【《基于数学史与数学教育（HPM）理论的教学设计国内外文献综述》5900字】

[12].汪晓勤教授还通过个案研究指出，HPM介入数学教学后，实验教师逐渐形成了自己的教学风格，对教材的批判能力有了提升,HPM可以有效地促进中学数学教师的专业发展REF_Ref4363\w\h[18]．1.2关于弧度制的研究综述1.1.1学生与教师对弧度制的理解目前针对学生对弧度制概念理解的实证研究较少，我国王越偲（2010）在论文《上海高中生对弧度制概念的理解》中，做了学生对弧度制概念理解方面的实证研究.研究结论为学生能较好掌握换算公式，却不知其意义，对弧度制概念的认知上存在概念混淆、表象贫乏，知识点之间缺乏联系等问题REF_Ref27332\w\h[2].国外学者T.Topcu等人（2006）在《Pre-serviceandin-servicemathematicsteachers’conceptimagesofradian》一文中调查了职前与在职数学教师关于弧度制概念的认知状况及其概念表象的来源.研究发现其概念表象不够丰富，且受角度概念影响形成许多错误表象REF_Ref28948\w\h[19].HaticeAkkoc（2008）在《Pre-servicemathematicsteacher’sconceptimagesofradian》一文中，研究了职前教师对弧度制概念的理解.研究发现其对弧度制理解并不深刻，且有较强角度概念的人更习惯于使用直角三角形，而有较强弧度制概念的人则更惯于使用单位圆REF_Ref29017\w\h[20].总的来说，学生与教师对弧度制的理解困难主要体现在以下三方面：（1）弧度制引入的必要性；（2）对π的理解；（3）直角三角形与单位圆的使用.1.1.2弧度制的历史与重构江灼豪、何小亚在《弧度制发展的历史溯源》中将弧度制的产生分为萌芽、传播与确立阶段REF_Ref29102\w\h[21]；杜雨珊也在其论文《三角学历史研究》中将三角学的发展分为了萌芽、发展与完善时期REF_Ref640\w\h[22]，在三角学的发展中我们也可以了解到弧度制更为详细地发展过程.总体来说，弧度制的产生过程大致如下：（1）萌芽阶段首先是希帕霍斯与首张弦表.希帕霍斯在解决天文学的图形问题REF_Ref29102\w\h[21]（偏心轮模型）时认识到解决角（弧）与边之间关系的必要性，并首次绘制了一张弦表.这张表利用六十进制计算得出，给出了在特定圆（R=360°2π=57°18'=3438'）中任意角的对弦值REF_Ref29307\w\h[18].其次是托勒密与弦表的完善.托勒密是希腊的天文学家，他最著名的作品是《大成》这本书.在书的第十章与十一章中，他为了方便计算，在R=60的圆中，同样以六十进制计算，得出了更完善的弦表REF_Ref29366\w\h[23].但不论是希帕霍斯还是托勒密，都找到了弧（角）与边之间的关系，尽管局限于将关系以表格形式给出，重于计算，且还未上升至函数关系，但却都实现了弧（角）与边之间进制的统一，这为后来弧度制产生奠定了基础.另外，我们可以看到在数学史上，三角学一开始便兴起于圆中，具体来说，产生于天文学问题.天文学家与数学家将现实问题翻译为数学的图形问题，接着利用数学代数解决问题，数形结合思想贯穿于问题的解决之中.因此，在弧度制概念的引入中，数形结合思想应穿插其中，并且应在概念得出过程中起到重要作用.（2）发展阶段首先是阿耶波多与半弦表.在利用上个阶段所产生的弦表解三角形时，人们总是要先计算二倍角的对弦长，为了方便使用，印度数学家阿耶波多（Aryabhata，约475-550年）在其著作《阿耶波多历数书》中采用与希帕科斯相同的半径（R=57.18）来制作半弦表，即把弦所对的弧的一半与半弦对应REF_Ref29102\w\h[21].这与现代三角学意义更为相近，但却依然在以弧为自变量.其次是利提克斯与三角学的形成.印度数学家利提克斯是哥白尼的学生，他发现在给定半径时，角和弧长实际上是可以一一对应的．为此他改变了正弦的定义：将对应弦的自变量由弧改为了角，这对三角学的产生意义重大.他又把正弦、余弦、正切、余切、正割和余割定义成直角三角形边长的比REF_Ref5114\w\h[24]，自此三角学就可以不再依附于圆而仅在一个直角三角形中存在，三角学真正形成了.