2025-2026学年上海市九年级上册9月月考数学练习卷（附答案）

20252026学年上海市九年级上册9月月考数学练习卷（附答案）一、选择题（每题4分，共24分）1.已知\(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\)，则\(\frac{a+b}{b}\)的值为（）A.\(\frac{5}{2}\)B.\(\frac{3}{2}\)C.\(\frac{5}{3}\)D.\(\frac{2}{3}\)答案：A解析：根据分式的加法法则\(\frac{a+b}{b}=\frac{a}{b}+\frac{b}{b}\)，因为\(\frac{a}{b}=\frac{3}{2}\)，\(\frac{b}{b}=1\)，所以\(\frac{a+b}{b}=\frac{3}{2}+1=\frac{5}{2}\)。2.下列两个三角形一定相似的是（）A.两个等腰三角形B.两个直角三角形C.两个等边三角形D.两个钝角三角形答案：C解析：等边三角形的三个角都相等，都是\(60^{\circ}\)，根据相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，所以任意两个等边三角形一定相似。而等腰三角形、直角三角形、钝角三角形的角和边的关系不确定，不一定相似。3.在\(\triangleABC\)中，点\(D\)、\(E\)分别在边\(AB\)、\(AC\)上，\(DE\parallelBC\)，如果\(AD=8\)，\(DB=6\)，\(EC=9\)，那么\(AE\)的长为（）A.12B.16C.18D.24答案：A解析：因为\(DE\parallelBC\)，所以\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)，已知\(AD=8\)，\(DB=6\)，\(EC=9\)，则\(\frac{8}{6}=\frac{AE}{9}\)，解得\(AE=12\)。4.在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(BC=6\)，则\(AB\)的长为（）A.4B.6C.8D.10答案：D解析：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\sinA=\frac{BC}{AB}\)，已知\(\sinA=\frac{3}{5}\)，\(BC=6\)，即\(\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}\)，解得\(AB=10\)。5.已知抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的对称轴为直线\(x=1\)，且经过点\((3,0)\)，则\(ab+c\)的值为（）A.\(1\)B.0C.1D.2答案：B解析：因为抛物线\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的对称轴为直线\(x=1\)，且经过点\((3,0)\)，根据抛物线的对称性，与点\((3,0)\)关于直线\(x=1\)对称的点的横坐标为\(x=2\times13=1\)，所以抛物线也经过点\((1,0)\)。把\(x=1\)，\(y=0\)代入\(y=ax^{2}+bx+c\)得\(ab+c=0\)。6.已知二次函数\(y=x^{2}2x3\)的图象与\(x\)轴交于\(A\)、\(B\)两点（\(A\)在\(B\)的左侧），与\(y\)轴交于点\(C\)，则\(\triangleABC\)的面积为（）A.3B.4C.6D.8答案：C解析：令\(y=0\)，则\(x^{2}2x3=0\)，即\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，所以\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)，则\(AB=3(1)=4\)。令\(x=0\)，则\(y=3\)，所以\(C(0,3)\)，那么\(OC=3\)。所以\({S}_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\timesAB\timesOC=\frac{1}{2}\times4\times3=6\)。二、填空题（每题4分，共32分）7.若\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)，则\(\frac{xy}{y}\)的值为______。答案：\(\frac{1}{3}\)解析：\(\frac{xy}{y}=\frac{x}{y}\frac{y}{y}\)，因为\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\)，\(\frac{y}{y}=1\)，所以\(\frac{xy}{y}=\frac{2}{3}1=\frac{1}{3}\)。8.已知两个相似三角形的相似比为\(2:3\)，其中一个三角形的面积为\(20\)，则另一个三角形的面积为______。答案：\(45\)或\(\frac{80}{9}\)解析：设另一个三角形的面积为\(S\)。