小学五年级数学（下册）核心素养导向重点突破与综合应用教学设计

小学五年级数学（下册）核心素养导向重点突破与综合应用教学设计

一、指导思想与设计理念

本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为核心纲领，深度践行“以人为本，立德树人”的根本任务，致力于通过数学学习，发展学生的核心素养。设计不再局限于知识的简单传授与机械训练，而是立足于大单元教学视角，以“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四大领域为框架，对五年级下册的核心知识点进行结构化整合。我们秉持“学为中心”的理念，将课堂设计为一个充满活力的数学探究场域，引导学生经历“问题情境—建立模型—求解验证—反思应用”的全过程。同时，融入跨学科主题学习的思想，打破学科壁垒，将数学学习与科学、工程、艺术、语文等学科有机融合，培养学生综合运用多学科知识解决真实问题的能力。本设计特别注重教学评的一致性，将评价嵌入教学全过程，通过表现性任务、课堂观察、作业反馈等多种方式，精准诊断学情，实现因材施教，最终达成知识掌握、能力提升与素养形成的三维目标。

二、教材与学情分析

（一）教材分析

五年级下册数学教材在小学数学知识体系中占据着承上启下的关键地位。一方面，它是对前四年所学知识的深化与拓展；另一方面，它为学生步入初中学习更为抽象的数学概念（如负数、方程、几何证明）奠定坚实基础。本册教材的核心内容主要包括：因数与倍数（含质数与合数）、长方体和正方体（表面积与体积）、分数的意义和性质、分数的加法和减法、折线统计图、找次品（数学广角）以及综合与实践主题活动。这些内容不仅要求学生掌握基本的计算技能和空间观念，更强调对数学概念本质的理解，如分数意义的建构、因数和倍数关系的抽象、体积概念的建立等。教材编排体现了从直观到抽象、从单一到综合的螺旋上升逻辑，注重引导学生探索知识间的内在联系，如分数与除法的关系、分数基本性质与商不变规律的联系。

（二）学情分析

五年级的学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们具备了一定的生活经验和知识储备，好奇心和求知欲依然旺盛，但注意力集中时间有限，思维的深刻性和批判性尚在发展之中。

1、知识基础：学生已经掌握了整数四则运算，初步认识了分数和小数，具备了一定的图形测量经验（如长方形、正方形面积计算）。但对于因数倍数这种纯数论概念、对于立体图形的空间想象、对于分数意义的深度理解，仍然存在认知上的挑战。

2、能力水平：学生的观察、操作、归纳、类比能力正在形成，但逻辑推理的严谨性和表达的规范性有待加强。在解决复杂问题时，部分学生缺乏策略意识和反思习惯。

3、心理特点：他们乐于参与动手操作和小组合作学习，对与生活紧密联系的数学问题兴趣浓厚。但面对抽象的数学概念和复杂的计算时，容易产生畏难情绪。

4、【难点】与【重要】观察点：本册的【难点】集中体现在：①理解分数的实质（量率区分）；②建立完善的体积观念和空间想象力；③灵活运用因数和倍数的知识解决整除相关问题。因此，教学设计必须找准学生的“最近发展区”，通过丰富的现实情境、多元的表征方式（如操作、图示、符号）、深度的探究活动，帮助学生跨越认知障碍。

三、教学目标设计

依据核心素养导向，本册重点突破课的整体教学目标设定如下：

1、知识与技能：【基础】掌握因数、倍数、质数、合数等概念，能熟练找出两个数的公因数和公倍数；【重要】掌握长方体和正方体的特征，理解并熟练计算它们的表面积和体积；理解分数的意义和基本性质，熟练进行约分和通分；掌握分数加减法的计算方法，并能解决简单的实际问题；认识折线统计图，能根据数据进行简单的分析和预测；能从数学角度发现和提出“找次品”问题中的优化策略。

2、过程与方法：通过观察、实验、猜测、推理、验证、交流等活动，发展抽象概括、空间想象、逻辑推理和模型思想。【非常重要】经历知识的形成过程，如通过测量、叠放、切割等活动探索体积公式，通过数形结合理解分数加减法的算理。学会用列举法、集合法、短除法等解决问题，体会数学思想方法的多样性。

