轴对称图形的性质探究-北师大版七年级数学下册教学设计

轴对称图形的性质探究——北师大版七年级数学下册教学设计

一、课程背景与设计理念

（一）课程定位与价值

本节课是初中数学“图形与几何”领域的核心内容，也是学生从实验几何向论证几何过渡的关键节点。轴对称是现实生活中广泛存在的现象，它不仅是一种几何变换，更是培养学生空间观念、几何直观和抽象思维的重要载体。通过对简单轴对称图形的探究，学生将经历从具体实物抽象出几何图形、从直观感知上升到理性分析的过程，为后续学习等腰三角形、平行四边形乃至更复杂的几何图形性质奠定坚实的基础。本设计将学生置于探索者的位置，引导他们像数学家一样去发现、归纳并证明数学规律。

（二）【基础】学情分析

七年级学生正处于形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们对生活中的对称现象有丰富的感性认识，能够识别一些简单的轴对称图形，但对于“对称轴”的概念可能存在模糊认识，容易误将图形的对称轴数量、位置与图形本身的特征混淆。在知识储备上，学生已经学习了点、线、面、角、相交线与平行线等基本概念，具备初步的几何观察和测量能力。然而，他们的逻辑推理和严谨的数学语言表达能力尚显稚嫩，因此教学中需要设计大量的操作活动，让学生在“做数学”的过程中积累活动经验，再逐步引导他们将感性经验上升为理性的数学结论。

（三）【重要】核心素养指向

本节课的教学旨在达成以下核心素养的培养：通过观察生活中的对称现象，发展数学抽象和直观想象素养；通过动手操作（如折纸、画图、测量），培养几何直观和推理能力；通过探究线段、角的轴对称性，感悟从特殊到一般、数形结合的数学思想，形成严谨求实的科学态度。

二、教学目标设定

（一）【核心】知识与技能目标

理解并掌握轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，能准确区分二者的联系与区别。深入探究并熟练掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理、角平分线的性质定理及其逆定理。能够运用尺规作图作出已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线。

（二）过程与方法目标

通过观察、操作、猜想、验证、归纳等数学活动，经历探索简单图形轴对称性的过程，体验获得数学结论的基本方法。在小组合作交流中，能够用准确的数学语言表达自己的观点和推理过程，提升合作交流能力和逻辑表达能力。

（三）情感态度与价值观目标

感受数学与生活的紧密联系，体会轴对称的和谐美与对称美，激发学习数学的兴趣。在探究活动中，培养勇于探索、严谨求实的科学精神和一丝不苟的学习态度。

三、教学重难点剖析

（一）【难点】【高频考点】教学重点

探索并掌握线段垂直平分线的性质定理和角平分线的性质定理，并能运用它们解决简单的实际问题。这两个定理是本章的核心内容，也是后续几何学习的重要工具。

（二）【非常重要】教学难点

理解轴对称图形和两个图形成轴对称这两个概念的联系与区别，尤其是从“运动”的角度理解其本质。此外，对性质定理的逆定理的理解与证明，以及用尺规作图法作一条线段的垂直平分线的原理探究，也是学生理解的难点所在。

四、教学策略与方法

本设计采用“问题情境—操作探究—归纳猜想—推理论证—应用拓展”的教学模式。以“发现美—探究美—创造美—应用美”为主线，将数学知识的学习融入富有挑战性和趣味性的活动中。主要教学方法包括：情境教学法，利用多媒体展示丰富多彩的轴对称现象，激发学生兴趣；启发式教学法，通过精心设计的问题串，引导学生层层深入思考；动手实践法，让学生亲手折一折、画一画、量一量，在实践中获得真知；合作探究法，组织小组讨论，让学生在思维的碰撞中深化理解。

