第一讲 中点模型 课件 2026年中考数学一轮复

第一讲中点模型初中几何综合复习模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形倍长中线倍长类中线如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证:△ADC≅△EDB(SAS)。如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证:△FDB≅△FDC(SAS)。当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。模型分析：模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用三线合一连接中线等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到:“边等、角等、三线合一”。模型3已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理取另一边中点，构造中位线在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理:DE//BC，且DE=(1/2)BC来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。注意:遇多个中点，构造中位线1、直接连接中点;2、连对角线取中点再相连模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线构造直角三角形斜边上的中线模型分析:在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=(1/2)AB，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形:△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。典型例题例1在△ABC中，∠B=∠C=α（0°<α<45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE。（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF=DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明。证明：第一步：延长FE到H，使EH=EF连接AH、HC、AF。设DM=DE=m,DC=n.在▲HFC中，∵EH=EF、DC=DF∴CH=2DE=2mHC∥DE∠HCD=∠EDM=2α∵∠ACB=α∴∠ACH=α=∠B又MC=MB=m+nBD=m+n+mDF=DC=n∴BF=2m=HCAB=AC∠B=∠ACHBF=CH∴▲ABF=▲ACH∴AF=AC第二步：在▲AFH中，AF=AH,EF=EH，∴AE⊥HF即∠AEF=90°例2

证明：∵AB2=AE2+BD2∴EF⊥AE∵DC=ED∠BCD=∠FCEBC=FC∴▲BDC=▲FEC∴DC=ECEF∥BD∵EF⊥AE∴BH⊥AE在RT▲DEH中，DC=ED∴CD=CH（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）例3在△ABC中，∠C=90°，AC>BC，D是AB的中点。E为直线AC上一动点，连接DE。过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF。（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE=a，BF=b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明。(1)(2)证明：延长ED至M,使DM=DE,连接MF，DA=DB,∠ADE=∠MDB∴▲ADE≌▲MDB∴AE=BMAE∥BM∵EC⊥BC∴BM⊥BC∴▲BMF为RT▲∴BF2+BM2=MF2∵DE=DMDE⊥DF∴DF是EM的垂直平分线∴EF=MF∵BF2+BM2=MF2∴BF2+AE2=EF2例4

(1)延长GP交DC于H,∵A、B、E在一条直线上∴DC∥AE∥GF∴∠HDP=∠GFP又∠DPH=∠FPGDP=FP∴▲DPH≌▲FPG∴HP=GPDH=FG=BG∵DC=BC∴HC=GC∴CP⊥PG∵∠ABC=60°∴∠DCB=120°∴∠PCG=60°在RT▲CPG中，

PG=PC证明：(2)证明：第一步延长GP交AD于N,∵A、B、F在一条直线上∴∠ABC=∠BFG=60°∴AD∥BC∥FG∴∠NDP=∠GFP又∠DPN=∠FPGDP=FP∴▲DPN≌▲FPG第二步：∴NP=GPDN=FG=BG∵∠ABC=60°∠FBG=60°∴∠CBG=60°即∠ADC=∠CBG∵DC=BC∴▲DNC≌▲BGC第三步：∴NC=GC∵NP=GP∴CP⊥PG