3、情感态度与价值观：培养对数学的好奇心和求知欲，感受数学与生活的密切联系，增强应用意识。【热点】在探究活动中体验合作交流的乐趣，养成独立思考、认真严谨的学习习惯。通过数学史料（如哥德巴赫猜想）的介绍，激发民族自豪感和探索精神。

四、教学重点与难点

1、【非常重要】【高频考点】教学重点：理解分数的意义和基本性质；掌握长方体和正方体的表面积和体积计算方法；掌握异分母分数加减法的计算方法。

2、【难点】教学难点：建立单位“1”的概念，理解分数的本质；建立和完善体积观念，能够灵活运用公式解决复杂的实际问题；理解分数加减法“计数单位相同才能直接相加减”的算理；在“找次品”问题中探寻最优策略的逻辑。

五、教学实施过程（分领域核心课例突破）

为体现“重点突破”，本部分将选取本册书中的四个核心内容，以课例的形式详细阐述实施过程，每个课例均包含情境导入、探究新知、巩固练习、课堂总结、作业设计五个环节，并在其中渗透跨学科理念。

（一）【数与代数】领域核心课例：《分数的意义》——深度建构，触摸数学本质

1、情境导入：唤起经验，制造认知冲突（预计5分钟）

教师活动：展示一个实物（一个苹果），提问：“谁能用一个数表示它？”学生答“1”。教师将苹果平均切成两半，举起一半，问：“这还能用‘1’表示吗？那应该用什么数表示？”学生回答“二分之一”。教师继续引导：“我们在三年级就已经认识了分数，谁能说说12表示什么意思？”（引导学生回顾：把一个苹果平均分成2份，其中的一份就是它的12。）

教师活动：随即，教师出示一个装有8个苹果的盒子（或图片），提问：“如果把这个盒子里的所有苹果看成一个整体，我拿出这盒苹果的一半，这‘一半’还能用12表示吗？这时的12和刚才的12，有什么不同？又有什么联系？”这个问题直指分数的核心概念——“整体”的变化，瞬间激发学生的认知冲突和探究欲望。【非常重要】导入环节的设计旨在从学生已有的“一个物体”的分数认知出发，引出“一个整体”的分数，为新知学习架设桥梁。

2、探究新知：多元表征，抽象单位“1”（预计20分钟）

（1）操作感知，丰富表象：【基础】

教师为每个小组提供丰富的材料包（1米长的绳子、4个苹果模型、6面小旗卡片、8支粉笔、12个糖果图片等）。布置任务：“请每组选择一个材料，然后把它看成一个整体，试着表示出这个整体的12、13、14。想一想，你们是怎么分的？分的结果是什么？”

学生小组合作，动手分一分、画一画、说一说。教师巡视，选取有代表性的作品准备展示。

（2）展示交流，聚焦本质：【重要】

小组代表上台汇报。例如：

第一组（4个苹果）：我们把4个苹果看成一个整体，平均分成2份，每份是2个苹果，这2个苹果就是这个整体的12。平均分成4份，每份是1个苹果，就是这个整体的14。

第二组（8支粉笔）：我们把8支粉笔看成一个整体，平均分成2份，每份是4支粉笔，就是12；平均分成4份，每份是2支粉笔，就是14。

第三组（6面小旗）：我们想表示13，就是把6面小旗平均分成3份，每份是2面小旗。

教师追问：“大家看，同样是14，为什么第一组拿出的是1个苹果，而第二组拿出的是2支粉笔？这个14到底表示什么？”引导学生讨论得出：14表示的是把一个整体平均分成4份，取其中的1份。至于这一份具体是多少个物体，取决于这个整体包含多少个物体。

（3）抽象概念，揭示课题：【非常重要】【高频考点】

教师总结并板书：一个物体，比如一个苹果、一张纸；一些物体，比如一堆糖、一盒粉笔、一个班级的人数，我们都可以把它们看作一个整体。这个整体，在数学上，我们就把它叫做“单位‘1’”。（板书：单位“1”）

