初中数学九年级下册：相似三角形之母子型（共边共角）模型探究教案

初中数学九年级下册：相似三角形之母子型（共边共角）模型探究教案

  一、课标要求与教材内容分析

  本节课内容属于《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形与几何”领域的重要内容。课标明确指出，学生应“探索并掌握相似三角形的判定定理”，并能“会利用图形的相似解决一些简单的实际问题”。相似三角形是沟通几何图形度量关系与代数关系的核心纽带，其判定与性质是初中几何的基石之一。在苏科版九年级下册教材中，相似三角形是在学生系统学习了全等三角形、图形的平移、旋转、轴对称以及比例线段等知识后，对图形关系研究的深化与拓展。教材通常按照“定义—判定—性质—应用”的逻辑顺序展开，而“母子型相似”模型（亦称共边共角型）并非教材中明确命名的独立定理，但它是“两角分别相等的两个三角形相似”这一基本判定定理在特定图形结构下的高度凝练与应用典范。这一模型揭示了当两个三角形共享一个角，且此角所对的边存在比例关系时，必然构成相似的深层规律。掌握此模型，能将复杂的图形识别问题模块化、直观化，极大地提升学生分析复杂几何图形、迅速锁定相似关系的能力，是解决中考乃至更高层次几何综合题的关键思维工具。因此，本专题教学具有承上启下、化繁为简的重要意义。

  二、学情分析

  授课对象为九年级下学期学生。他们已具备以下知识基础与能力储备：1.熟练掌握三角形内角和、外角定理等基本性质；2.牢固掌握全等三角形的判定与性质；3.理解比例的基本性质，掌握了平行线分线段成比例的基本事实；4.初步学习了相似三角形的定义及“两角相等”判定定理。然而，学生也面临以下主要困难与思维障碍：1.从复杂复合图形中分离出基本图形结构的能力较弱，容易受无关线段干扰；2.对判定定理的理解停留在机械记忆层面，缺乏在动态和变式情境下的灵活迁移能力；3.几何证明的逻辑链条构建不够严谨，书写规范性有待提高；4.将几何结论应用于实际测量问题的建模意识不强。针对以上学情，本节课将通过模型构建、动态演示、变式训练和实际应用四个环节，引导学生从“识模”到“用模”，再到“创模”（构造模型），实现思维的层层进阶。

  三、教学目标

  （一）核心素养目标

  1.几何直观与空间观念：通过观察、操作、归纳，从具体图形中抽象出“母子型”相似模型的基本结构，发展从复杂背景中识别基本图形的能力。

  2.推理能力与模型思想：经历“观察猜想—合情推理—演绎证明”的完整过程，严谨证明模型结论，并运用模型化思想解决几何证明和计算问题，体会数学模型的力量。

  3.应用意识与创新意识：将模型应用于简单的实际测量问题，感知数学的应用价值；在变式与拓展环节，鼓励对基本图形进行组合与重构，培养探究精神。

  （二）具体知识与技能目标

  1.理解并掌握“母子型”相似模型（共边共角型）的两种基本图形结构及其成立的条件与结论。

  2.能准确、快速地从复杂图形中识别出“母子型”相似模型，并利用其进行相关线段长度、比例关系的计算。

  3.能熟练运用该模型进行几何证明，并初步学会通过作辅助线构造此模型来解决相关问题。

  4.能利用“母子型”相似模型解决简单的实际测量问题（如测高、测距）。

  四、教学重点与难点

  教学重点：“母子型”相似模型（共边共角型）的图形特征、判定条件及其基本结论的理解与应用。

  教学难点：1.在复杂图形或非标准图形中，通过添加辅助线构造“母子型”模型；2.对模型结论（比例中项关系）的逆向运用与灵活变形。

  五、教学准备

  教师准备：多媒体课件（内含几何画板动态演示文件）、实物投影仪、三角板、学案。

  学生准备：三角板、直尺、量角器、练习本。

  六、教学过程

  （一）情境创设，问题驱动（时长：约8分钟）

  师：同学们，我们已掌握了相似三角形的基本判定方法。今天，让我们从一个看似简单却又蕴含深意的图形开始探索。请看屏幕（动画演示）：有一个公共锐角∠A的两个三角形，△ABC和△AB'C'，让点C'在射线AC上运动，同时保持∠AB'C'始终等于∠ABC。请观察，这两个三角形始终相似吗？为什么？

