九师联盟2025-2026学年高三下学期4月27数学试题+答案

高三数学

考生注意：

1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。

2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题

目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内

作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。

4.本卷命题范围：高考范围。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知集合A={-3,—1,2,4},B={x|x²<3x},则A∩B=

A.{2}B.{-1,2}C.{2,4}D.{—3,—1,2}

2.某科研团队构建了超导量子计算原型机，为了评估其稳定性，团队记录了6次关键性能测试的保真度

数据：0.9992,0.9988,0.9990,0.9987,0.9994,0.9990,则这组数据的75%分位数为

A.0.9988B.0.9991C.0.9992D.0.9994

3.若复数z满足z—2z=1—2i,则|z|=

A.√5B.5CD.

4.某AI模型对图像中目标识别的准确率p与训练样本量n的关系为p=1—e-0.02n,当识别的准确率达

到90%时，n的值约为(参考数据：In10≈2.303)

A.1152B.1386C.1560D.1842

5.已知函数,若实数x₁,x₂满足,|f(x₁)|+|f(x₂)|=4,

f(x)在(x₁,xz)上至少存在3个零点，则w的最小值为

A.18B.9C.6D.3

6.已知双曲线的左、右焦点分别为F₁,F₂,一条渐近线为l,A,B是l上的两

点.若四边形AF₁BF₂是面积为a²的平行四边形，且点A在x轴上的射影为C的一个顶点，设C的离

心率为e,则e²的值为

AB

CD

【高三数学第1页(共4页)】

4/2

7.已知函数(a∈R)在区间(一1,0)上恰有一个零点，则a的取值范围为

A.(一1,0)B.(一1,1)

C.(0,1)D.

8.如图，已知在正四棱台ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2A₁B₁=4,AA₁=3,

E为C₁D₁的中点，M,N分别为直线AA₁,BC上的点，若M,N,E三点共

线，则线段MN的长为

A:12B.9

C.5√3D.8

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知抛物线C:x²=—2py(p>0)的焦点为F,准线为l,点P(一2,—2)在C上，则

A.p=1B.l的方程为

C.原点到直线PF的距离为·D.|PF|=3

10.将n个半径为1的小球放入棱长为a的正方体形的容器内(容器壁厚忽略不计),则

A.当n=1,a=2时，球心一定为正方体的中心

B.当n=1,a=3时，正方体的一个顶点到球心距离的最大值为3√3—√2

C.当n=2时，a的最小值为2

D.当n=4时，4个球两两相切地粘在一起的组合体可在正方体内任意滚动，则a的最小值为2+√6

11.用[x]表示不超过x的最大整数，则

A.[x]+[一x]=0

B.[x]=[y]是|x-yl<1的充分不必要条件

C.函数的值域为{1,2}

D.方程4x²—[2x]-2=0的解集为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在平面直角坐标系xOy中，若点A(一1,2),B(0,1),C(1,a)共线，则AB·OC=

13.已知C²=C³(n∈N*),(2x—1)”=ao+a₁(x+2)+az(x+2)²+…+an(x+2)”,则ao—az—2a₄=

_·

14.已知数列{an}满,记{an}的前n项和为S,则

【高三数学第2页(共4页)】4/2

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2bcosC=2a—c.

(1)求B;

(2)若a,bsinB,c成等比数列，且a,kb,c成等差数列，求k的值.

16.(本小题满分15分)

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C中，AB⊥平面BCC₁B₁,侧面BCC₁B₁是菱形，,点D为

BC的中点.

(1)证明：CD⊥平面ABC;

(2)若AB=BC=2,求平面ABC₁与平面ACC₁A₁夹角的余弦值.

17.(本小题满分15分)

已知函数(a∈R)的图象在x=—1处的切线过点

(1)求a;

(2)若,求实数m的取值范围.

【高三数学第3页(共4页)】4/2

18.(本小题满分17分)

某生物科技公司研发了一种新型基因编辑技术，用于治疗遗传性疾病，实验数据显示使用第一代技术

时单次编辑基因的成功率为,失败率为;使用第二代技术时单次编辑基因的成功率,失败率

,使用第一代技术与第二代技术编辑的结果相互独立.