接着，教师引导学生重新审视刚才的例子：这里的单位“1”分别是什么？（一盒苹果、一盒粉笔、6面小旗）从而深化理解：单位“1”不仅可以是一个物体，也可以是许多物体组成的一个整体。

（4）深化理解，辨析“量”与“率”：【难点】

教师再次拿出8支粉笔，提问：“谁能从这个整体中拿出它的34？怎么拿？拿出了几支？”学生操作并回答（拿出6支）。教师再问：“如果我要你拿出34支粉笔，你怎么拿？”学生陷入思考或回答“这没法拿，34支不满1支”。教师引导学生辨析：第一个34（不带单位）是“率”，表示的是整体与部分的关系；第二个34支（带单位）是具体的“量”。这是分数学习中极易混淆的【难点】，此处的辨析至关重要，为后续学习分数应用题打下基础。

3、巩固练习：分层设计，深化理解（预计10分钟）

（1）基础练习（全员反馈）：用分数表示下面各图中的涂色部分，并指出每个图形中的单位“1”是什么。（课本中的基础练习题）

（2）综合练习（同桌互说）：说说下面每个分数所表示的意义。例如：①五年级一班有45人，其中男生占35。②一篇文章，小丽完成了它的23。③一袋大米重25千克，吃了15。

（3）拓展练习（小组讨论）：为分数“23”寻找一个现实背景，并用画图或语言描述出来。鼓励学生发挥想象，例如：一盒巧克力有9块，吃了6块，吃了这盒巧克力的23；一段路修了它的23等等。这个开放性问题能极大激发学生的创造力，检验他们对分数意义的理解程度。

4、课堂总结：回顾梳理，提炼学法（预计3分钟）

教师引导学生回顾：“这节课我们是怎么学习分数的？”引导学生从“操作—比较—抽象”的路径进行总结。学生畅谈收获，不仅谈知识上的收获（理解了单位“1”，知道了分数的意义），更要谈学习方法上的收获（可以通过分一分、画一画来帮助理解数学概念）。

5、作业设计：跨界融合，学以致用

（1）【基础】完成课本“做一做”和练习册相关习题。

（2）【跨学科作业·美术与数学】请你当一名小小设计师，用折纸或绘画的方式，创作一幅包含多个不同分数（如12，14，38等）的图案，并给这幅作品起个名字，在作品旁边标注出每个部分占整体的几分之几。（此作业旨在将分数的抽象概念转化为可视化的艺术创作，加深理解。）

（3）【跨学科作业·语言与数学】写一篇数学日记，题目为《我找到了生活中的分数》。记录你一天中在哪些场景遇到了分数，并说明这个分数表示的意义。

（二）【图形与几何】领域核心课例：《长方体和正方体的体积》——操作体验，发展空间观念

1、情境导入：问题驱动，激发需求（预计5分钟）

教师出示两个物体：一个是用橡皮泥捏成的长方体，一个是用积木搭成的、内部有空隙的不规则形状。提问：“同学们，这两个物体，哪一个所占的空间大？你能比较出它们的大小吗？”学生凭直觉可能给出不同答案。教师追问：“物体的形状不规则，或者材质不同，我们怎么精确地知道它有多大呢？”由此引出“体积”的概念，并激发学生探究体积测量方法的欲望。【非常重要】用真实问题引发认知需求，使学习从“被动接受”变为“主动探索”。

2、探究新知：实验操作，建构模型（预计20分钟）

（1）建立“体积单位”的表象：【基础】

教师演示：出示一个棱长为1厘米的小正方体，告诉学生，它的体积就是1立方厘米。让学生闭上眼睛想象一下1立方厘米的大小，再找出生活中哪些物体的体积接近1立方厘米（如手指尖、骰子等）。同样方法认识1立方分米（粉笔盒大小）、1立方米（用三根米尺在墙角搭建一个1立方米的空间，让学生钻进去感受）。

