△

MN'P,设运动时间为Zs,/\MN'。与△BMP重叠部分的面积为Sc/,则

能表示S与，之间函数关系的大致图象为（）

【答案】A

【解答】解：如图1中，当点M落在上时，取CN的中点八连接

B

图1

9：CM=t(cm),CN=2t(cm),CT=TN,

：.CT=TN=t(cm),

•••△/BC是等边三角形，

AZC=ZJ=60°,

•••△MC7是等边三角形，

:.TM=TC=TN,

・・・NCMV=90°,

,:MP〃AC,

:・/BPM=/A=/MPN=60°,NBMP=NC=60°,ZC+ZCA/P=180°,

：.ZCMP=\20°,“是等边三角形，

:・BM=MP,

■:/CMP+/MPN=\80°,

:.CM〃PN,

♦：MP〃CN,

・・・四边形CMPN是平行四边形，

:・PM=CN=BM=N,

.\3/=6,

如图2中，当0V/W2时，过点M作MK_L4C于K,则MK=CM・sin60°=恒,

2

B

图2

.・.S=_k・(6-z)・返」=-返尸43点九

2242

如图3中，当2V/W6时，S=1*MQ*PQ=1X^L(6-r)xl(6-r)=2

22222

xYl(6-r)2,

4

B

图3

观察图象可知，选项/符合题意,

故选：A.

7.（2021•威海）如图，在菱形48C。中，AB=2cm,NO=60°,点产，0同

时从点4出发，点P以Icmk的速度沿A-C-D的方向运动，点。以2cm/s

的速度沿的方向运动，当其中一点到达。点时，两点停止运

动.设运动时间为工（s）,△ZP。的面积为歹&•/）,则下列图象中能大致

反映y与x之间函数关系的是（）

DC

QB

【答案】A

【解答】解：•・•四边形48co为菱形,

：.AB=BC=CD=DA=2cm,N4=NO=6(T.

:AABC、△力CO都是等边三角形，

AZCAB=ZACB=ZACD=60°.

如图1所示，当OWxWl时，AQ=2xcm,AP=xcm,

作PEA.AB于E,

：.PE=s\nZPAEXAP=^-xCem),

2x

，2

.\y=X4Q^PE=lx2xX^l-x=^-x

222*2*

故。选项不正确；

如图2,当1VXW2时，AP=xcm,CQ=(4-2x)cm,

作。0L/C于点R

.*.QF=smZACB*CO=^-(4-2x)(c〃z)，

2

•••JM^AP.QFUxX除q-ZxL^xZ/x，

乙乙乙乙

故8选项不正确；

如图3,当2VxW3时，CQ=(2x-4)cm,CP=(x-2)cm,

：.PQ=CQ-CP=2x-4-x+2=(x-2)cm,

作力G_LZ)C于点G,

・"G=sinN4co・/C=返乂2=畲(cm)»

2

•••J，='・AG・PQ='xV^(x-2)=^~x~V§.

乙乙乙

故c选项不正确，

8.（2021•口照）如图，平面图形48。由直角边长为1的等腰直角△40。和扇

形B。。组成，点P在线段45上，PQA-AB,且。。交或交而于点0.设

AP=x（0<x<2）,图中阴影部分表示的平面图形力P0（或力尸。。）的面积

为歹，则函数y关于x的大致图象是（）

OB

【解答】解：当0在力。上时，即点尸在力O上时，有OVxWl,

此时阴影部分为等腰直角三角形，

•v=112

22

该函数是一次函数，且开口向上，排除A,C选项：

当点。在弧8。上时，补全图形如图所示，

阴影部分的面积等于等腰直角△4。。的面积加上扇形BOD的面积，再减去平

面图形PBQ的面积却减去JL弓形。8尸的面积，

2

设N0O8=e,则/0。/=20,

2

・11c_eJlrc

•,SAA0D至X1x1=5，s弓形QBF-70S即'

当8=45°时，AP—x—1+2/2.^1.7,S弓形0"=2L-_L义亚x逛~=三-工，

y=X+2L-X（2L-A）

2424248

当6=30°时，"=xF.87,S弓形0"=2L-2x工X«=N-近，

62264

当6=60°时，AP=x^\.5,j/^0.98,

在4。选项中分别找到这两个特殊值，对比发现，选项。符合题意.

故选：D.