相较于萌芽阶段，人们只限于找特定圆（R=57.18；R=60）中弧与对弦的关系，这个时期人们将三角学重点从强调计算变成强调函数方法，即以角为自变量，直角三角形中边长关系为因变量的函数.（3）确立阶段首先是欧拉与弧度思想的提出.由于十进制的普及，原先的六十进制弦表利用起来已不再便利，将角的度量转化为长度单位迫在眉睫.欧拉在他于1748年出版的一部划时代的著作《无穷小分析概论》REF_Ref29621\w\h[25]中提出了弧度制的思想.他认为如果把半径作为1个单位长度，那么半圆的长就是π，所对圆心角的正弦值是0，即sinπ=0；同理圆的四分之一的长是π2，所对圆心角的正弦值是1，可记作sinπ2=1.欧拉用弧长表示角的方式，使得角度的度量得以用十进制数表示，同时欧拉还进一步叙述了用这种规定方式可以大大简化某些三角公式及计算REF_Ref29102\w\h[21].limsinx=x−cosx=1−e以上公式都是在欧拉对角所做的“规定”下成立的，若仍用角度制表示角，那么以上公式将不再如此简化，这体现了数学的“简洁美”.其次是汤姆生与弧度制的确立.1873年6月5日，数学教师汤姆生在北爱尔兰的数学考试题目中创造性使用了“弧度（radian）”一词，他将“半径（radius）”的前四个字母与“角（angle）”前两个字母相结合，构成radian，并使用至今.其中，我国《数学名词》曾把radian译为“弪”（由“弧”与“径”两个字的一部分拼成），但在1956年版《数学名词》中废除了此字，定为“弧度”REF_Ref29771\w\h[26].在这个时期我们可以看到，欧拉在规定弧度制定义时是出于何种原因并不明确，到底是出于统一进制的原因进行弧度制规定，还是想到要简化公式才有了让数学式子如此对称的弧度制，已经不得而知.但不管何种原因出现在前面，总体来说弧度制引入的必要性可以归结为这两个方面：统一进制、简化公式及计算.根据上面对弧度制历史的研究，一方面，我们可以了解到弧度制产生中所用的数学思想与数学方法，这也应该是学生学习弧度制这节课的重要目标，教师应在课堂上有所体现；另一方面，我们又可以了解到弧度制产生发展的历史过程.但由于时间限制，漫长的历史又不能够完整的展现在学生眼前，我们需要对这段历史进行重构，不仅要整理出符合历史又贴合学生逻辑顺序与理解水平的教学设计，又要让学生在课堂上体会到知识发展产生的关键步骤与数学思想方法，具体重构顺序见图1.1，这也将是本论文在第四章中进行HPM视角下弧度制教学设计的整体框架.图1.1弧度制的历史与重构1.1.3弧度制的教学对于弧度制教学的研究在研究方向与方法上各有不同，但却非常广泛.既有注重知识与技能目标的，也有注重情感目标的教学设计；既有参照历史的也有未参照历史的教学设计.另外，参照数学史的教学设计又有不同的运用方式，这将为本文弧度制的教学设计提供有力指导.（1）关于弧度制教学引入的研究.周杰、汪晓勤（2015）在《20世纪中叶以前西方三角学教科书中的弧度制》一文中对19-20世纪的59种西方三角学教科书进行考察，从中分析出弧度制教学引入的四种方法：直接引入法；角度制的类比；圆心角、弧长和半径之间的关系以及三角函数的作图REF_Ref29876\w\h[27].这将为我们的弧度制教学予以启发.（2）关于弧度制概念本质教学的研究.常春艳等人（2020）在《基于数学教学“二重原理”的弧度制教学设计形成研究》一文中，以“为什么”和“有什么用”为弧度制教学的核心问题，并基于“二重原理”给出了更利于学生理解弧度制本质的教学设计REF_Ref11814\w\h[28].（3）关于实现弧度制情感态度目标的教学研究.李时建等人（2016）在《从“弧度制”教学案例窥视情感教育》一文中分析了“弧度制”一课的情感目标与实施REF_Ref30117\w\h[29]；刘芹芹等人（2017）在《彰显数学文化的弧度制教学设计》一文中分析了弧度制中的数学文化价值REF_Ref30199\w\h[30].这将启发着我们更好地利用弧度制历史来渗透数学文化的价值.（4）关于HPM视角下弧度制教学的研究.