（2）探究长方体的体积公式：【重要】【高频考点】

实验一：摆一摆，数一数。

教师为每组提供若干个1立方厘米的小正方体，并提出任务：“请你们用这些小正方体任意摆出一个长方体，然后记录下这个长方体的长、宽、高以及你所使用的正方体的个数，并计算出它的体积。”

学生动手操作，并填写实验记录单。教师巡视，指导有困难的小组。

实验二：想一想，算一算。

汇报交流时，教师选取不同摆法的数据（如：①长4cm，宽2cm，高1cm；②长3cm，宽2cm，高2cm等），板书在黑板上。引导学生观察、思考：每排摆几个、摆了几排、摆了几层，分别与长方体的长、宽、高有什么关系？所用小正方体的总数（即体积）与长、宽、高有什么关系？

通过讨论，学生不难发现：小正方体的总数=每排个数×排数×层数，而每排个数对应长（厘米数），排数对应宽（厘米数），层数对应高（厘米数）。从而引导学生自己归纳出长方体体积公式：长方体的体积=长×宽×高。用字母表示：V=abh。

实验三：推导正方体体积公式。

教师提问：“当长方体变得越来越特殊，长、宽、高都相等时，它就变成了什么图形？它的体积公式又该怎样表示呢？”引导学生由长方体公式推导出正方体体积公式：正方体的体积=棱长×棱长×棱长，V=a³。

3、巩固练习：辨析应用，提升能力（预计10分钟）

（1）基本计算：直接运用公式计算长方体和正方体的体积。（强化公式记忆）

（2）变式练习：【重要】①一个长方体木箱，长25分米，宽12分米，体积是9立方米。它的高是多少分米？（注意单位统一，逆向运用公式）②要砌一道长15米，厚24厘米，高3米的砖墙，如果每立方米用砖525块，一共需要多少块砖？（综合运用，联系生活）

（3）辨析练习：【难点】比较“棱长之和”、“表面积”、“体积”三个概念。教师出示一个长方体框架，让学生指出哪里是棱长之和；然后给它糊上纸，问糊的纸的大小是哪部分（表面积）；最后往里面倒沙子，问沙子占的空间是哪部分（体积）。通过直观演示，帮助学生清晰区分这三个易混淆的概念。

4、课堂总结：回顾反思，梳理方法（预计3分钟）

教师引导学生总结：“我们是怎样得到长方体和正方体的体积公式的？”引导学生回顾“猜想—实验—观察—归纳”的探究过程，强调“用已知解决未知”的转化思想。

5、作业设计：实践探究，链接生活

（1）【基础】完成课本练习十五相关习题。

（2）【实践作业】回家找一个长方体或正方体的物体（如冰箱、微波炉、鞋盒等），先估一估它的体积，再实际测量必要的数据（取整厘米数），计算出它的体积。将你的估算值与实际计算值对比，想想为什么会有差异。

（3）【跨学科作业·工程与数学】假如你是一个小小的道路设计师，学校要修建一条长50米，宽4米，厚0.2米的混凝土道路。请你计算一下需要采购多少立方米的混凝土？如果一辆混凝土搅拌车一次能运送8立方米，至少需要多少辆车才能一次运完？（此作业将数学计算与工程实际相结合，培养学生解决真实问题的能力。）

（三）【数与代数】领域核心课例：《异分母分数加减法》——数形结合，理解算理

1、情境导入：从生活问题入手（预计5分钟）

播放一段垃圾分类的宣传片或展示一组数据：某小区，将生活垃圾分为四类。其中，可回收物占生活垃圾总量的14，厨余垃圾占38，其他垃圾占15……教师提问：“根据这些信息，你能提出什么数学问题？”学生可能会提出“可回收物和厨余垃圾一共占几分之几？”、“厨余垃圾比其他垃圾多几分之几？”等问题。教师顺势板书其中一个加法问题和一个减法问题，引出课题。