(1)求使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率；

(2)若该团队采用以下编辑策略：首先使用第一代技术进行3次基因编辑，若3次中成功2次，则停止

实验(若第1,2次成功，则第3次不再基因编辑);否则再使用第二代技术进行2次编辑，随后停止

实验，求整个实验过程中基因编辑成功次数X的分布列与期望；

(3)在实际实验中，研究团队可以在任意一次基因编辑中使用第一代或第二代技术，且每次只能使用

其中某一代技术.已知每次使用第一代技术的成本为1000元，每次使用第二代技术的成本为

2000元，编辑一次成功的收益为5000元，编辑一次失败的收益为0元.若某次实验需要进行

2次基因编辑，每次基因编辑的结果相互独立，从净收益的数学期望角度分析，第一代技术应选择

使用几次?

19.(本小题满分17分)

已知椭圆C:1(a>b>0)仅经过点A₁(2,0),A₂(一2,0),A₃(1,1),A₄(一1,—1),

A),A₆(一1,1)中的两个.

(1)求C的方程；

(2)若直线x=my-4与C交于点D,E,点F为点E关于x轴的对称点，证明：直线DF过定点；

(3)若直线y=kx+n(n≠0)与C交于点M,N,线段MN的中点为Q,0为原点，当△MON的面积最

大时，是否存在两定点F₁,F₂,使得|QF₁|+|QF₂|为定值?若存在，求出该定值；若不存在，请说

明理由.

【高三数学第4页(共4页)】4/2

高三数学参考答案、提示及评分细则

1.C,所以|z|=√2²+(-1)²=√5.故选C.

2.A由x²<3x,得0<x<3,所以B={x|o<x<3},又A=<-3,-1,2,4},所以A∩B=<2〉.故选A.

3.C把这组数据从小到大排列为：0.9987,0.9988,0.9990,0.9990,0.9992,0.9994,又6×75%=4.5,所以这组数据

的75%分位数为重新排列后的第5个数0.9992.故选C.

4.A由0.9=1-e0.002,得e-0.002n=0.1,两边取自然对数得一0.002n=-In10≈-2.303,所以

1152.故选A

5.D由题意知C的一条渐近线的斜率,所,所以C的离心率.故选D.

6.B由题意得f(x₁),f(x₂)分别为f(x)的最小值(最大值)与最大值(最小值),当f(x)在(x₁,c₂)上恰好有3个零点

时，f(x)的最小正周期T最大，w最小，此时.故选B.

7.B由f(x)=sinx+2f(π)x,得f(x)=cosx+2f'(π),令x=π得f(π)=cosπ+2f'(π),所以f(π)=1,所以

f(x)=sinx+2x,f(x)=cosx+2,显然f(x)>0,所以f(x)在R上单调递增，所以f(π)>f(3),故A错误；显

然f(x)=sinx+2x为奇函数，且l,所以,故B正确；由上易知f(x)是最小正周

期为2π的偶函数，且ln2不是f(x)的零点，故CD错误.故选B.

8.D法1:取CD的中点G,连接A₁E,EG,AG,延长AG与BC的延长线交于点N,

连接NE并延长交直线AA于M,易得EG=2√2,A₁E=√5,

N

所以,因为平面ABCD

//平面A₁B₁C₁D₁,且平面ABCD∩平面AMN=AN,平面A₁B₁C₁D₁∩平面A

AMN=A₁E,所以AN//A₁E,,所1,所以A₁M=1,所以AM=4,在△AMN中，由余弦

,所以MN=8.故选D.

法2:连接AC,BD,A₁C₁,B₁D₁,记AC∩BD=O,A₁C∩B₁D₁=O,连接OO,易

得OO₁=√7,OA=OB=2√2,O₁A₁=O₁B₁=√2,易证得OA,OB,0O₁两两垂直，

以O为原点，直线OA,OB,001分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角

坐标系，连接EA₁,EC,则A(2√2,0,0),B(0,2√2,0),1

A₁(√2,0,√7),C(-2√2,0,0),则AA=(√2,0,一√7),BC=(-2√2,-2√2,0),

,设A₁M=xA₁A=(√2x,0,—√7x),CN=yBC=

【高三数学参考答案第1页(共6页)】4/2X

(-2√2y,-2√2y,0),所

2√2y,一√7).因为M,N,E三点共线，所以EM//EN,所以存在λ,使得EM=λEN,即

,所以MN

,所.故选D.

