2025~2026学年重庆市西北狼教育联盟高三上学期开学学情诊断数学试卷(附答案)

2025~2026学年重庆市西北狼教育联盟高三上学期开学学情诊断数学试卷(附答案)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)2.函数\(y=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x^23x+4}}\)的定义域为（）A.\((4,1)\)B.\((4,1)\)C.\((1,1)\)D.\((1,1]\)3.已知\(\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\frac{1}{3}\)，则\(\cos(\frac{2\pi}{3}2\alpha)\)的值为（）A.\(\frac{7}{9}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{7}{9}\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,1)\)，若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角，则\(x\)的取值范围是（）A.\((2,+\infty)\)B.\((\frac{1}{2},+\infty)\)C.\((2,\frac{1}{2})\cup(\frac{1}{2},+\infty)\)D.\((\frac{1}{2},2)\cup(2,+\infty)\)5.已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，则\(a_7+a_8+a_9\)的值为（）A.\(216\)B.\(217\)C.\(512\)D.\(513\)6.函数\(f(x)=x^33x^2+1\)的单调递减区间是（）A.\((\infty,0)\)B.\((0,2)\)C.\((2,+\infty)\)D.\((\infty,0)\cup(2,+\infty)\)7.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{3}\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{5}{4}\)D.\(\frac{3}{2}\)8.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x1,x\leqslant1\\1+\log_2x,x\gt1\end{cases}\)，则函数\(f(x)\)的零点为（）A.\(\frac{1}{2},0\)B.\(2,0\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(0\)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.下列说法正确的是（）A.若\(a\gtb\)，则\(ac^2\gtbc^2\)B.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(a+c\gtb+d\)C.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ac\gtbd\)D.若\(a\gtb\gt0\)，\(c\lt0\)，则\(\frac{c}{a}\gt\frac{c}{b}\)10.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2})\)，则下列说法正确的是（）A.函数\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.若函数\(f(x)\)为偶函数，则\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)C.若函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{6},0)\)对称，则\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)D.若函数\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上单调递增，则\(\varphi\)的取值范围是\([\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{6}]\)11.已知抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AF|=4\)，则（）A.\(p=2\)B.\(|BF|=\frac{4}{3}\)C.\(|AB|=\frac{16}{3}\)D.\(O\)为坐标原点，\(\triangleAOB\)的面积为\(\frac{4\sqrt{3}}{3}\)12.已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^22x\)，则下列说法正确的是（）A.当\(x\lt0\)时，\(f(x)=x^22x\)B.函数\(f(x)\)在\((\infty,1)\)上单调递减，在\((1,0)\)上单调递增C.函数\(f(x)\)有三个零点D.若关于\(x\)的方程\(f(x)=m\)有三个不同的实根，则\(1\ltm\lt1\)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知幂函数\(y=f(x)\)的图象过点\((2,\sqrt{2})\)，则\(f(9)=\)______。14.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\)______。15.已知圆\(C:(x1)^2+(y2)^2=25\)，直线\(l:(2m+1)x+(m+1)y7m4=0(m\inR)\)，则直线\(l\)被圆\(C\)截得的弦长的最小值为______。16.已知函数\(f(x)=\frac{x^2+ax+11}{x+1}(a\inR)\)，若对于任意的\(x\inN^+\)，\(f(x)\geqslant3\)恒成立，则\(a\)的取值范围是______。四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知\(\triangleABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a\cosC+c\cosA=2b\cosB\)。（1）求角\(B\)的大小；（2）若\(b=\sqrt{3}\)，求\(a+c\)的取值范围。18.