2、探究新知：操作验证，明晰算理（预计20分钟）

（1）尝试解决，暴露思维：【重要】

教师出示问题：“笑笑家一天产生的厨余垃圾占家庭垃圾总量的14，可回收物占38。厨余垃圾和可回收物一共占家庭垃圾总量的几分之几？”要求学生列出算式：14+38。

教师引导学生思考：“这个算式和我们以前学过的分数加减法有什么不同？”（分母不同）揭示课题：异分母分数加减法。鼓励学生尝试用自己的方法进行计算。

（2）汇报交流，数形结合：【非常重要】【难点】

学生可能出现的情况：①化成小数计算（0.25+0.375=0.625=58）；②画图表示；③将分数通分后再计算。

教师重点引导展示画图和通分的方法。例如，让学生上台展示：用两个同样大小的圆（或长方形）分别表示单位“1”，一个平均分成4份，涂出1份表示14；另一个平均分成8份，涂出3份表示38。引导学生观察，14就是28。所以，14+38=28+38=58。

教师追问：“为什么要把14变成28？28和14大小变了吗？这样变的目的是什么？”引导学生理解：因为两个分数的分数单位不同（一个是14，一个是18），不能直接相加，所以要先通分，把它们转化成相同的分数单位（18），然后再相加。从而深刻理解“计数单位相同才能直接相加减”这一核心算理。

（3）类推迁移，解决减法：

对于减法问题，如“厨余垃圾比其他垃圾多几分之几？”（假设其他垃圾占15），让学生独立尝试计算38-15。交流时重点追问：为什么要通分？通分的目的是什么？强化对算理的理解。

3、巩固练习：分层训练，形成技能（预计10分钟）

（1）基础练习：计算13+14，56-310。（重点检查通分过程的正确性）

（2）变式练习：【高频考点】在○里填上“>”、“<”或“=”。12+14○34-18（考察计算与比较的综合能力）

（3）解决问题：小明做数学作业用了12小时，做语文作业比做数学作业多用了16小时。他一共做作业用了多少小时？（注意结果要约分）

4、课堂总结：内化算理，总结方法（预计3分钟）

学生总结异分母分数加减法的计算法则：先通分，再按照同分母分数加减法进行计算，结果能约分的要约成最简分数。教师引导学生反思：最重要的是要理解为什么要先通分，即统一分数单位。

5、作业设计：巩固技能，拓展思维

（1）【基础】完成课本“练习十六”的计算题。

（2）【探究作业】你能用几种方法计算12+13？把你想到的方法都写出来（画图、通分、小数等），并比较哪种方法最常用。

（3）【跨学科作业·音乐与数学】音乐中的节拍也与分数有关。一个全音符可以表示为1，它可以分成两个二分音符（每个是12），四个四分音符（每个是14），八个八分音符（每个是18）。请你试着计算一个二分音符加上两个四分音符等于几个几分音符？这相当于一个什么音符？（将数学分数与音乐知识融合，增加趣味性。）

（四）【数学广角】领域核心课例：《找次品》——逻辑推理，感悟优化思想

1、情境导入：创设情境，激发兴趣（预计5分钟）

教师展示：这里有81个乒乓球，其中有一个是次品，它比合格品稍轻一些。如果让你用没有砝码的天平来找，你至少称几次就保证能找出这个次品？学生猜测，有的说10次，有的说20次。教师神秘地表示：“其实，有一种方法，最多只需要称4次就能保证找到！”此言一出，立刻激发学生的探究欲望，引出课题。

2、探究新知：化繁为简，探寻规律（预计20分钟）

（1）从简单问题入手：【基础】

教师引导学生：“81个太多了，我们不好研究。在数学上，遇到复杂问题，我们可以先从简单的、数量少的情况开始研究，看看能不能找到规律。”于是，将问题简化为：从2个、3个、5个、8个、9个中找一个次品（轻一些）。

（2）小组合作，动手操作：【重要】

教师为每组提供学具（可以用棋子代替乒乓球）和记录单。要求：探究从3个、5个、8个、9个中找次品，分别需要称几次？并把称的方法记录下来。

学生分组实验，教师巡视，参与讨论。重点引导学生思考：你是怎么分的？分成了几份？称一次后，能排除掉多少个？哪种分法能让称的次数最少？

（3）汇报交流，优化策略：【非常重要】【难点】【高频考点】

从3个中找次品：学生很容易得出称1次。方法：天平两边各放1个，如果平衡，剩下的就是次品；如果不平衡，轻的那边就是次品。关键引导学生理解：称一次，不管是否平衡，都能把次品的范围从3个缩小到1个。