法二、当1VXV2时，即尸在。8之间时，设/。0。=仇则%（0,2L）,

则尸0=cos8,OP=sin6,

则弧0。的长为。IT,

此时SSJ=A+Aeir+Asin0cos0=A+Ao+JLsin20,

222224

・・・y随］的增大而增大，而且增加的速度越来越慢，分析四个选项中的图象，

只有选项。符合.

故选：D.

9.（2021•辽宁）如图，在矩形48CQ中，AB=6,AD=4,E是CQ的中点，

射线4E与8C的延长线相交于点E点〃从力出发，沿一尸的路线匀

速运动到点尸停止.过点/作MV_L4b于点N.设NN的长为x,A/MN的

面积为S,则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（）

【答案】B

【解答】解：如图,

BCF

•・・£是。。的中点，

:・CE=DE,

•・•四边形月3CQ是矩形，

：.ZD=ZDCF=9()°,4D=BC=4,

在△力QE与△/CE中，

rZD=ZECF

、DE=CE，

ZAED=ZFEC

:•△ADE々AFCE(SAS),

：.CF=AD=4,

:・BF=CF+BC=8,

•**^^=V62+82=10'

当点M在,伤上时，

在RtZ\4WN和RtAAFB中，

tanZAMM=M=^L,

ANAB

，入加=区=&,

63

・•.△4WV的面积S=lxAvXx=^x2,

233

・・・当点M在46上时，函数图象是开口向上、经过原点的抛物线的部分;

当点M在B/上时，如图，

AN=x,?/F=10-Xr

在RtZ\KWN和RtAFBA中，

tanZF=M^B,

NFBF

・•・NM=4（10-X）=一日'片,

o七乙

•••△力必"的面积5=/*乂乂（4x若）

_3_215

=百x

・•・当点〃在8尸上时，函数图象是开口向下的抛物线的一部分;

10.（2021•苏州）如图，线段48=10,点C、。在上，AC=BD=\.已知

点户从点。出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点。移动，到这点

。后停止移动.在点P移动过程中作如卜操作：先以点P为圆心，PA.PB

的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个

圆锥的侧面，设点尸的移动时间为Z（秒），两个圆锥的底面面积之和为S,

则S关于/的函数图象大致是（）

A.B.

【答案】D

【解答】解：・・ZB=10,AC=BD=\,

：.CD=\O-1-1=8,

*：PC=t,

：.AP=t^\,尸8=8・rH=9・/，

设围成的两个圆锥底面圆半径分别为，•和R则：

2"=需冗・（t+l）；2兀R:鲁冗・（9-t>

loUloU

解得：厂=旦，

66

2

・•・两个圆锥的底面面积之和为S=兀（上二）2+打（"1）

66

_兀，2、兀/2、

而（t+2t+l）w^-（t-18t+81）

=77（t2-8t+41）»

io

根据函数关系式可以发现该函数图象是一个开口向上的二次函数.

故选：D.

11.（2021•甘肃）如图1,在△48C中，AB=BC,BD人AC于点、D（AD>BD）.动

点A/从/点出发，沿折线力8-*8。方向运动，运动到点。停止.设点M的

运动路程为x,△力的面积为y,y与x的函数图象如图2,则/C的长为

（）

【答案】B

【解答】解：由图2知，AB+BC=26,

■:AB=BC,

:•AB=y]13，

":AB=BC,BDA.AC,

：.AC=2AD,ZADB=90°,

在RtAABD中,AD2+BD2=AB2=13①，

设点M到IC的距离为人

S4ADM=LD*h,

2

•・•动点M从4点出发，沿折线—8c方向运动，

・・・当点M运动到点8时，河的面积最大，即/?=%）,

由图2知，的面积最大为3,

・・.工。・8。=3,

2

：.AD*BD=6@,

①+2X②得，AD、B。+2/。・&）=13+2X6=25,

・•・（AD+BD）2=25,

・FD+BD=5（负值舍去），

:・BD=5-4D③,

将③代入②得，AD（5・4。）=6,

・・・力。=3或4。=2,

*：AD>BD,

：.AD=3,

・\力C=2/0=6,

故选：B.

