高三数学（文）一轮复习课堂达标36空间点直线平面之间的位置关系

◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(三十六)[A基础巩固练]1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()[解析]A，B，C图中四点一定共面，D中四点不共面．[答案]D2．(2018·广西名校联考)已知m，l是直线，α，β是平面，给出下列命题：①若l垂直于α，则l垂直于α内的所有直线，②若l平行于α，则l平行于α内的所有直线③若l⊂β，且l⊥α，则α⊥β④若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则m∥l其中正确的命题的个数是()A．4 B．3C．2 D．1[解析]对于①，由线面垂直的定义可知①正确；对于②，若l平行于α内的所有直线，根据平行公理可得：α内的所有直线都互相平行，显然是错误的，故②错误；对于③，根据面面垂直的判定定理可知③正确；对于④，若m⊂α，l⊂β，且α∥β，则直线l与m无公共点，∴l与m平行或异面，故④错误；故选C.[答案]C3．空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是()A．6eq\r(2) B．12C．12eq\r(2) D．24eq\r(2)[解析]如图，已知空间四边形ABCD，设对角线AC＝6，BD＝8，易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的45°角，故S四边形EFGH＝3×4·sin45°＝6eq\r(2)，故选A.[答案]A4．(2018·浙江金丽衢十二校二联)已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，α∩β＝c.①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；④若a⊥b，a⊥c，则必有α⊥β.其中正确的命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[解析]①中若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交，故①正确；②中平面α⊥平面β时，若b⊥c，则b⊥平面α，此时不论a，c是否垂直，均有a⊥b，故②错误；③中当a∥b时，则a∥平面β，由线面平行的性质定理可得a∥c，故③正确；④中若b∥c，则a⊥b，a⊥c时，a与平面β不一定垂直，此时平面α与平面β也不一定垂直，故④错误，所以正确命题的个数是2.[答案]C5．如图，ABCD­A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面[解析]连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1所以A1C⊂平面ACC1A1，因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．[答案]A6．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是A1D1，A1C1的中点，A.eq\f(\r(3),2)B.eqB.\f(3\r(30),10)C.eq\f(\r(30),10)D.eqD.\f(1,2)[解析]如图，设正方体的棱长为a，取线段AB的中点M，连接CM，MF，EF.则MF綊AE，所以∠CFM即为所求角或所求角的补角．在△CFM中，MF＝CM＝eq\f(\r(5),2)a，CF＝eq\f(\r(6),2)a，根据余弦定理可得cos∠CFM＝eq\f(\r(30),10)，所以可得异面直线AE与CF所成的角的余弦值为eq\f(\r(30),10).故选C.[答案]C7．(2018·甘肃省兰州市二模)已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，B1C，C1D与底面ABCD所成的角分别为60°和45°，则异面直线B1C和CA.eq\f(\r(6),4)B.eqB.\f(1,4)C.eq\f(\r(2),6)D.eqD.\f(\r(3),6)[解析]如图所示：∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C与底面所成角，∴∠BCB1＝60°.∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D与底面所成的角，∴∠CDC1＝45°.连接A1D，A1C1，则A1D∥B1C.∴∠A1DC1或其补角为异面直线B1C与C1D所成的角．不妨设BC＝1，则CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝eq\r(3)＝CD，∴C1D＝eq\r(6)，A1C1＝2.在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝eq\f(\r(6),4).故选：A.[答案]A8.正方体ABCD­A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、[解析]延长PQ或(QP)分别交BC延长线于E，交CD延长线于F，取C1D1中点M，连接RM，连接RE交BB1于S，连接MF交DD1于N，连接NQ，PS，则六边形PQNMRS即为正方体ABCD­A1B1C1D1的过P、Q、R三点的截面图形[答案]六9．如图所示，在三棱锥A­BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件______时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件__________时，四边形EFGH是正方形．[解析]易知EH∥BD∥FG，且EH＝eq\f(1,2)BD＝FG，同理EF∥AC∥HG，且EF＝eq\f(1,2)AC＝HG，显然四边形EFGH为平行四边形．要使平行四边形EFGH为菱形需满足EF＝EH，即AC＝BD；要使平行四边形EFGH为正方形需满足EF＝EH且EF⊥EH，即AC＝BD且AC⊥BD.[答案]AC＝BD；AC＝BD且AC⊥BD10．如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱锥P­ABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．[解](1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，故三棱锥P­ABC的体积为V＝eq\f(1,3)·S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如图所示，取PB的中点E，连接DE，AE，则DE∥BC，所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，则cos∠ADE＝eq\f(DE2＋AD2－AE2,2DE·AD)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).即异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq\f(3,4).[B能力提升练]1．已知空间四边形ABCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列判断：①MN≥eq\f(1,2)(AC＋BD)；②MN＞eq\f(1,2)(AC＋BD)；③MN＝eq\f(1,2)(AC＋BD)；④MN＜eq\f(1,2)(AC＋BD)．其中正确的是()A．①③ B．②④C．② D．④[解析]如图，取BC的中点O，连接MO，NO，则OM＝eq\f(1,2)AC，ON＝eq\f(1,2)BD.在△MON中，MN＜OM＋ON＝eq\f(1,2)(AC＋BD)，∴④正确．[答案]D2．(2018·广州综合测试二)在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱A1D1的中点，过C1，B，M作正方体的截面，则这个截面的面积为A.eq\f(3\r(5),2)B.eqB.\f(3\r(5),8)C.eq\f(9,2)D.eqD.\f(9,8)[解析]设AA1的中点为N，则MN∥BC1，连接MN，NB，BC1，MC1，则梯形MNBC1就是过C1，B，M正方体的截面，其面积为eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3\r(2),2)＝eq\f(9,2)，故选C.[答案]C3．(2018·郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是______①BM是定值；②点M在某个球面上运动；③存在某个位置，使DE⊥A1C；④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.[解析]取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝eq\f(1,2)A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确．[答案]③4．(2018·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面为直角三角形，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝eq\r(2)，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为______．[解析]连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP＋PA1＝A1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝eq\r(40)＝2eq\r(10)，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1Ceq\o\al(2,1)＋BCeq\o\al(2,1)＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝eq\r(2)，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝eq\r(2＋36－12\r(2)cos135°)＝eq\r(50)＝5eq\r(2).[答案]5eq\r(2)5．已知正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF(1)D、B、F、E四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线[证明](1)如图所示，因为EF是△D1B1C1所以EF∥B1D1.在正方体ABCD­A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD.所以EF，BD确定一个平面．即D、B、F、E四点共面．(2)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设平面A1ACC1确定的平面为α又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.则Q是α与β的公共点，同理，P点也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．[C尖子生专练]如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝eq\r(2)，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．[解]如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，∴EF∥CD.∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)，∴BE＝eq\f(\