第五章图形的轴对称问题解决策略课件-转化2025-2026学年数学北师大版七年级下册

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如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁有点A和点B，表示两

个工厂．要在铁路上建一货站P，使它到两厂距离之和最短，这个货站

P应建在AB与MN的交点处，这种做法用几何知识解释应是

⁠

⁠．两点之间

线段最短

知识点1

线段转化——最短路径

例1

如图1，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l处饮马，然后回

到B地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路程最短？小明同学用

轴对称的方法巧妙地解决了这个问题：如图2，作点B关于直线l的对称

点B′，连接AB′与直线l交于点P，点P就是饮马的位置．下面是小明根据

这一方法写出的证明过程：

证明：如图3，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于

点P′，在直线l上任取一点P(与点P′不重合)，连接BP′.因为点B与点B′关

于直线l对称，

所以PB＝

，P′B＝

．所以AP＋PB＝AP＋

PB′≥

⁠．

当A，P，B′三点共线，即点P与点P′重合时，AP＋BP的值最小，最小值为AB′的长，即点P′就是饮马的位置．PB′P′B′AB′

(1)解决问题：补全证明过程；

(2)模型应用：如图4，红星村M和幸福村N在一条大河CD的同侧，

现要在河岸CD上建一水厂P，并从水厂向两村铺设管道以输送自来

水．请你在河岸CD上选择水厂P的位置，使铺设管道的长度最短．(保

留作图痕迹，不写作法)

解：如图，点P即为所求．

例2

如图，点P在∠AOB的内部，在射线OA上找出一点M，在射

线OB上找出一点N，使PM＋MN＋NP的值最小．(提示：分别作点P关

于OA，OB的对称点)

解：如图，点M，N即为所求．

1.如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，

点E，F分别是线段BC，DC上的动点．当△AEF的周长最小时，求

∠EAF的度数．

解：如图，作点A关于BC和CD的对称点A′，A″.

连接A′A″，交BC于点E，交CD于点F，则A′A″即为△AEF周长的

最小值．

因为∠BAD＝130°，

即∠A′AA″＝130°，

所以∠A′＋∠A″＝180°－∠A′AA″＝50°.

因为∠A′＝∠EAA′，∠A″＝∠FAA″，

所以∠EAA′＋∠FAA″＝50°.

所以∠EAF＝∠A′AA″－(∠EAA′＋∠FAA″)＝130°－50°＝

80°.

例3

如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝5，BC＝8，直线l垂直平

分AB，分别交BC，AB于点D，E，点F在直线l上，则AF＋CF的最小值

是（B）BA．

6B．

8C．

10D．

14

2．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A，B为圆心，以适当

的长为半径作弧，两弧分别交于点E，F，作直线EF，D为BC的中点，

M为直线EF上任意一点，若BC＝4，△ABC的面积为10，则BM＋MD

长度的最小值为

⁠．5

知识点2

图形面积转化

例4

如图，四边形ABCD和四边形BEFC都是边长为2的正方形．以

点B为圆心、AB的长为半径的圆与正方形ABCD交于A，C两点，连接

AF，则图中阴影部分的面积为

⁠．π

3.如图，圆的面积为4π，则图中阴影部分的面积是

．(结果

保留π)2π

1．

如图，在正方形网格中有E，F两点，在直线l上求一点P，使

PE＋PF最短，则点P应选在（D）A．

A点B．

B点C．

C点D．

D点D

2．如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点

A，B，使△PAB周长最小的是（D）A．

B．

C．

D．

D

3．如图，正方形ABCD的边长为2，则阴影部分的面积为

⁠．2

4．如图，在正方形网格中有一个△ABC，其顶点都在格点上，小

正方形网格的边长为1.(用直尺画图，保留画图痕迹)

(1)画出格点△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1；

解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．

(2)在直线MN上找一点P，使PA＋PB的值最小；(要求在直线MN上标出点P的位置)

解：(2)如图，点P即为所求．

(3)求出△A1B1C1的面积．

万花筒成像

例

综合与实践——万花筒里的数学

【发现问题】如图1，学习小组在制作万花筒时，先将两面平面镜

的背面用胶带粘贴，形成一个可以自由开合的“镜子门”，发现观察到

的影子数量与“镜子门”张角的大小有关，进而研究此规律．

【查阅资料】平面镜成像原理：物体与它在平面镜中的像关于平面

镜成轴对称．

重合

探究二：如图3，当“镜子门”张角∠AOB大小是360°的因数时，

观察到的完整像的数量是有规律的．改变张角∠AOB的大小，并记录观

察到的完整像的个数，得到以下表格：∠AOB的度数n/度45607290120观察到的完整像的个数/个75

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(3)①补充上述表格；

提