当\(S\)是较大三角形的面积时，根据相似三角形面积比等于相似比的平方，可得\(\frac{20}{S}=(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}\)，解得\(S=45\)；当\(S\)是较小三角形的面积时，\(\frac{S}{20}=(\frac{2}{3})^{2}=\frac{4}{9}\)，解得\(S=\frac{80}{9}\)。9.在\(\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(\cosA=\frac{4}{5}\)，\(AB=10\)，则\(AC\)的长为______。答案：8解析：在\(Rt\triangleABC\)中，\(\cosA=\frac{AC}{AB}\)，已知\(\cosA=\frac{4}{5}\)，\(AB=10\)，则\(\frac{AC}{10}=\frac{4}{5}\)，解得\(AC=8\)。10.抛物线\(y=2(x3)^{2}+1\)的顶点坐标为______。答案：\((3,1)\)解析：对于抛物线的顶点式\(y=a(xh)^{2}+k\)（\(a\neq0\)），其顶点坐标为\((h,k)\)，所以抛物线\(y=2(x3)^{2}+1\)的顶点坐标为\((3,1)\)。11.已知二次函数\(y=x^{2}+2x+3\)，当\(x\)______时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。答案：\(<1\)解析：对于二次函数\(y=x^{2}+2x+3\)，其二次项系数\(a=1\lt0\)，抛物线开口向下，对称轴为\(x=\frac{b}{2a}=\frac{2}{2\times(1)}=1\)，所以当\(x\lt1\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。12.若点\(P(2,m)\)是反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)图象上一点，则\(m\)的值为______。答案：2解析：因为点\(P(2,m)\)在反比例函数\(y=\frac{4}{x}\)的图象上，所以把\(x=2\)代入\(y=\frac{4}{x}\)得\(m=\frac{4}{2}=2\)。13.如图，在\(\triangleABC\)中，\(D\)、\(E\)分别是\(AB\)、\(AC\)上的点，\(\angleAED=\angleB\)，如果\(AE=2\)，\(AD=3\)，\(BC=6\)，那么\(DE\)的长为______。答案：4解析：因为\(\angleAED=\angleB\)，\(\angleA=\angleA\)，所以\(\triangleADE\sim\triangleACB\)，则\(\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB}\)。已知\(AE=2\)，\(AD=3\)，\(BC=6\)，\(AB=AD+DB\)，由相似可得\(\frac{DE}{6}=\frac{2}{3}\)，解得\(DE=4\)。14.已知二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象经过点\((1,0)\)，\((3,0)\)，且最大值为\(4\)，则该二次函数的解析式为______。答案：\(y=x^{2}+2x+3\)解析：因为二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象经过点\((1,0)\)，\((3,0)\)，所以对称轴为直线\(x=\frac{1+3}{2}=1\)，又因为最大值为\(4\)，所以顶点坐标为\((1,4)\)。设二次函数的解析式为\(y=a(x1)^{2}+4\)，把\((1,0)\)代入得\(0=a(11)^{2}+4\)，即\(4a+4=0\)，解得\(a=1\)，所以二次函数的解析式为\(y=(x1)^{2}+4=x^{2}+2x+3\)。三、解答题（共94分）15.（本题10分）计算：\(\sin^{2}45^{\circ}+\tan60^{\circ}\cos30^{\circ}\tan45^{\circ}\)。解：根据特殊角的三角函数值可知：\(\sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\tan60^{\circ}=\sqrt{3}\)，\(\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，\(\tan45^{\circ}=1\)。则\(\sin^{2}45^{\circ}+\tan60^{\circ}\cos30^{\circ}\tan45^{\circ}=(\frac{\sqrt{2}}{2})^{2}+\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}1\)\(=\frac{2}{4}+\frac{3}{2}1\)\(=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}1\)\(=21\)\(=1\)。16.