  生：根据“两角分别相等的两个三角形相似”，因为∠A是公共角，∠AB'C'=∠ABC，所以无论点C'运动到何处，△ABC∽△AB'C'始终成立。

  师：非常好！这正是我们判定相似的核心依据。现在，我将图形固定为一种特殊位置关系（展示标准“母子型”图形）：如图，在△ABC中，点D在边AC上（不与A、C重合），连接BD。如果已知∠ABD=∠C，请问图中是否存在相似三角形？如果有，是哪两个？并说明理由。

  （学生独立思考后交流）

  生：存在相似三角形。△ABD∽△ACB。理由是：在△ABD和△ACB中，∠A是公共角，∠ABD=∠C（已知），根据“两角分别相等的两个三角形相似”，所以△ABD∽△ACB。

  师：精确！这个图形结构非常典型，它就是我们今天要深入研究的“母子型”相似模型，也常被称为“共边共角型”。请大家给这个模型起个名字，并说说为什么？

  生1：可以叫“共角共边型”，因为它们共享∠A和边AB。

  生2：我看△ABD好像“依偎”在△ACB里面，像一个孩子依偎着母亲，可以叫“母子型”。

  师：两个名字都很形象！“共边共角”突出了条件，“母子型”赋予了图形生命。数学上我们更常用“母子型”或“共边共角型”来指代。那么，谁能更精确地描述这个模型的“长相”特征？

  （引导学生从图形位置关系上描述：大三角形（△ACB）被从顶点出发的一条线段（BD）分割成两个三角形，其中小三角形（△ABD）与原大三角形相似。）

  设计意图：从动态演示入手，复习基本判定定理，自然过渡到静态的特殊位置关系。通过让学生观察、猜想、证明并命名，激发其学习兴趣和主体参与感，初步建立对模型图形结构的感性认识。

  （二）模型探究，归纳建构（时长：约15分钟）

  活动一：模型定型——两种基本图形

  师：刚才我们探究的是∠ABD=∠C的情况，且点D在线段AC上。现在，请大家思考：如果已知条件不变，但点D在射线CA的延长线上，图形会变成什么样？还存在相似吗？

  （教师在黑板上画出反“A”字型，即点D在CA延长线上的情况，引导学生同样利用公共角∠BAD=∠CAB，和∠ABD=∠C，证明△ABD∽△ACB。）

  师：由此可见，“母子型”相似模型并非只有一种“长相”。我们可以归纳出两种基本图形结构：

  图形结构一（标准型）：共享角（如∠A）的顶点是公共顶点，小三角形（子）完全位于大三角形（母）内部，且共享角的对边（在小三角形中为AD，在大三角形中为AC）在同一直线上。

  图形结构二（反型）：共享角的顶点是公共顶点，小三角形（子）位于大三角形（母）外部，共享角的对边所在直线相同，但小三角形的对应边在延长线上。

  两者本质相同：都是两个三角形共用一个角，且另外一对角相等。

  活动二：模型定量——核心比例关系

  师：既然△ABD∽△ACB，那么它们的对应边成比例。请大家写出所有的比例式。

  生：AB/AC=AD/AB=BD/CB。

  师：在这些比例式中，哪一个比例式在结构上最具特色？它揭示了哪几条线段之间的特殊关系？

  生：AD/AB=AB/AC。这个式子可以写成AB²=AD·AC。它揭示了公共边AB是线段AD和AC的比例中项。

  师：这是本模型最核心、最重要的结论！公共边（即共享角与相等角所夹的边）的平方等于共享角对边上两条线段（一条是整个边，一条是分边）的乘积。简记为：“公共边的平方等于‘劈’开的两条线段的乘积”。请同学们在两种基本图形中分别指出这个关系。

  （学生在图形中标注：在标准型中，AB²=AD·AC；在反型中，AB²=AD·AC，注意点D在延长线上，AD为有向线段，但长度关系依然成立。）

  活动三：模型辨析——条件与结论的等价性

  师：我们是由“∠ABD=∠C”推出了△ABD∽△ACB，进而得到AB²=AD·AC。现在反过来思考：

  1.如果已知AB²=AD·AC，能否推出△ABD∽△ACB？

  2.如果已知AB²=AD·AC，且∠BAD=∠CAB，能否推出△ABD∽△ACB？

  （小组讨论，教师引导）

  生：对于问题1，仅由乘积关系AB²=AD·AC，即AD/AB=AB/AC，只能说明两边成比例且夹角相等？不对，这里AD和AB的夹角是∠BAD，AB和AC的夹角是∠BAC，这两个角不一定是同一个角。所以仅凭边的关系不能直接判定相似，还需要夹角相等的条件。