许丽丽、宋瑛（2015）在《HPM视角下“弧度制”再认识的教学》一文中，给出HPM视角下学生在学习完整章三角函数内容后再认识弧度制的课堂设计.这样的做法是由于三角函数整体内容已被教材重构所致，这也不失为进一步认识弧度制的一种方法REF_Ref12032\w\h[31].该文给予了运用数学史的启发，但该篇设计对数学史的运用仅局限在附加式与复制式.总的来说，这些教学设计都少涉及“为什么角、弧、弦长都统一成长度单位，而不是角度单位？”、“弧度制的定义是如何自然而然发生的？”等系列问题.但这些问题都可以在历史中找到答案，这些问题可帮助学生更好理解弧度制存在的必要性及优势，因此，本文将借鉴已有教学设计，扬长避短的进行HPM视角下的弧度制教学设计，让学生真正经历弧度制这一知识的发生发展过程，真正明白弧度制并非“从天而降”.1.3研究的理论基础1.3.1历史发生原理历史发生原理是“发生教学法”产生的理论基础.“历史发生原理”兴起于19世纪，法国哲学家孔德（A.Comte），他将“个体教育必然在其次第连续的重大阶段，仿效群体的教育”看作一个“基本原理”REF_Ref30349\w\h[32]，并将其作为其实证理论的基础．后来发生原理又受到德国生物学家海克尔（E.Haeckel）所提出的生物发生基本定律——“个体发育重演种族发展”的支持．英国教育家斯宾塞（H.Spenser）将此原理迁移至教学领域，并解释为“个体知识的发生必须遵循人类知识的发生过程”REF_Ref30414\w\h[33]，并指出：历史上的教育方法，有助于为今天的教育提供指南，由此历史发生原理形成.而这个原理在新数运动的背景下得到广泛认同，也开始在教学领域中变得更加完善，并最终在托普利茨的《微积分：发生原理》这本书中形成了“发生教学法”的思想：（1）“发生教学法”以演绎法和历史发生论为哲学基础，但其又是介于两种极端之间的一种方法.它既注重知识间的逻辑关系，也清晰地展现知识发生背后的动机，是一种渗透着“历史感”的逻辑方法REF_Ref30486\w\h[34]．因此，发生教学法第一个方面的要求是要对数学史有一定理解.（2）发生教学法关注主题的必要性和可接受性，要求在学生具备足够的学习动机、在学生心理发展的恰当时机教授该主题REF_Ref1456\w\h[11]．因此，发生教学法第二个方面要求关注学生心理，即知识的学习应建立在学生强大动机之上，并根据学生已有知识结构来实施，强调知识发生的自然性.（3）在具体实施上，它强调知识的自然发生过程但却不是历史过程的还原，而是历史知识的重构．因此发生教学法第三个方面对教师的教学提出要求，即教师需要根据历史发生重要节点、当前课程目标与内容等来重新选择、编排历史，以使“自由”的数学史“约束”在逻辑当中，实现数学史教育价值的最大化.以上发生教学法的思想与新课程标准的理念不谋而合，也就是说发生教学法能使新课程的理念落到实处，具有重大意义．1.3.2HPM教学设计理论1.3.1.1HPM教学设计理论框架RadfordREF_Ref30623\w\h[35]等（2000）认为基于历史的课堂活动设计方法的理论框架（见图1.2）应涉及三个领域：历史领域、心理学领域、方法论领域，其中历史领域与心理学领域应相互衔接，以某种方式共同作用于课堂活动设计.蒲淑萍REF_Ref30685\w\h[36]针对Radford的理论框架进行了完善（见图1.3），认为HPM教学设计的理论框架应兼顾历史领域、心理学领域、课程与教学领域、方法论领域四个方面，并实现四个方面的最优组合.图1.2基于历史的课堂活动设计方法理论框架图1.3HPM教学设计的理论框架因此，针对本研究所选课题，结合“历史发生原理”中对发生教学法基本思想的讨论，本论文将以蒲淑萍完善后的HPM教学设计的理论框架为基础，使弧度制的HPM教学设计从学生对弧度制理解现状（心理学领域）、课标教材中的弧度制（课程与教学领域）、弧度制的历史（历史领域）三个方面考虑，并以发生教学法为认识论与方法论，使各方面共同作用来实现弧度制教学的最优设计，具体的课例设计将在本研究第四章进行.1.3.1.2HPM课例评价框架前文介绍到汪晓勤教授的团队在理论与实践基础上形成一套具有中国特色的HPM理论，理论可用“一、二、三、四、