∠NCP=∠GCP第四步：∵∠ABC=60°∴∠DCB=120°

∠NCP=∠GCP∴∠PCG=60°在RT▲CPG中，

PG=PCDH∥GF∥BEDC∥AB∠CDH+∠ABE=180°(3)例5如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转α（0°<α<180°）得到线段BD，边AC绕点C逆时针旋转180°−α得到线段CE，连接DE，点F是DE的中点。（1）以点F为对称中心，作点C关于点F的对称点G，连接BG，DG。①依题意补全图形，并证明AC=DG；②求证：∠DGB=∠ACB；（2）若α=60°，且FH⊥BC于H，直接写出用等式表示的FH与BC的数量关系。(1)证明：DF=EF∠DFG=∠EFCGF=CF∴▲DFG≌▲EFC∴DG=EC∵AC=EC∴DG=AC设∠ACB=x∠ABC=y∴∠BAC=180°-（x+y)在四边形BDEC中∠DBC+∠ACE+x+y+∠BDE+∠E=360°∵∠DBC+∠ACE=180°∠BDE+∠E=180°-（x+y)∵∠E=∠GDB∴∠GDB+∠BDE=180°-（x+y)∴∠BDG=∠BAC∵BD=BADG=AC∴▲BDG≌▲BAC∴∠DGB=∠ACB▲BDG≌▲BAC∠DBA=60°∴∠GBC=60°GB=CB∴▲BGC为等边三角形在RT▲HFC中，∠HCF=60°例6如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是AB边上一点（不与A，B重合），点F与点A关于直线DE对称，连接DF。作射线CF，交直线DE于点P，设∠ADP=α。(1)用含α的代数式表示∠DCP；(2)连接AP，AF。求证：△APF是等边三角形；(3)过点B作BG⊥DP于点G，过点G作CD的平行线，交CP于点H。补全图形，猜想线段CH与PH之间的数量关系，并加以证明。∵A、F关于DE对称，∴AP=FPAD=FD设∠ADP=α∴∠FDC=120°-2α∴菱形ABCD∴AD=DC=DF∴∠DFC=∠DCF=30°+α∴∠DAF=∠DFA=90°-α∴∠AFP=∠PAF=60°∴▲APN是等边三角形证明：∵等边三角形APF∴AP=AF∠PAF=∠BAD=60°∴∠PAB=∠FADAB=AD∴▲APB≌▲AFD∴PB=FDAD=FD=BD∴PB=DB∵BG⊥PD∴PG=DG在▲PCD中PG=DGGH∥DC∴CH=PH例7已知正方形ABCD和一动点E，连接CE，将线段CE绕点C顺时针旋转90°得到线段CF，连接BE，DF。（1）如图1，当点E在正方形ABCD内部时，①依题意补全图1；②求证：BE=DF；（2）如图2，当点E在正方形ABCD外部时，连接AF，取AF中点M，连接AE，DM，用等式表示线段AE与DM的数量关系，并证明。（2）证明：AB=CDCE=CF∠BCE=∠DCF∴▲EBC≌▲FDC∴BE=DF∠EBC=∠FDC延长FD到H,使DH=DF连接AH,∵∠EBC=∠FDC∴∠EBA=∠HDAAB=ADBE=DF=DH∴▲ABE≌▲ADH∴AE=AH在▲AFH中，AM=MFHD=DF∴AH=2DM∴AE=2DM方法二方法三一题多解例8如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC>90°，D是△ABC内一点，∠ADC=∠BAC。过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E。（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD=∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明。（2）证明：延长BE∵BE∥CD∠1=∠ADC∵∠ADC=∠BAC∴∠1=∠2+∠3又∠1=∠ABE+∠2∴∠3=∠ABE即∠CAD=∠ABE(3)证明：在BE上截取BG=ADAB=AC∠CAD=∠ABE∴▲ABG≌▲CAD∴AG=CD∠BGA=∠ADC∠BGA+∠AGE=180°BE∥CD∠AEG=∠EDC∠ADC+∠EDC=180°∴∠ADC+∠AEG=180°∠BGA=∠ADC∴∠ADC+∠AGE=180°∴∠AGE=∠AEG∴AG=AE∵AG=CD∴CD=AE例9如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，作射线CM，∠ACM=80°。D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF。（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG=DC，FG=FB，求∠CDG的值。（2）证明：E是AD中点∴AE=DEF关于E点对称∴CE=FE∠AEC=∠DEF∴▲AEC≌▲DEF∴AC=DF∵AB=AC∴AB=DF（3）证明：AE=DECE=FE∴ACDE为平行四边形CD=AF∠ACD+∠CDF=180°∵∠ACD=80°∴∠CDF=100°∴∠BAF=140°当G点在FD左侧时DG=DC=AFFG=FBAB=AC=DF∴▲ABF≌▲DFG∠BAF=∠FDG=140°∵∠CDF=100°∴∠CDG=40°当G'点在FD右侧时DG‘=DC=AFFG’=FBAB=AC=DF∴▲ABF≌▲DFG'∠BAF=∠FDG'=140°∵∠CDF=100°∴∠CDG=120°例10在△ABC中，BD⊥AC于点D，E为AB边中点，连接CE，BD与CE相交于点F，过E作EM⊥EF，交线段BD于点M，连