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n2\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\log_2a_n\)，求数列\(\{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。19.（12分）如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(PA=AD=2\)，\(AB=1\)，\(M\)是线段\(PD\)上的一点。（1）若\(M\)为\(PD\)的中点，求证：\(PB\parallel\)平面\(ACM\)；（2）若\(PB\perpCM\)，求三棱锥\(PACM\)的体积。20.（12分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{2}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(O\)为坐标原点，若\(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{1}{2}\)，求证：\(\triangleAOB\)的面积为定值。21.（12分）已知函数\(f(x)=x\lnxax+1(a\inR)\)。（1）讨论函数\(f(x)\)的单调性；（2）若\(f(x)\geqslant0\)恒成立，求实数\(a\)的取值范围。22.（12分）某公司为了推广一种新的产品，制定了两种营销方案。方案一：在某网络平台上进行广告宣传，预计该产品的月销售量\(y_1\)（万件）与月广告费用\(x\)（万元）之间的关系为\(y_1=\frac{4x+3}{x+1}(x\geqslant0)\)；方案二：在某电视台进行广告宣传，预计该产品的月销售量\(y_2\)（万件）与月广告费用\(x\)（万元）之间的关系为\(y_2=4\frac{1}{x+2}(x\geqslant0)\)。已知该产品每件的成本为\(2\)元，销售价为\(4\)元。（1）分别求出两种方案的月利润\(L_1(x)\)，\(L_2(x)\)（万元）与月广告费用\(x\)（万元）的函数关系式；（2）若仅考虑月利润，问该公司应选择哪种营销方案？答案一、选择题1.A由\(x^23x+2=0\)，得\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)，若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)。2.C要使函数\(y=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x^23x+4}}\)有意义，则\(\begin{cases}x+1\gt0\\x^23x+4\gt0\end{cases}\)。由\(x+1\gt0\)得\(x\gt1\)；由\(x^23x+4\gt0\)，即\(x^2+3x4\lt0\)，\((x+4)(x1)\lt0\)，解得\(4\ltx\lt1\)。取交集得\(1\ltx\lt1\)，所以函数的定义域为\((1,1)\)。3.D因为\(\cos(\frac{2\pi}{3}2\alpha)=\cos[\pi2(\frac{\pi}{6}+\alpha)]=\cos[2(\frac{\pi}{6}+\alpha)]\)。根据二倍角公式\(\cos2\theta=12\sin^2\theta\)，这里\(\theta=\frac{\pi}{6}+\alpha\)，已知\(\sin(\frac{\pi}{6}+\alpha)=\frac{1}{3}\)，则\(\cos[2(\frac{\pi}{6}+\alpha)]=12\times(\frac{1}{3})^2=1\frac{2}{9}=\frac{7}{9}\)。所以\(\cos(\frac{2\pi}{3}2\alpha)=\frac{7}{9}\)。4.D因为\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)夹角为锐角，所以\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}\gt0\)且\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)不共线。\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x+2\gt0\)，解得\(x\gt2\)；若\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，则\(1\times12x=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)。所以\(x\)的取值范围是\((\frac{1}{2},2)\cup(2,+\infty)\)。5.A由等比数列的性质可知\(S_3\)，\(S_6S_3\)，\(S_9S_6\)成等比数列。已知\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，则\(S_6S_3=637=56\)。设\(S_9S_6=t\)，则\(7\)，\(56\)，\(t\)成等比数列，所以\(56^2=7t\)，解得\(t=448\)，即\(a_7+a_8+a_9=S_9S_6=448\)，而\(a_7+a_8+a_9\)也可由\((S_6S_3)^2=S_3\times(a_7+a_8+a_9)\)，即\(56^2=7\times(a_7+a_8+a_9)\)，解得\(a_7+a_8+a_9=216\)。6.B对\(f(x)=x^33x^2+1\)求导得\(f^\prime(x)=3x^26x\)。令\(f^\prime(x)\lt0\)，即\(3x^26x\lt0\)，\(3x(x2)\lt0\)，解得\(0\ltx\lt2\)，所以函数\(f(x)\)的单调递减区间是\((0,2)\)。7.A双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{4}{3}x\)，则\(\frac{b}{a}=\frac{4}{3}\)。双曲线的离心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2=a^2+b^2\)，所以\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+(\frac{4}{3})^2}=\frac{5}{3}\)。8.D当\(x\leqslant1\)时，令\(f(x)=2^x1=0\)，则\(2^x=1\)，解得\(x=0\)；当\(x\gt1\)时，令\(f(x)=1+\log_2x=0\)，即\(\log_2x=1\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)，但\(\frac{1}{2}\lt1\)，不满足\(x\gt1\)，舍去。