从5个中找次品：学生可能出现多种分法，如（1，1，3）、（2，2，1）、（2，1，2）等。教师引导学生比较、分析：

分法一（2，2，1）：天平两边各放2个。如果平衡，次品是剩下的1个（称1次即可找出，但这是运气好的情况，题目要求“保证找到”，所以要考虑最坏情况）。如果不平衡，次品在轻的一边的2个中，那么还需要再称1次。所以，在最坏情况下，需要称2次。

分法二（1，1，3）：天平两边各放1个。如果平衡，次品在剩下的3个中，还需要从3个中找，需要1次，总共2次。如果不平衡，轻的那个就是次品，只需1次。所以，最坏情况也是2次。

引导学生发现，两种方法最坏情况都是2次，但方法一在第一次称后，即使是不平衡的最坏情况，也只需要再称1次（总共2次），而且它保证能找到。关键在于哪种分法能让第一次称后，次品所在的范围尽可能小。通过比较，学生初步感知到“分成三份”的优越性。

从8个、9个中找次品：【非常重要】

探究从8个中找。学生尝试分（3，3，2）和（4，4）等。通过对比发现：

（4，4）：两边各放4个，称一次后，无论平不平衡，次品都在4个中。接下来要从4个中找，至少需要2次（因为4个要分（1，1，2）称）。所以总共需要1+2=3次。

（3，3，2）：两边各放3个。如果平衡，次品在剩下的2个中，再称1次即可，总共2次；如果不平衡，次品在轻的3个中，从3个中找需要1次，总共也是2次。所以，（3，3，2）只需2次。

从9个中找。学生很容易想到平均分成三份（3，3，3），称一次后，就能把次品范围缩小到3个中，再从3个中找需要1次，总共2次。

（4）归纳总结，得出规律：【重要】

引导学生观察数据：3个称1次，8个称2次（最佳分法），9个称2次。思考：为什么8个要称2次？9个也只要称2次？启发学生总结最优策略：把待测物品尽量平均分成三份，能平均分的就平均分，不能平均分的，让多的一份与少的一份相差1。这样，称一次就能最大程度地缩小次品的范围，从而保证找出次品所需的次数最少。

3、巩固练习：应用规律，解决问题（预计10分钟）

（1）基础练习：有10瓶水，其中9瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其他的水略重一些。至少称几次能保证找出这瓶盐水？（引导学生应用规律：10尽量分成（3，3，4），称2次。）

（2）拓展练习：【热点】有28个零件，其中有一个是次品（稍重一些），用天平称，至少称几次能保证找出次品？让学生独立分析，并阐述理由。

4、课堂总结：回顾过程，感悟思想（预计3分钟）

教师引导学生回顾探究历程：从81个的大问题，到2、3、5、8、9个小问题的研究，再到总结出规律，最后应用规律解决新问题。总结出“化繁为简”、“归纳推理”、“优化”等重要的数学思想方法，让学生感受到数学的魅力。

5、作业设计：实践应用，挑战自我

（1）【基础】完成课本“数学广角”的练习题。

（2）【挑战性作业】如果已知次品可能比合格品轻，也可能比合格品重（不知道轻重），要从3个、4个、5个中找出这个次品，至少需要称几次？请你尝试着探究一下。（此题作为选做，为学有余力的学生提供挑战，进一步培养逻辑思维的严密性。）

（3）【跨学科作业·语文与数学】阅读有关“曹冲称象”或“利用天平找假币”的数学故事，写一篇读后感，谈谈故事中蕴含的数学思想和方法。

六、教学评价设计

本教学设计强调“教学评一体化”，采用多元评价方式，全面评估学生的学习过程和结果。

1、课堂观察与即时评价：在小组合作、动手操作、汇报交流等环节，教师通过巡视、提问、追问等方式，观察学生的参与度、思维深度和合作能力。对