2027届新高考数学热点精准复习 计数原理、排列与组合

2027届新高考数学热点精准复习计数原理、排列与组合1.两个计数原理(1)分类加法计数原理:完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

(2)分步乘法计数原理:完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=

种不同的方法.

2.排列与组合的概念

名称定义排列一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照

排成一列

组合作为一组m+nm×n一定的顺序

3.排列数与组合数

名称排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N*)个元素的所有不同排列的个数,用符号

表示

从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N*)个元素的所有不同组合的个数,用符号

表示

名称排列数组合数

公式

乘积式常用于计算,阶乘式常用于化简或证明性质

n!1

[自主诊断]1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.(

)(2)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(

)(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.(

)(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.(

)×解析

在分类加法计数原理中,方法不能重复.×解析

在分步乘法计数原理中,每个步骤无法单独完成一件事,各步缺一不可.×解析

元素相同但顺序不同的排列是不同的排列.√2.(人A选三教材习题改编)如图,从甲地到乙地有3条路,从乙地到丁地有2条路;从甲地到丙地有3条路,从丙地到丁地有4条路.从甲地到丁地的不同路线共有(

)A.12条

B.15条 C.18条

D.72条

C解析

若路线为甲乙丁,则有3×2=6(条),若路线为甲丙丁,则有3×4=12(条),故共有6+12=18(条).故选C.3.(2023·全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(

)A.30种

B.60种 C.120种

D.240种C

4.(人A选三教材习题改编)五名学生报名参加四项体育比赛,每人限报一项,则不同的报名方法的种数为

.五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列),则获得冠军的可能情况有

种.

45

54解析

五名学生参加四项体育比赛,每人限报一项,每个学生有4种报名方法,共有45种不同的报名方法.五名学生争夺四项比赛的冠军,每个冠军有5种可能情况,共有54种获得冠军的可能情况.考点一两个计数原理例1

(1)(2025·山东淄博三模)将编号为1,2,3的小球放入编号为1,2,3,4的小盒中,每个小盒至多放一个小球,要求恰有1个小球与所在盒子编号相同,则所有放法的种数为(

)A.7 B.9 C.11 D.13B解析

根据题意,先确定一个编号相同的盒子,有3种,假设选的是1号,剩下的两个小球都没有放到对应的盒子有2→3,3→2;2→3,3→4;2→4,3→2,共3种情况,所以共有3×3=9(种)不同的放法.故选B.(2)(2024·新高考Ⅱ,14)在下图的4×4方格表中选4个方格,要求每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有

种选法,在所有符合上述要求的选法中,选中方格的4个数之和的最大值是

.

1121314012223342132233431524344424112解析

因为每行和每列均恰有一个方格被选中,则共有4×3×2×1=24种选法.4个数之和最大的选法为最后一列选43,逐列递选,最大值为43+33+21+15=112.规律方法

利用两个计数原理解决应用问题的一般思路

[对点训练1](1)(2025·江苏泰州模拟)如图,某社区为墙面A,B,C,D四个区域进行涂色装饰,每个区域涂1种颜色,相邻区域(有公共边)不能用同一种颜色,若只有4种颜色可供使用,则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有(

)ABCDA.12种

B.24种

C.48种

D.84种C

(2)(2023·新高考Ⅰ,13)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有

种.(用数字作答)

64

考点二排列问题例2

有3名男生、4名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法总数.(1)选其中5人排成一排;(2)排成前后两排,前排3人,后排4人;(3)全体排成一排,女生必须站在一起;(4)全体排成一排,男生互不相邻;(5)全体排成一排,其中甲不站在排头,也不站在排尾.

规律方法

求解排列问题的四种常用方法

[对点训练2](2023·全国甲,理9)现有5名志愿者报名参加公益活动,在某一星期的星期六、星期日两天,每天从这5人中安排2人参加公益活动,则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(

)A.120种 B.60种

C.30种

D.20种B

考点三组合问题

D

(2)(多选题)从6名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛,则下列说法正确的有(

)A.如果4人全部为男生,那么有30种不同的选法B.如果4人中男生、女生各有2人,那么有30种不同的选法C.如果男生中的甲和女生中的乙必须在内,那么有28种不同的选法D.如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内,那么有140种不同的选法CD

规律方法

两类组合问题的解题方法

[对点训练3](1)为改善农村缺医少药的状况,某医院组织下乡送医送药活动.现从相关科室的6名医生和4名护士选出4名组成一个医疗队,且主任医生甲和护士长乙必须在内,则不同的组队方案有(

)A.25种

B.28种 C.32种

D.36种B

(2)(2025江苏连云港模拟)如图,在一个4×4的区域内(每个交叉点可视为一个通信节点位置),有16个潜在的通信节点位置,为了建立一个稳定的通信网络,需要选择3个节点,且这3个节点不能在同一条直线上(否则会存在信号干扰或覆盖缺陷),则不同的节点选择方案数量为(

)A.576 B.528

C.520

D.516D

考点四排列与组合的综合问题考向1

相邻、不相邻问题例4

(1)(2022·新高考Ⅱ,5)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有(

)A.12种

B.24种 C.36种

D.48种B

(2)[一题多变]某次志愿者活动需分配4名大学生(A,B,C,D)和2名老师(甲、乙)排成一列合影.要求大学生A与B必须相邻,两名老师不能相邻,则满足条件的排列方式共有

种.

144

AI变式[变式1](改变条件)本例(2)中增加条件“甲在乙的前面”,其余条件不变,则满足条件的排列方式共有

种.

72

[变式2](改变条件)本例(2)中的条件“大学生A与B必须相邻”变为“大学生A不能排在最后”,其余条件不变,则满足条件的排列方式共有

种.

408

[变式3](改变条件)本例(2)中的条件变为“两名老师甲、乙相邻,且大学生A不能排在最前面、B不能排在最后面”,则满足条件的排列方式共有

种.

156

规律方法

1.相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.2.捆绑法的解题步骤3.插空法的解题步骤

考向2

分组、分配问题例5

(2025·广东深圳模拟)某高校的教授为了完成一个课题,将4名研究生助理分配到3个实验室进行为期一周的实验来共同协助该教授完成该课题,要求每名研究生助理只去1个实验室进行实验,且每个实验室至少安排1名研