（本题10分）已知抛物线\(y=x^{2}2x3\)。（1）求抛物线与\(x\)轴、\(y\)轴的交点坐标；（2）求抛物线的顶点坐标。解：（1）令\(y=0\)，则\(x^{2}2x3=0\)，因式分解得\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x_1=1\)，\(x_2=3\)，所以抛物线与\(x\)轴的交点坐标为\((1,0)\)，\((3,0)\)。令\(x=0\)，则\(y=3\)，所以抛物线与\(y\)轴的交点坐标为\((0,3)\)。（2）对于二次函数\(y=x^{2}2x3\)，将其化为顶点式\(y=x^{2}2x3=(x1)^{2}4\)，所以抛物线的顶点坐标为\((1,4)\)。17.（本题12分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(D\)是\(BC\)边上一点，\(E\)是\(AD\)的中点，过点\(A\)作\(BC\)的平行线交\(CE\)的延长线于点\(F\)，且\(AF=BD\)，连接\(BF\)。（1）求证：\(BD=CD\)；（2）如果\(AB=AC\)，试判断四边形\(AFBD\)的形状，并证明你的结论。证明：（1）因为\(AF\parallelBC\)，所以\(\angleAFE=\angleDCE\)，\(\angleFAE=\angleCDE\)。又因为\(E\)是\(AD\)的中点，即\(AE=DE\)。在\(\triangleAEF\)和\(\triangleDEC\)中，\(\begin{cases}\angleAFE=\angleDCE\\\angleFAE=\angleCDE\\AE=DE\end{cases}\)所以\(\triangleAEF\cong\triangleDEC(AAS)\)，则\(AF=CD\)。因为\(AF=BD\)，所以\(BD=CD\)。（2）四边形\(AFBD\)是矩形。证明：因为\(AF\parallelBD\)，\(AF=BD\)，所以四边形\(AFBD\)是平行四边形。因为\(AB=AC\)，\(BD=CD\)，根据等腰三角形三线合一的性质可知\(AD\perpBC\)，即\(\angleADB=90^{\circ}\)。所以平行四边形\(AFBD\)是矩形。18.（本题12分）某商场销售一种商品，已知这种商品每天的销售量\(y\)（件）与销售单价\(x\)（元）之间满足一次函数关系\(y=x+60\)，每件商品的进价为\(20\)元。（1）当销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（2）如果商场要想每天获得的利润不低于\(400\)元，那么销售单价应控制在什么范围内？解：（1）设每天的销售利润为\(W\)元。根据利润公式\(W=(x20)y\)，已知\(y=x+60\)，则\(W=(x20)(x+60)\)\(=x^{2}+60x+20x1200\)\(=x^{2}+80x1200\)\(=(x40)^{2}+400\)。因为\(1\lt0\)，所以抛物线开口向下，当\(x=40\)时，\(W\)有最大值\(400\)。即当销售单价定为\(40\)元时，每天的销售利润最大，最大利润是\(400\)元。（2）令\(W=400\)，即\((x40)^{2}+400=400\)，\((x40)^{2}=0\)，\((x40)^{2}=0\)，解得\(x=40\)。因为抛物线\(W=(x40)^{2}+400\)开口向下，要使\(W\geq400\)，则\(x=40\)。所以如果商场要想每天获得的利润不低于\(400\)元，销售单价应定为\(40\)元。19.（本题14分）如图，在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，点\(D\)在\(AB\)上，以\(AD\)为直径的\(\odotO\)与\(BC\)相切于点\(E\)，连接\(DE\)。（1）求\(\odotO\)的半径；（2）求\(\cos\angleBDE\)的值。解：（1）连接\(OE\)，因为\(\odotO\)与\(BC\)相切于点\(E\)，所以\(OE\perpBC\)。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\angleC=90^{\circ}\)，\(AC=3\)，\(BC=4\)，根据勾股定理\(AB=\sqrt{AC^{2}+BC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\)。设\(\odotO\)的半径为\(r\)，则\(AO=OD=OE=r\)，\(BO=5r\)。因为\(OE\perpBC\)，\(\angleC=90^{\circ}\)，所以\(OE\parallelAC\)，则\(\triangleBOE\sim\triangleBAC\)。所以\(\frac{OE}{AC}=\frac{BO}{BA}\)，即\(\frac{r}{3}=\frac{5r}{5}\)，\(5r=3(5r)\)，\(5r=153r\)，\(5r+3r=15\)，\(8r=15\)，解得\(r=\frac{15}{8}\)。（2）因为\(AD\)是\(\odotO\)的直径，所以\(\angleAED=90^{\circ}\)，则\(\angleBDE+\angleADE=90^{\circ}\)。