9.AC将P(-2,—2)的坐标代人C的方程，得4=4p,p=1,所以C的方程为x²=-2y,,,由抛物

线的定义，得,故A正确，BD错误；直线PF的方程为3x-4y-2=0,故原点到直线PF的距

离为,故C正确.故选AC.

10.ABD对选项A,连接AC交BE于点N,连接NF,则,由题意知,所,所以PA//NF,又

NFC平面BEF,PAC平面BEF,所以PA//平面BEF,故A正确；因为PC⊥平面ABCD,BEC平面ABCD,所以PC

⊥BE,因为E,M分别为正方形ABCD的边CD和AD的中点，易证BE⊥CM,又PCNCM=C,PC,CMC平面PCM,

所以BE⊥平面PCM,又BEC平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCM,故B正确；分别取CM,PD的中点O₁,O₂,过

O₁,O2分别作平面CDM和平面PCD的垂线，两垂线交于点O,则O为三棱锥P-CDM外接球的球心，连接OC,易求

,所以,即外接球的半径为-,故其表面积为故C错误；

由题意知∠CDF为直线DF与AB所成的角，所以,连接CF,则,则,所以点F的

轨迹是以C为圆心，为半径的圆在侧面PBC内的部分，所以其长度为-,故D正确.故选ABD.

11.BCD对于A,当x=√2时，[√2]=1,[-√2]=-2,A错误；对于B,若[x]=[y],设[x]=[y]=n(n∈Z),则n≤

x<n+1,n≤y<n+1,所以-1<x-y<1,所以|x-yl<1,允分性成立；若|x—yl<1,取x=0.2,y=-0.2,则

[x]=0,[y]=-1,[x]≠[y],必要性不成立，B正确；对于C,由题意知f(x)是定义域为R的偶函数，由偶函数的

性质得f(x)的值域与f(x)在(0,+∞)上的值域一致，f(0)=[1]+[1]=2,设,则f(x)=

[g(x)]+[g(一x)],且c)在R上单调递增，当x>0时，1<g(x)<2,则

0<g(-x)<1,所以[g(x)]=1,[g(-x)]=0,故f(x)=1,所以f(x)的值域为1,2〉,C正确；对于D,由

[2x]≤2x,得4x²-2x-2≤0,即2x²-x-1≤0,所以,因为一[2x]-2为整数，所以4.x²为整数，所以x

的可能取值为,1,经检验，原方程的解集为,D正确，故选BCD.

【高三数学参考答案第2页(共6页)】4/2X

12.0因为点A(—1,2),B(0,1),C(1,a)共线，所以AB,AC共线，又AB=(1,-1),AC=(2,a-2),所以1×(a-2)一

2×(-1)=0,所以a=0.

13.80由C?=C³(n∈N°),得n=5,所以的展开式的通项为Tr+1=Csx⁵-(-2)x-2=(-2)'Cx⁵-2

(r=0,1,…,5),令1,得r=4,T₅=(一2)C专x⁻¹=80x⁻¹,所以x⁻¹的系数为80.

14.1520由,得a₂n+a₂n+1=(4n-1)sin1π=0,所以S,S₃,S₅,…,S2025的值均为1,又a2n-1

所以S₂=1,当n为

偶数时，S2n+Szn+2=-2n+2n+1=1,所

(S₂024+S2026)=1013+1+506=1520.

15.解：(1)法1:由2bcosC=2a-c及正弦定理，得2sinBcosC=2sinA—sinC=2sin(B+C)—sinC,2分

所以sinC=2sin(B+C)-2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-2sinBcosC=2cosBsinC,……………4分

