2026届新高考数学考前热点冲刺复习与球有关的切、接问题

2026届新高考数学考前热点冲刺复习与球有关的切、接问题

【知识链接】与球有关的切、接问题常见考法：一是求空间几何体的外接球，空间几何体可以为多面体，也可以为旋转体，可以求此球的表面积或体积，也可以求空间几何体的相关的量；二是求空间几何体的内切球，空间几何体可以为多面体，也可以为旋转体，若为多面体，多利用等体积法求解，若为旋转体，多利用轴截面求解；三是棱切球，多考查正方体或正四面体的棱切球问题；四是组合体切接问题与含动点切接问题，此时难度一般略有拔高，需针对所给的几何体的特征，合理地选择方法进行破解.

4.圆柱的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线构成的线段的中点处，正棱柱与该棱柱的外接圆柱有相同的外接球.

5.圆锥的外接球的球心在顶点与底面圆的圆心连线所在的直线上，若棱锥的顶点在底面外接圆的圆心的垂线上，则该棱锥的外接球的球心在顶点与底面外接圆的圆心连线所在的直线上.

6.圆台的外接球的球心在上、下底面圆的圆心连线所在的直线上，正棱台的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心连线所在的直线上.

√类型一

外接球

2

[总结反思]求解多面体的外接球的主要方法：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体、正方体、圆柱等几何体，借助这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.

√

（2）已知正三棱锥的底面边长和侧棱长均为4，若将此棱锥放在一球形容器内可任意转动，则该球形容器的表面积的最小值为_____.

√类型二

内切球

√

√

√类型三

棱切球

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[总结反思]1.如果一个球与一个多面体的所有棱都相切,那么这个球就被称为多面体的棱切球.例如,在正方体中,棱切球的直径等于正方体的面对角线长,且球的一部分位于正方体外部,与正方体的每个面都有接触点.2.解决棱切球问题的基本步骤:找切点、找球心,构造直角三角形解决问题.对于正四面体的棱切球，常补成正方体进行破解.

√

类型四

组合体切接问题

[总结反思]解决组合体与球相切或外接问题，常常需要截面来剖析几个几何体之间的相互关系，然后将空间问题转化为平面问题来解决.注意对于多面体的内切球问题，常利用等体积法进行求解.则该组合体的表面积为_____；该组合体的外接球的体积与两正交四面体公共部分的内切球的体积的比值为____.变式题

清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的全等正四面体组合而成（每一个四面体的各个面都过另一个四面体的三条共点的棱的中点）.如图，若正四面体的棱长为2，

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√类型五

含动点切接问题（最值问题）

[总结反思]与球有关的切、接问题中的最值问题是立体几何的一个重点、难点，常见的求解方法主要有以下三种：（1）转化为函数最值问题.通过引入长度参数或角度参数,建立关于这些参变量的函数关系,进而转化为函数的最值问题来解决.（2）转化为平面几何问题.根据题目的特征,寻找或确定一个数量关系比较集中的平面,将题目中的其他条件逐步向该平面转移,然后利用平面几何方法或三角函数来解决.（3）利用基本不等式求解.可通过引入多个变量建立数学模型,然后利用基本不等式求其最值.

A.36

B.42

C.48

D.24

√

√【备选理由】例1考查三棱锥的外接球，可将三棱锥放入正方体中建立空间直角坐标系，由局部联想到全部，拓展学生的视野;

√√√【备选理由】例2考查圆台的内切球，是对其他几何体内切球的补充；

例3

［配例2使用］[2025·河南名校联考]

（1）某工厂有一种水晶球需用礼盒包装，为节省费用，设计的礼盒需刚好卡住球.现有两种设计方案，一种是正方体礼盒（如图①），另一种是圆柱形礼盒（如图②），在不计损耗的情况下圆柱形礼盒单位面积的造价是正方体礼盒的1.6倍，问：工厂选择哪一种礼盒更经济实惠？【备选理由】例3考查与内切球有关的问题；

（ⅰ）若用十字捆扎法（如图③），且长方体各面上的每一段彩带都与所在底面的相应边平行，求所需彩带的总长度（不考虑接口处的彩带长度）；

√【备选理由】例4考查棱切球，