12.（2021•百色）如图，矩形Z8CO各边中点分别是£\F、G、H,48=2a,

BC=2,M为4B上一动点,过点〃作直线/_48,若点/从点4开始沿着

方向移动到点8即停（直线/随点/移动），直线/扫过矩形内部和四边

形EFGH外部的面积之和记为S.设则S关于x的函数图象大致是

（）

【解答】解：①当M点运动在力E段,

此时S=SdH6SdGHD-S^EOM~S^GPS，

•・•四边形4BCQ是矩形，直线/_L48,H、E、F、G为AD、4B、BC、CO的

中点，

；・4H=—AD~—BC=1,AE=—AB~V3，S^HAE=S^GHD，S^EOM=S4Gps，

222

*'•S=2S^HAE~2sAEOM，

：.S：=LE.AH=叵;

22

•・•直线LL/8,

：.ZOME=ZA=9O0,/HEA=/OEM,

:AHAESAOME,

•••-A--H-=--O-M-,

AEME

・・・0M=除ME，

o

又・：ME=AE-AM=43-x，

・・・加染”乐氏x)，

oo

**,SAEOM=~^OM・婕=零~(V3-x)2,

/b

***S=2S/.HAE-2s八-呼.(V3-X)2,

此时，对应抛物线开口向下；

②当〃点运动到在BE段，

此时，S=SaHA计sNHD+SNO'Ml+S.GP'Sl,

B|JS=2S^lfAE^-2S^EO\M\»

与①同理，

OM

又•・・M1E=4V/1-AE=x-V3,

AOiMi=

,,=点0M・从E=^-(x-M)2,

Z1110

**•S=2S△〃小2s△反m

此时，对应抛物线开口向I.,

故选：D.

13.(2021•鄂尔多斯)如图①，在矩形N8CO口，〃为边上的一点，点"

从点A出发沿折线.4〃-IIC-CB运动到点B停止，点N从点A出发沿AB运

动到点8停止，它们的运动速度都是"〃加，若点M、N同时开始运动，设运

动时间为/(s)，ZX/MN的面积为S(a/),已知S与l之间函数图象如图

①当0VZW6时，△力MN是等边三角形.

②在运动过程中，使得为等腰三角形的点M一共有3个.

③当0<W6时，5=®$.

4

④当2=9+遮时，XADHS^ABM.

⑤当9V/V9+3a时，S=-3什9+3a.

A.①③④B.①③⑤C.①②④D.③④⑤

【答案】A

【解答】解：由图②可知：点"、N两点经过6秒时，S最大，此时点M在

点”处，点N在点3处并停止不动，如图，

①•・,点A/、N两点的运动速度为lc7〃/s,

1・AH=AB=6cm,

・・,四边形48CO是矩形，

:・CD=AB=6cm.

*.*当Z=6s时,S=9j§cnv,

：.1.XABXBC=9^3.

2

3^3cm.

・.•当6W/W9时，S=W§且保持不变，

・••点N在B处不动，点M在线段HC上运动，运动时间为(9-6)秒,

:・HC=3cm,即点，为CD的中点.

^//=VCH2+BC2=VS2+(3V3)2=6cm•

:.AB=AH=BH=6cm,

:.4ABM为等边三角形.

：.ZHAB=60°.

二•点/、N同时开始运动，速度均为1cm/s,

：.AM=AN,

・••当0V/W6时，△4MN为等边三角形.

故①正确；

②如图，当点材在40的垂直平分线上时，△4。”为等腰三角形：

此时有两个符合条件的点；

当40=4%时，为等腰三角形，如图:

当D4—DW时，河为等腰三角形，如图:

综上所述，在运动过程中，使得^力。河为等腰三角形的点M一共有4个.

・・・②不正确；

③过点"作M£_LN8于点E,如图，

由题意：AM=AN=t,

由①知：/HAB=60°.

在Rt/\AME中，

,：sinZ1MAE=^,

AM

ME=AM*sin600%

2

；.S=X4NXME=1x^-tXt=^-+2c〃汽

222tt4(

・••③正确；

④当时，CM=Mcm,如图，

由①知：BC=3近cm,

:,MB=BC-CM=mcm.

•；AB=6cm,

tanZ_MAB=—,

AB63

：.ZMAB=30°.

■:NH4B=60°,

ZDAH=90°-60°=30°.

・•・ZDAH=/BAM.

ZD=ZB=90°,

・•・/XADH^AABM.

・••④正确；

⑤当9W9+3班时，此时点A/在边上，如图,

J1匕时4/3=9+3%

：.S=1XABXMB=1X6X（9+3正-）=27+973-3r

22

・・・⑤不正确；

综上，结论正确的有：①③④.