又因为\(\angleA+\angleADE=90^{\circ}\)，所以\(\angleBDE=\angleA\)。在\(Rt\triangleABC\)中，\(\cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}\)，所以\(\cos\angleBDE=\frac{3}{5}\)。20.（本题14分）如图，二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）的图象与\(x\)轴交于\(A(1,0)\)，\(B(3,0)\)两点，与\(y\)轴交于点\(C(0,3)\)。（1）求二次函数的解析式；（2）点\(P\)是直线\(BC\)上方抛物线上一动点，当\(\trianglePBC\)的面积最大时，求点\(P\)的坐标。解：（1）设二次函数的解析式为\(y=a(x+1)(x3)\)，把\(C(0,3)\)代入得：\(3=a(0+1)(03)\)，\(3=3a\)，解得\(a=1\)。所以二次函数的解析式为\(y=(x+1)(x3)=x^{2}+2x+3\)。（2）设直线\(BC\)的解析式为\(y=kx+m\)，把\(B(3,0)\)，\(C(0,3)\)代入得：\(\begin{cases}3k+m=0\\m=3\end{cases}\)，把\(m=3\)代入\(3k+m=0\)得\(3k+3=0\)，解得\(k=1\)。所以直线\(BC\)的解析式为\(y=x+3\)。过点\(P\)作\(PD\parallely\)轴交\(BC\)于点\(D\)，设\(P(x,x^{2}+2x+3)\)，则\(D(x,x+3)\)。所以\(PD=(x^{2}+2x+3)(x+3)=x^{2}+3x\)。\({S}_{\trianglePBC}={S}_{\trianglePDC}+{S}_{\trianglePDB}=\frac{1}{2}PD\timesOB=\frac{1}{2}(x^{2}+3x)\times3=\frac{3}{2}(x^{2}3x)=\frac{3}{2}(x\frac{3}{2})^{2}+\frac{27}{8}\)。因为\(\frac{3}{2}\lt0\)，所以当\(x=\frac{3}{2}\)时，\(\trianglePBC\)的面积最大。把\(x=\frac{3}{2}\)代入\(y=x^{2}+2x+3\)得\(y=(\frac{3}{2})^{2}+2\times\frac{3}{2}+3=\frac{9}{4}+3+3=\frac{15}{4}\)。所以当\(\trianglePBC\)的面积最大时，点\(P\)的坐标为\((\frac{3}{2},\frac{15}{4})\)。21.（本题14分）如图，在\(\triangleABC\)中，\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，点\(D\)是\(BC\)边上一点，连接\(AD\)，将\(\triangleABD\)绕点\(A\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(\triangleACE\)。（1）求证：\(DE^{2}=BD^{2}+CD^{2}\)；（2）若\(\angleBAD=30^{\circ}\)，求\(\frac{BD}{CD}\)的值。证明：（1）因为\(\triangleABD\)绕点\(A\)逆时针旋转\(90^{\circ}\)得到\(\triangleACE\)，所以\(BD=CE\)，\(AD=AE\)，\(\angleDAE=90^{\circ}\)。在\(Rt\triangleDAE\)中，根据勾股定理\(DE^{2}=AD^{2}+AE^{2}\)，又因为\(AD=AE\)，所以\(DE^{2}=2AD^{2}\)。\(\angleECA=\angleB\)，因为\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(AB=AC\)，所以\(\angleB=\angleACB=45^{\circ}\)，则\(\angleECD=\angleECA+\angleACB=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}\)。在\(Rt\triangleECD\)中，根据勾股定理\(DE^{2}=CE^{2}+CD^{2}\)，又因为\(BD=CE\)，所以\(DE^{2}=BD^{2}+CD^{2}\)。（2）因为\(\angleBAC=90^{\circ}\)，\(\angleBAD=30^{\circ}\)，所以\(\angleCAD=60^{\circ}\)，\(\angleB=\angleACB=45^{\circ}\)。设\(AB=AC=a\)，在\(Rt\triangleABC\)中，\(BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{2}a\)。在\(\triangleABD\)中，\(\angleB=45^{\circ}\)，\(\angleBAD=30^{\circ}\)，由正弦定理\(\fr