五、教学准备

教师准备：多媒体课件（包含大量轴对称现象的图片和动态演示视频）、几何画板软件、剪纸作品、印有线段和角的卡片。

学生准备：剪刀、彩纸、直尺、圆规、量角器、铅笔。

六、【核心内容】教学实施过程

（一）创设情境，引入新知——感知对称之美

课堂伊始，教师利用多媒体向学生展示一组精美的图片：宏伟的故宫角楼、灵动的蝴蝶翅膀、庄重的天安门城楼、巧妙的剪纸艺术、规则的分子结构模型……伴随着舒缓的音乐，这些图片将学生带入一个充满对称美的世界。展示完毕后，教师提出问题：这些图片在形状上有什么共同特征？你能用自己的语言描述一下吗？学生们通过观察，很容易说出“左右两边一样”、“沿着一条直线对折，两边能够完全重合”等初步感知。教师顺势指出，这种“完全重合”的现象在数学上被称为“对称”，而其中最常见的一种形式就是“轴对称”。今天，就让我们一起走进轴对称的世界，去探寻那些隐藏在简单图形背后的秘密。由此引出课题——轴对称图形的性质探究。这一环节通过视觉冲击激发学生的审美情趣和求知欲，为新课的学习营造良好的氛围。

（二）【基础】概念辨析，明晰定义——建构对称之念

1.探究轴对称图形

教师分发课前准备好的剪纸（如简单的枫叶、蝴蝶、五角星等），让学生动手操作：将手中的剪纸对折，观察对折后的两部分是否完全重合。引导学生总结出“轴对称图形”的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。教师强调，对称轴是一条直线，且有些图形的对称轴可能不止一条，如圆有无数条，正方形有四条。随后，让学生举例说明生活中常见的轴对称图形，并指出其对称轴。

2.探究两个图形成轴对称

教师继续演示：在几何画板中画出两个一模一样的三角形，但它们关于某一条直线对称。演示将其中一个三角形沿着某条直线翻折后，与另一个三角形完全重合的过程。引导学生比较，刚才研究的是一个图形的自身对称，现在呈现的是两个图形之间的关系。由此引出“两个图形成轴对称”的定义：如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴。

3.【难点】辨析概念，深化理解

这是本节课的第一个思维高潮，也是学生容易混淆的地方。教师引导学生从以下几个方面进行小组讨论，并邀请小组代表发言：

（1）研究对象不同：轴对称图形研究的是一个具有特殊形状的图形；成轴对称研究的是两个图形之间的位置关系。

（2）本质联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称；如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。

（3）运动观点：二者都涉及翻折变换，翻折前后的两部分（或两个图形）能够完全重合，对应点、对应线段、对应角都分别相等。

为了加深理解，教师可以举出实例：比如一个等腰三角形是一个轴对称图形，但如果把它从顶角平分线处剪开，得到的两个直角三角形就是关于这条角平分线成轴对称的。通过这样的辨析，学生能够从本质上理解这两个概念的辩证统一关系，为后续学习对应点的性质打下坚实基础。

（三）【核心概念】深入探究，发现性质——揭示对称之理

本环节是本节课的重中之重，将分别探究线段和角这两个最基本的几何图形的轴对称性。

1.探究线段的轴对称性——发现垂直平分线

（1）操作感知：请学生在纸上画一条线段AB，然后利用折叠的方法，寻找它的对称轴。学生通过操作会发现，将线段对折，使点A与点B重合，折痕所在的直线就是线段AB的一条对称轴。这条折痕与线段AB交于一点，记为O。

（2）测量验证：请学生用直尺和量角器测量点O到点A和点B的距离，以及折痕与线段AB所成的夹角。学生会惊奇地发现：OA=OB，且折痕与线段AB垂直。此时教师给出定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，简称中垂线。

（3）【非常重要】性质猜想：在折痕上任取一点P，连接PA和PB，再次折叠，让学生观察PA和PB是否重合。学生会发现PA与PB完全重合，由此猜想：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

（4）推理论证：如何证明这个猜想？教师引导学生回顾证明几何命题的一般步骤：根据题意画出图形、写出已知、求证，最后进行证明。已知：如图，直线l是线段AB的垂直平分线，垂足为O，点P为直线l上任意一点。求证：PA=PB。证明的思路是利用SAS证明△POA≌△POB。教师带领学生共同完成证明过程，并规范证明的书写格式。