所以函数\(f(x)\)的零点为\(0\)。二、选择题9.BD选项A：当\(c=0\)时，\(ac^2=bc^2\)，所以A错误；选项B：因为\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，根据不等式的性质，\(a+c\gtb+d\)，所以B正确；选项C：当\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)，\(d=2\)时，\(ac=0\)，\(bd=2\)，此时\(ac\ltbd\)，所以C错误；选项D：因为\(a\gtb\gt0\)，所以\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)，又\(c\lt0\)，根据不等式的性质，\(\frac{c}{a}\gt\frac{c}{b}\)，所以D正确。10.ACD选项A：函数\(f(x)=\sin(2x+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，所以A正确；选项B：若\(f(x)\)为偶函数，则\(\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\inZ\)，又\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{2}\)不成立，B错误；选项C：若函数\(f(x)\)的图象关于点\((\frac{\pi}{6},0)\)对称，则\(2\times\frac{\pi}{6}+\varphi=k\pi,k\inZ\)，即\(\varphi=k\pi\frac{\pi}{3},k\inZ\)，因为\(|\varphi|\lt\frac{\pi}{2}\)，所以\(\varphi=\frac{\pi}{3}\)，C正确；选项D：令\(2k\pi\frac{\pi}{2}\leqslant2x+\varphi\leqslant2k\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)，得\(k\pi\frac{\pi}{4}\frac{\varphi}{2}\leqslantx\leqslantk\pi+\frac{\pi}{4}\frac{\varphi}{2},k\inZ\)，当\(k=0\)时，\(\frac{\pi}{4}\frac{\varphi}{2}\leqslantx\leqslant\frac{\pi}{4}\frac{\varphi}{2}\)，因为\(f(x)\)在\([0,\frac{\pi}{6}]\)上单调递增，则\(\begin{cases}\frac{\pi}{4}\frac{\varphi}{2}\leqslant0\\\frac{\pi}{4}\frac{\varphi}{2}\geqslant\frac{\pi}{6}\end{cases}\)，解得\(\frac{\pi}{2}\leqslant\varphi\leqslant\frac{\pi}{6}\)，所以D正确。11.ABCD抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，过点\(F\)且斜率为\(\sqrt{3}\)的直线方程为\(y=\sqrt{3}(x\frac{p}{2})\)。联立\(\begin{cases}y^2=2px\\y=\sqrt{3}(x\frac{p}{2})\end{cases}\)，消去\(y\)得\([\sqrt{3}(x\frac{p}{2})]^2=2px\)，即\(3(x^2px+\frac{p^2}{4})=2px\)，\(3x^25px+\frac{3p^2}{4}=0\)。设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，由抛物线的定义知\(|AF|=x_1+\frac{p}{2}=4\)，又\(x_1\)是方程\(3x^25px+\frac{3p^2}{4}=0\)的根，将\(x_1=4\frac{p}{2}\)代入方程可得\(3(4\frac{p}{2})^25p(4\frac{p}{2})+\frac{3p^2}{4}=0\)，解得\(p=2\)，所以A正确；此时抛物线方程为\(y^2=4x\)，直线方程为\(y=\sqrt{3}(x1)\)，联立\(\begin{cases}y^2=4x\\y=\sqrt{3}(x1)\end{cases}\)，得\(3(x1)^2=4x\)，\(3x^210x+3=0\)，解得\(x_1=3\)，\(x_2=\frac{1}{3}\)，则\(|BF|=x_2+\frac{p}{2}=\frac{1}{3}+1=\frac{4}{3}\)，所以B正确；\(|AB|=|AF|+|BF|=4+\frac{4}{3}=\frac{16}{3}\)，所以C正确；原点\(O\)到直线\(y=\sqrt{3}(x1)\)即\(\sqrt{3}xy\sqrt{3}=0\)的距离\(d=\frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(1)^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)，则\({S}_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}\times|AB|\timesd=\frac{1}{2}\times\frac{16}{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，所以D正确。12.ABCD选项A：当\(x\lt0\)时，\(x\gt0\)，则\(f(x)=(x)^22(x)=x^2+2x\)，因为\(f(x)\)是奇函数，所以\(f(x)=f(x)=x^22x\)，所以A正确；选项B：当\(x\lt0\)时，\(f(x)=x^22x=(x+1)^2+1\)，其图象开口向下，对称轴为\(x=1\)，所以函数\(f(x)\)在\((\infty,1)\)上单调递增，在\((1,0)\)上单调递减，B正确；选项C：因为\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，则\(f(0)=0\)，当\(x\gt0\)时，令\(f(x)=x^22x=0\)，解得\(x=0\)（舍去）或\(x=2\)，当\(x\lt0\)时，令\(f(x)=x^22x=0\)，解得\(x=2\)或\(x=0\)（舍去），所以函数\(f(x)\)有三个零点\(2\)，\(0\)，\(2\)，C正确；选项D：作出\(y=f(x)\)的图象，由图象可知，若关于\(x\)的方程\(f(x)=m\)有三个不同的实根，则\(1\ltm\lt1\)，所以D正确。三、填空题13.3设幂函数\(y=f(x)=x^{\alpha}\)，因为图象过点\((2,\