【解析】北京海淀育新学校高三上学期12月月考数学（理）试题

育新学校高三数学（理）12月月考试卷一、选择题（共8小题；共40分）1．复数（是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】复数，其在复平面上对应的点为，该点位于第二象限．故选．2．“在内”是“在内单调递增”的（）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】∵在内，则在内单调递增，反过来，若在内单调递增，则，∴“在内”是“在内单调递增”的充分不必要条件．故选．3．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，，，输出．故选．4．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，由抛物线定义，抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，则，当且仅当点为当抛物线的交点时取得等号．故选．5．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是B．结余最高的月份是月份C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D．前个月的平均收入为万元【答案】D【解析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误．综上，故选．6．若的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则直线与曲线围成的封闭区域的面积为（）．A． B． C． D．【答案】C【解析】展开式中第项与第项的二项式系数相等，所以，解得，那么与围成的封闭圆形区域的面积为．故选．7．一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的表面积（单位：）为（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体为三棱锥，如图所示，面面，，，取中点，中点，面，，，利用勾股定理得，．故选．8．已知偶函数，当时，，当时，．关于偶函数的图象和直线的个命题如下：①当时，存在直线与图象恰有个公共点；②若对于，直线与图象的公共点不超过个，则；③，，使得直线与图象交于个点，且相邻点之间的距离相等．其中正确命题的序号是（）．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【解析】根据偶函数的图象关于轴对称，利用已知中的条件作出偶函数，的图象，利用图象得出：①当时，偶函数的图象如下：存在直线，如，与图象恰有个公共点，故①正确．②若对于，由于偶函数的图象如下：直线与图象的公共点不超过个，则，故②正确．③，偶函数的图象如下：，使得直线与图象交于个点，且相邻点之间的距离相等，故③正确；因此正确命题的序号是①②③．故选．二、填空题（共6小题；共30分）9．设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为，如果与该比曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题意知，，所以．又，则，解得．10．给出下列结论：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线就和这个平面内的任何直线垂直；②过平面外一点有只有一个平面和这个平面垂直；③过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面．其中正确的是__________．（写出所有正确结论的序号）【答案】①④【解析】①由直线与平面垂直的定义可知①正确；②过平面外一点有无数个平面和这个平面垂直，故②错误；③过直线外一点有无数个平面和这条直线平行，故③错误；④由面面平行的性质定理可知④正确．综上，正确的是①④．11．若不同两点、的坐标分别为，，则线段的垂直平分线的斜率为__________，圆关于直线对称的圆的方程为__________．【答案】；【解析】，故直线的斜率为，由点斜式可是的方程为，圆心关于直线的对称点为，故所求圆的方程为．12．已知实数、满足，则的最大值是__________．【答案】【解析】在坐标系中作出不等式组的可行域，三个顶点分别是，，，由图可知，当，时，的值最大是．13．甲、乙、丙、丁、戊名学生进行讲笑话比赛，决出了第一到第五的名次，甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列共__________（用数字作答）种不同情况【答案】【解析】先排乙，有种排法；再排甲，也有种排法，余下个有种排法，故人的名次排列共有种不同情况．14．的外接圆圆心为，且，则等于__________．【答案】【解析】∵的外接圆圆心为，且，∴，，∴，∴，∴，外接圆中，∴为中点，∵，∴．三、解答题（共5小题；共80分）15．贵广高速铁路自贵阳北站起，黔南州、黔东南、广西桂林、贺州、广东肇庆、佛山终至广州南站．其中广东省内有怀集站、广宁站、肇庆东站、三水南站、佛水西站、广州南站共个站，记者对广东省内的个车站随机抽取个进行车站服务满意度调查．Ⅰ求抽取的车站中含有佛山市内车站（包括三水南站和佛山西站）的概率．Ⅱ设抽取的车站中含有肇庆市内车站（包括怀集站、广宁站、肇庆车站）个数为，求的分布列及其均值（即数学期望）．【答案】见解析【解析】Ⅰ设“抽取的车站中含有佛山市山站”为事件，则．Ⅱ的可能取值为，，，，，，，∴的分布列为的数学期望．16．在中，角，，所对的边分别为，，，若．Ⅰ求角的大小．Ⅱ若函数，，在处取到最大值，求的面积．【答案】见解析【解析】Ⅰ∵，∴，又∵，∴，故．Ⅱ∵，∴当，即时，，此时，，，∵，∴，则．17．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．Ⅰ证明：．Ⅱ求平面和平面所成角（锐角）的余弦值．【答案】见解析【解析】Ⅰ∵，，∴，同理，，∴，又∵，∴由勾股定理可知，，又∵平面平面，平面平面，平面，∴平面，又∵平面，∴．Ⅱ解：取的中点，连结，则，∵平面平面，平面平面，∴平面，取的中点，连结，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，设平面的法向量为，则即，令，则，，∴平面的法向量，又平面的一个法向量为，设平面和平面所成角（锐角）为，则，∴平面和平面所成角（锐角）的余弦值为．18．设函数．Ⅰ讨论函数的单调性．Ⅱ若有两个极值点和，记过点，的直线斜率为．问：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：Ⅰ由题意得的定义域为，，令，其判别式．①当时，，恒成立，故在上单调递增．②当时，，的两根都小于，所以在上，，故在单调递增．③当时，，的两根为，，当时，，当时，，当时，，故要和上单调递增，在上单调递减．Ⅱ由Ⅰ知，，∵，∴斜率，又由Ⅰ知，，于是，若存在，使得，则有，即，又∵，∴，即①，再由Ⅰ知，函数在上单调递增，而，∴，这与①式矛盾，故不存在，使得．19．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好在抛物线的准线上．Ⅰ求椭圆的标准方程．Ⅱ点，在椭圆上，，是椭圆上位于直线两侧的动点．（i）若直线的斜率为，求四边形面积的最大值．（ii）当，运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．【答案】见解析【解析】解：Ⅰ设椭圆的标准方程为，∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线的准线上，∴，即，又∵，，∴，，故椭圆的标准方程为．Ⅱ（i）设，，直线的方程为，联立，得，由，计算得出，∴，，∴，∴四边形的面积，当时，．（ii）∵，则，的斜率互为相反数，可设直线的斜率为，则的斜率为，直线的方程为：，联立，得，∴，同理可得：，∴，，，∴直线的斜率为定值．20．设数列的首项，且时，，，，．Ⅰ若，求，，