（5）【高频考点】【重要】性质定理与逆定理：由此得到线段垂直平分线的性质定理。随后，教师提出逆向问题：如果有一个点P，它到线段AB两个端点的距离相等，即PA=PB，那么点P是否一定在线段AB的垂直平分线上？引导学生继续探究。通过构造等腰三角形，作底边上的中线，利用SSS证明三角形全等，得出“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”的结论，即逆定理。教师强调，性质定理用于证明线段相等，逆定理用于证明点在线段的垂直平分线上，二者互为逆命题，都是真命题。

2.探究角的轴对称性——发现角平分线

（1）类比迁移：在成功探究线段的基础上，教师放手让学生以小组为单位，类比线段的探究方法，自主探究角的轴对称性。各小组拿出印有∠AOB的卡片。

（2）操作感知：学生将∠AOB对折，使角的两边OA和OB重合，折痕即为∠AOB的一条对称轴。这条折痕有什么特殊之处？引导学生用量角器测量折痕与两边所成角的大小，发现折痕平分了这个角，即折痕是角的平分线所在的直线。

（3）【非常重要】性质猜想：在折痕（角平分线）上任取一点P，分别向角的两边作垂线，即过点P作PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D。折叠角纸片，观察点C与点D是否重合，PC与PD的长度有何关系。学生通过操作发现，点C与点D重合，PC=PD。由此猜想：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（4）推理论证：教师引导学生将文字语言转化为几何语言和符号语言，并尝试证明。已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。求证：PD=PE。证明思路是利用AAS证明△PDO≌△PEO。教师在学生尝试的基础上，规范证明过程，并强调“距离”特指“点到直线的垂线段的长”。

（5）【高频考点】【重要】性质定理与逆定理：由此得到角平分线的性质定理。同样，引导学生思考逆命题：到角两边距离相等的点，是否在这个角的平分线上？通过构造三角形全等进行证明，得到逆定理。并引导学生比较线段垂直平分线和角平分线在性质上的相似性和证明方法上的共通性，进一步体会几何证明的严谨性。

3.【基础】归纳小结

教师引导学生将两个探究结果进行对比总结，填写在学案上，形成知识网络。学生交流在探究过程中的体会和遇到的困难，教师点评，强调“观察—猜想—验证—证明”是发现数学规律的一般方法。

（四）【热点】尺规作图，技能提升——创造对称之形

在理论探究的基础上，进入动手操作的环节——尺规作图。

1.作已知线段的垂直平分线

教师提出问题：前面我们通过折叠得到了线段的垂直平分线，但折叠总是存在误差，而且不是所有图形都能折叠。在数学上，我们要求用无刻度的直尺和圆规精确地作出图形。如何用尺规作出一条已知线段的垂直平分线呢？教师引导学生回顾刚才的探究过程，寻找作图的理论依据——逆定理（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）。既然我们要找的是一条直线，而两点确定一条直线，那么我们只需要找到两个这样的点，连接即可。

师生共同总结作图步骤：

（1）分别以点A和点B为圆心，以大于1/2AB的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；

（2）作直线CD。

直线CD即为所求作的线段AB的垂直平分线。

作图完成后，教师追问：为什么要以大于1/2AB的长为半径？如果半径小于或等于1/2AB，两弧还能相交吗？以此引发学生深入思考作图原理，加深对几何图形构造的理解。

2.作已知角的平分线

类比线段的垂直平分线的作法，学生尝试独立探究用尺规作已知角的平分线。教师巡视指导，发现学生作图中可能存在的问题，如圆心选取、半径确定等。

师生共同总结作图步骤：

（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA、OB于点M、N；

（2）分别以点M、N为圆心，以大于1/2MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P；

（3）作射线OP。

射线OP即为所求作的∠AOB的平分线。

同样，教师引导学生思考作图原理：为什么要取大于1/2MN的长为半径？所作射线为什么是角平分线？引导学生利用三角形全等（SSS）证明OP是角平分线，将作图原理与所学定理紧密联系起来。