  师：精彩！你点醒了我们，比例式AD/AB=AB/AC要成为相似三角形的依据，必须是“对应边成比例且夹角相等”。这里的“夹角”必须是同一条边所对的角。所以，仅仅AB²=AD·AC，缺少角相等的条件，不能反推相似。这提醒我们，模型的结论是相似的产物，但结论本身不能完全等价于相似的条件。

  对于问题2，如果已知AB²=AD·AC（即AD/AB=AB/AC）且∠BAD=∠CAB，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可以判定△ABD∽△ACB。

  设计意图：本环节是教学的核心。通过对比两种图形，使学生全面认识模型；通过推导核心比例关系，抓住模型的数学本质；通过逆向辨析，深化对相似判定条件的理解，避免学生机械套用结论，培养其思维的严谨性。

  （三）典例精析，应用示范（时长：约25分钟）

  例题1：（基础识别与直接应用）如图，在△ABC中，点D是AB上一点，连接CD。已知∠ACD=∠B，AC=6，AD=4，求AB的长度。

  师：请同学们先观察图形，判断是否存在我们刚学的模型？

  生：存在。在△ADC和△ACB中，∠A是公共角，∠ACD=∠B，所以△ADC∽△ACB，属于“母子型”。

  师：很好！那么根据模型结论，哪条边是比例中项？

  生：公共边AC是比例中项。即AC²=AD·AB。

  师：现在请代入数据计算。

  生：由AC²=AD·AB，得6²=4·AB，所以AB=36/4=9。

  教师板书规范解答过程，强调先证明相似，再写比例式，最后代入计算。

  例题2：（复杂图形中的模型识别）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D。

  （1）图中有几对相似三角形？请一一写出。

  （2）若BC=6，AC=8，求CD和AD的长。

  师：这是一个极其重要的基本图形——“双垂直”或“射影定理”图形。请大家先独立观察，找出所有的相似三角形，并说明理由。

  （学生探究后，教师利用几何画板高亮显示不同三角形，引导学生发现：△ACD∽△ABC，△CBD∽△ABC，进而△ACD∽△CBD。这三对相似中，前两对都是“母子型”。）

  生：在△ACD和△ABC中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A是公共角，所以△ACD∽△ABC（母子型）。同理，△CBD∽△ABC。因为△ACD∽△ABC且△CBD∽△ABC，所以△ACD∽△CBD。

  师：非常全面！这个图形堪称“母子型”模型的“富矿”。请利用这些相似关系解决第（2）问。首先，在Rt△ABC中，由勾股定理可求AB=10。要求CD，有哪些思路？

  生1：利用面积法。S△ABC=1/2AC·BC=1/2AB·CD，所以CD=(AC·BC)/AB=(8×6)/10=4.8。

  生2：利用相似。由△ACD∽△ABC，得AC/AB=CD/BC，即8/10=CD/6，解得CD=4.8。

  师：两种方法都很好。求AD呢？

  生：利用母子型结论。在△ACD∽△ABC中，AC是公共边（比例中项），所以AC²=AD·AB，即8²=AD·10，解得AD=6.4。

  （教师可追问BD的求法，巩固模型：在△CBD∽△ABC中，BC²=BD·AB）

  师：我们把在这个特殊直角三角形中得到的结论：AC²=AD·AB，BC²=BD·AB，CD²=AD·BD，统称为“射影定理”。它本质上是“母子型”相似模型在直角三角形斜边高线下的具体表现。

  例题3：（构造模型，辅助线应用）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为BC边上一点（不与B、C重合），∠ADE=45°，DE与AC交于点E。求证：△ABD∽△DCE。

  师：要证△ABD∽△DCE，目前图中这两个三角形有一个角相等吗？（∠B=∠C=45°）还有一个角可能相等吗？观察∠ADE=45°，它如何与图中的角发生联系？

  生：∠ADB是△ABD的一个外角，等于∠BAD+∠B。同时∠ADB也是∠ADC的补角。而∠ADC是△DCE的一个外角，等于∠CDE+∠C。这里似乎有联系。

  师：思路正确，但直接从角度推导较复杂。我们能否尝试构造一个“母子型”模型，作为沟通的桥梁？注意∠ADE=45°=∠C，若将∠ADE视为某个三角形的角，将∠C视为另一个三角形的角，且它们有一个公共角…