故选：A,

14.（2021•通辽）如图，在矩形力BCQ中，45=4,BC=3,动点尸，0同时从

点力出发，点。沿4一8一C的路径运动，点。沿4一。一C的路径运动，点

P,0的运动速度相同，当点夕到达点。时，点。也随之停止运动，连接P。.设

点0的运动路程为x,PQ2为y,则y关于x的函数图象大致是（）

【解答】解：当0Wx<3时，在Rt△/尸。中，^QAP=90°,AP=AQ=xf

：.PQ2=2x2.

：.y=PQ2=2x2；

当3WxW4时，DQ=x-3,AP=x,

.*.j；=P22=32+32=18；

当4«7时，CP=7-x,CQ=1-xf

：.y=P^=CP2+Cg2=2x2-28x+98.

故选：C.

15.（2021•湖北）如图，4C为矩形48C。的对角线，已知40=3,。。=4,

点尸沿折线C-1以每秒1个单位长度的速度运动（运动到。点停止），

过点P作PE_LBC于点、£则△CQE的面积〉与点P运动的路程式间的函数

图象大致是（）

D_______C

1Z\E

8

【解答】解：•：BC1AD,

：.NACB=NDAC,

•：ZPEC=ZD=90°,

:ZCEs^CAD,

•・•C■P—-C—E—-P—E—,

ACADCD

CD=4,

•*-AC=VAD2-K7D2=5，

・•・当尸在。上时，即当0VxW5时，

PE=CD'PC=Av,

AC5

当，

AC5

=v2

：.y=l-PE*CE=­X—xX—x-^»

225X5X25

当。在4。上运动时，即当5<rW8时，

PE=CD=4,

CE=8-x,

：.y=lpE*CE=^-X4X(8-x)=16-2x,

22

综上，当0VxW5时，函数图象为二次函数图象，且y随x增大而增大，当5

Vx《8时，函数图象为一次函数图象，且歹随x增大而减小，

故选：。.

16.(2021•衡阳)如图1,菱形力8CQ的对角线4C与8。相交于点O,P、Q

两点同忖从。点出发，以1匣米/秒的速度在菱形的对角线及山上运动.点P

的运动路线为。・力・。・。，点。的运动路线为0-C・8・0.设运动的时

间为x秒，P、。间的距离为y厘米，y与x的函数关系的图象大致如图2所

示，当点。在4-0段上运动且P、。两点间的距离最短时，P、。两点的运

动路程之和为厘米.

［答案］（2拆+3）

【解答】解：由图分析易知：当点尸从O-*力活动时，点。从O-*C运动时,

＞不断增大，

当点。运动到/点，点。运动到C点时，由图象知此时、=尸。=2近cm,

**•AC=,

・・,四边形43C。为菱形，

：.AC±BDf0A=0C=k^=^3cm,

2

当点。运动到。点，0运动到8点，结合图象，易知此时，尸80=2c町，

：.OD=OB=lsD=\cm,

2

在RtZ^4。。中，AD=VOA2OD2=V（V3）2+12=2（。阳），

*.AD=AB=BC=DC=2cm,

如图，当点尸在4■。段上运动，点户运动到点七处，点。在。・8段上运

此时，。£=。£=生也=近卫工1_,

AD22

^£=CF=VOA2-OE2=^3-|-=-|»

・•・当点P在力-。段上运动且P、。两点间的距离最短时，P、。两点的运动

路程之和为：

（V3-4）X2=（273+3）Gm）,

故答案为：（2/§+3）.

17.（2021•武汉）如图（1）,在△力8c中，AB=AC,ZBAC=90°,边AB

上的点。从顶点力出发，向顶点8运动，同时，边8。上的点£从顶点8出

发，向顶点C运动，D,£两点运动速度的大小相等，设工=/0,产力E+C。,

»关于x的函数图象如图（2）,图象过点（0.2）,则图象最低点的横坐标

是.

【答案】V2-1

【解答】解：•・•图象过点（0,2）,

即当x=4O=8£=0时，点。与4重合，点£与8重合，

此时y=4E+CQ=4B+/C=2,

•••△43C为等腰直角三角形，

：.AB=AC=\,

过点4作力/_L3C『点凡过点B作NBLBC,并使得3N=/C,如图所示:

■:AD=