（五）【高频考点】例题精析，巩固应用——运用对称之妙

通过典型例题的分析与讲解，加深学生对性质定理的理解，培养其综合运用知识解决问题的能力。

例1：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点D，连接AD。若BC=10cm，AC=6cm，求△ACD的周长。

【分析】本题是线段垂直平分线性质定理的直接应用。因为点D在线段AB的垂直平分线上，根据性质定理可得DA=DB。因此，△ACD的周长=AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=6+10=16cm。通过此题，让学生体会利用垂直平分线进行等量代换，将分散的线段集中在一起的转化思想。

例2：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E。若BC=32，且BD:CD=9:7，求DE的长。

【分析】本题是角平分线性质定理的综合应用。先由AD平分∠BAC，且∠C=90°，DE⊥AB，根据性质定理可得DE=DC。再由BC=32，BD:CD=9:7，可求出CD=14，因此DE=14。此题考查了学生对性质定理的掌握以及比例计算能力。

例3：【难点】如图，某地要在三条公路AB、AC、BC围成的三角形区域内修建一个加油站，要求加油站到三条公路的距离相等。试问加油站应建在何处？请用尺规作图找出这个点。

【分析】此题是一个实际问题，考查学生对角平分线性质定理逆定理的综合运用。到两条相交直线（AB和AC）距离相等的点，在这两条直线所成角的平分线上；同样，到AB和BC距离相等的点，在∠ABC的平分线上。因此，同时满足到三条直线距离相等的点，就是三角形两个内角平分线的交点。学生通过作图（作∠A和∠B的平分线，其交点P即为所求），并说明理由，进一步巩固了角平分线的性质。

（六）【重要】变式拓展，思维进阶——挑战对称之巅

为了满足不同层次学生的需求，设置具有挑战性的变式训练。

变式1：在例3中，如果要求加油站到三条公路的距离相等，但公路AB和AC是两条互相垂直的直线，你还能用几种方法找到这个点？引导学生发现，除了内角平分线的交点，还有旁心（两个外角平分线的交点）也满足条件，但需要根据实际问题情境判断其合理性。

变式2：已知线段AB和直线l，在直线l上求作一点P，使PA+PB的值最小。

这是一个经典的“将军饮马”问题，是轴对称性质在实际问题中的高级应用。教师引导学生通过作图（作出点A关于直线l的对称点A’，连接A’B，与直线l的交点即为点P），并利用三角形三边关系证明其最小值。这一问题的解决，将学生对轴对称的理解从静态的识别提升到了动态的优化与构造的层面，极大地锻炼了学生的创新思维和建模能力。

（七）归纳总结，构建网络——沉淀对称之获

课堂小结是知识内化的关键一步。教师引导学生从以下三个方面进行回顾：

1.知识层面：本节课我们学习了哪些核心概念和定理？（轴对称图形、两个图形成轴对称、线段垂直平分线的性质与判定、角平分线的性质与判定）

2.方法层面：我们是如何获得这些知识的？（经历了“观察—猜想—验证—证明”的探究过程）在探究中我们运用了哪些数学思想？（转化思想、数形结合思想、类比思想）

3.技能层面：你掌握了哪些作图技能？（尺规作线段的垂直平分线和角的平分线）在作图时需要注意什么？

通过师生共同总结，帮助学生将零散的知识点串联成线，编织成网，形成良好的认知结构。

（八）【基础】当堂检测，反馈矫正——检验对称之效

设计5-8分钟的当堂检测题，以客观题和基础解答题为主，旨在及时反馈学生对基础知识的掌握情况。

1.下列图形中，不一定是轴对称图形的是（）A.线段B.角C.直角三角形D.等腰三角形

2.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离为5，则点P到OB边的距离为______。

3.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线交AB于点E，若△ABC的周长为18cm，AC=5cm，求△ABE的周长。

学生独立完成后，小组内互评，教师针对共性问题进行集中讲解，确保人人达标。

（九）课后作业，分层延伸——拓展对称之域

根据“双减”政策