  （启发学生连接AE或过点D作AB的平行线？教师引导观察：已有∠ADE=∠C，如果再创造一个公共角呢？）

  师：提示：考虑△ADE和△ACD。它们有公共角∠DAE吗？（有，∠DAE=∠DAC）那么，如果能使△ADE∽△ACD，就能得到AD/AC=AE/AD，并且能转移角的关系。如何让△ADE和△ACD相似？需要什么条件？

  生：需要另一对角相等。即需要∠AED=∠ADC或∠ADE=∠ACD。已知∠ADE=45°，∠ACD=45°，所以∠ADE=∠ACD！

  师：太棒了！所以在△ADE和△ACD中，∠DAE=∠CAD（公共角），∠ADE=∠ACD=45°，所以△ADE∽△ACD（母子型！注意共享角A，点E在AC上）。由此我们能得到什么比例关系？

  生：AD/AC=AE/AD，即AD²=AE·AC。

  师：更重要的是，由相似得到的对应角相等：∠AED=∠ADC。而∠ADC=∠ADE+∠CDE=45°+∠CDE，同时∠ADC又是△ABD的外角，等于∠BAD+∠B=∠BAD+45°。所以可得∠BAD=∠CDE。这样，在△ABD和△DCE中，我们有∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CDE，所以△ABD∽△DCE。

  教师板书证明思路的关键步骤，强调构造△ADE∽△ACD这一“母子型”模型在证明中的桥梁作用。

  设计意图：例题设计体现梯度。例1直接套用，巩固模型；例2在经典图形中多角度识别和应用模型，提升识图能力，并引出重要推论；例3难度提升，重点展示如何通过观察和分析，主动构造“母子型”模型来搭建证明的桥梁，培养学生的高阶思维和辅助线添加意识。

  （四）变式训练，思维深化（时长：约20分钟）

  学生独立或小组合作完成以下练习，教师巡视指导，针对共性问题进行讲评。

  变式1：（条件变式）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线DE交AC于点E。求证：BD²=AB·BE。

  分析：连接AD。由AB为直径，得∠ADB=90°。由等腰三角形三线合一，D为BC中点？需证明。切线DE连接OD，则OD⊥DE。目标式BD²=AB·BE，即BD/AB=BE/BD，暗示可能证明△BDE∽△BAD。需证∠BDE=∠BAD。可利用切线性质和等边对等角进行角度转换。

  变式2：（图形变式）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ACD=90°，AB=8，BC=6，CD=24。求AD的长。

  分析：在Rt△ABC中，由勾股定理求得AC=10。观察△ABC和△ACD，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD吗？不一定。但∠ACB+∠BAC=90°，而∠ACB+∠DCA=90°？不对，∠DCA是直角的一部分。尝试连接BD？更复杂。实际上，单独看Rt△ABC和Rt△ACD，它们不一定相似。但题目条件可能暗示△ABC∽△DCA？需要角相等。若∠BAC=∠ADC，则两三角形相似。如何证明∠BAC=∠ADC？在Rt△ABC中，tan∠BAC=BC/AB=6/8=3/4。若在Rt△ACD中，tan∠ADC=AC/CD=10/24=5/12，不相等。此路不通。重新审视：条件给出∠ACD=90°，CD很长。或许需要构造。过点A作AE⊥CD（或延长线）？更通用的思路：由于∠ABC=∠ACD=90°，若再满足∠BAC=∠CAD，则△ABC∽△ACD，形成“母子型”？但点A是公共顶点，AC是公共边，若相似则有AC²=AB·AD，可求AD。如何证明∠BAC=∠CAD？题目未直接给出。这可能是一个需要自主发现或证明的隐藏条件？通常此类题中，四点可能共圆？因∠ABC+∠ACD=180°，故A、B、C、D四点共圆！由此可得∠BAC=∠BDC，但这不是我们想要的。实际上，由四点共圆可得∠CAD=∠CBD。依然不是∠BAC。所以直接相似可能不成立。更稳妥的方法是：在Rt△ABC中求AC=10。然后在Rt△ACD中，已知AC=10，CD=24，用勾股定理求AD？但∠ACD=90°，所以AD²=AC²+CD²=100+576=676，AD=26。原来如此简单！此题是一个“陷阱”，并非考察“母子型”，而是提醒学生避免思维定势，要全面审视图形和条件。教师讲评时需重点强调这一点。