又C∈(0,π),所以sinC≠0,所以

因为B∈(0,π),所以

法2:由2bcosC=2a—c及余弦定理，得

整理，得a²+c²—b²=ac,……………4分

所以

因为B∈(0,π),所以

(2)由及余弦定理，,………9分

,2即,…………………11分

因为a,kb,c成等差数列，所以,…………………12分

所以……………………13分

16.(1)证明：因为AB⊥平面BCC₁B₁,C₁DC平面BCCB₁,所以AB⊥C₁D,……1分

因为侧面BCCB₁是菱形，,所以△C₁CB是等边三角形，………………2分

又点D为BC的中点，所以C₁D⊥BC,………………3分

又因为AB,BCC平面ABC,AB∩BC=B,所以C₁D⊥平面ABC.……………4分

(2)解：取AC的中点E,连接DE,则DE//AB,因为AB⊥平面BCC₁B₁,BCC平面BCC₁B₁,

所以AB⊥BC,所以DE⊥BC,……………6分

由(1)知C₁D⊥BC,C₁D⊥平面ABC,DEC平面ABC,所以C₁D⊥DE,……7分

【高三数学参考答案第3页(共6页)】4/2X

所以DE,DC,DC₁两两垂直，以点D为原点，直线DE,DC,DC分别为x轴，y轴，

z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(2,-1,0),B(0,—1,0),C(0,1,0),

C₁(0,0,√3),所以AB=(—2,0,0),AG=(-2,1,√3),AC=(-2,2,0).……9分

设平面ABC₁的一个法向量n=(x,y,z),则

令z=1,解得x=0,y=—√3,所以n=(0,—√3,1),……………11分

设平面ACC₁A₁的一个法向量m=(a,b,c),则即令c=1,解得a=b=√3,

所以m=(√3,√3,1),13分

设平面ABC₁与平面ACC₁A₁的夹角为θ,则

即平面ABC₁与平面ACC₁A₁夹角的余弦值为……………15分

17.解：(1)因为

所以………………2分

,且曲线y=f(x)在x=-1处的切线过点

,解得.…………5分

(2)由(1)知

则g'(x)=—xe²x+²—me+¹=-e+¹(xe+¹+m),…………7分

设h(x)=xe²+¹+m,则h'(x)=(x+1)e+1,

因为x∈(-1,+∞),所以h'(x)>0,故h(x)在(-1,+∞)上单调递增，

所以h(x)>h(-1)=m-1,……………………9分

若m≥1,则h(x)>0,g'(x)<0,所以g(x)在(-1,+∞)上单调递减，所以g(x)<g(一1)=0,满足题意.

……………………………10分

若0<m<1,则h(-1)=m-1<0,h(m)=me"+¹+m>0,所以存在xo∈(一1,m),使得h(xo)=0,

又h(x)在(-1,+∞)上单调递增，所以当x∈(-1,xo)时，h(x)<0,此时g'(x)>0,

所以g(x)在(—1,xo)上单调递增，所以当x∈(一1,xo)时，g(x)>g(-1)=0,不满足题意.………………12分

若m=0,则h(-1)=-1<0,h(O)=0,则当x∈(-1,0)时，h(x)<0,此时g'(x)>0,所以g(x)在(-1,0)上单

调递增，所以当x∈(-1,0)时，g(x)>g(-1)=0,不满足题意.…………………13分

若m<0,则h(-1)=m-1<0,又h(1-m)=(1-m)e2-m+m=e2-”—m(e²-—1)>0,所以存在x₁∈

【高三数学参考答案第4页(共6页)】4/2X

(一1,1-m),使得h(x₁)=0,所以当x∈(一1,x₁)时，h(x)<0,此时g'(x)>0,所以当x∈(-1,x₁)时，g(x)>

g(一1)=0,不满足题意，微信搜《高三标答公众号》获取全科

综上所述，实数m的取值范围是[1,十∞]……………15分

18.解：(1)使用第一代技术与第二代技术各编辑基因1次，至少成功1次的概率为………………2分

(2)由题意知X的所有可能取值为0,1,2,3,…………………3分

,………5分

,……………………7分

所以分布列为

X0123

P

………………8分

.…………………10分

(3)若第一代技术使用2次，记编辑成功的次数为Y₁,则Y₁的分布列为微信搜《高三标答公众号》获取全科

Y₁012

P

净收益的期望值为(;………12分

若第一代技术使用1次，记编辑成功的次数为Y₂,则Y₂的分布列为

Y₂012

P

净收益的期望值……14分

若第一代技术使用0次，记编辑成功的次数为Y₃,则Y₃的分布列为

Y₃012

P

净收益的期望值