  变式3：（综合应用）某校数学兴趣小组测量校园内一棵树AB的高度。如图，他们在地面上的点C处放置一平面镜，小华站在点D处，恰好能从镜中看到树顶A的像。已知小华的眼睛离地面的高度DE=1.6米，他到平面镜的距离CD=2米，平面镜到树的距离BC=10米，且点B、C、D在同一直线上，平面镜的厚度忽略不计。求树高AB。

  分析：这是典型的镜面反射测高问题，依据物理学的反射定律（入射角等于反射角），可转化为数学问题：∠ACB=∠ECD。在Rt△ABC和Rt△EDC中，∠ABC=∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，所以△ABC∽△EDC（母子型？不，是“子母”倒置，实为“反A”字型）。由相似得AB/DE=BC/DC，即AB/1.6=10/2，解得AB=8米。

  设计意图：变式训练旨在打破思维定势，提升学生在新情境、新图形中灵活运用模型的能力。变式1将模型与圆的性质结合；变式2设置“陷阱”，警示学生避免盲目套模，培养审题和综合分析能力；变式3是实际应用，体现数学建模过程，贯通学科联系。

  （五）课堂小结，提炼升华（时长：约7分钟）

  师：请同学们回顾本节课，我们围绕“母子型”相似模型，经历了怎样的学习过程？你收获了哪些具体的知识、方法或思想？

  （学生自由发言，教师引导归纳）

  知识层面：

  1.“母子型”（共边共角型）相似模型的两种基本图形结构：标准型与反型。

  2.模型的核心条件：两个三角形共享一个角，且另一对角相等。

  3.模型的核心结论：公共边（共享角与相等角所夹的边）的平方等于共享角对边上两条线段的乘积（AB²=AD·AC）。

  4.在直角三角形中，斜边上的高将原三角形分出的两个小三角形都与原三角形相似，衍生出射影定理。

  方法层面：

  1.识别方法：在复杂图形中寻找或构造“共角”和“等角”的结构。

  2.应用方法：证明相似后，利用对应边成比例进行计算或证明；特别关注比例中项关系。

  3.构造方法：当直接条件不足时，可通过添加辅助线（如作平行线、垂线或连接特定线段）来构造“母子型”模型。

  思想层面：

  1.模型化思想：将反复出现的图形结构抽象为数学模型，实现“化归”与“简化”。

  2.转化思想：将乘积关系转化为比例关系，将几何证明转化为对模型条件的验证。

  3.数形结合思想：图形特征与代数等式（比例式）的相互印证与转化。

  （六）分层作业，拓展延伸（时长：课后）

  A组（基础巩固）：

  1.教材对应习题：完成教材中涉及共边共角结构的相似三角形证明与计算题。

  2.填空：如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠ACD=∠B。若AD=2cm，AB=6cm，则AC=______cm。

  3.证明：如图，∠1=∠2，求证：AC²=AD·AB。

  B组（能力提升）：

  1.如图，P是Rt△ABC斜边AB上一点（不与A、B重合），过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似。满足这样条件的直线有几条？请画出图形并简要说明。

  2.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，求证：AD²=AB·AC-BD·DC。（提示：利用“母子型”和托勒密定理的简化思想，或构造相似）

  C组（探究挑战）：

  1.查阅资料，了解“射影定理”在历史上的发现过程，及其在欧几里得几何体系中的地位。

  2.探究：对于任意三角形ABC，是否存在一点P（在边BC上或延长线上），使得△ABP∽△ACB？若存在，点P应满足什么条件？这个点与三角形的其他特殊点（如内心、外心、垂心等）有何关联？

  七、板书设计（主版面规划）

  左侧：模型结构图区

  [绘制标准型“母子图”][绘制反型“母子图”]

  △ABD∽△ACB△ABD∽△ACB

  条件：∠A公共，∠ABD=∠C条件：∠BAD=∠CAB，∠ABD=∠C

  结论：AB²=AD·AC结论：AB²=AD·AC

  （核心：公共边平方等于“劈”积）（图形异，本质同）

  中部：核心推导