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文档简介

第八章向量的数量积与三角恒等变换8.1.1向量数量积的概念《人教B版2019高中数学必修第三册》知识点一、向量的夹角1.定义

2.核心性质二、向量数量积（内积）的定义

1.物理背景

2.数学定义

3.关键特征

4.符号判定（非零向量）三、向量数量积的核心性质（非零向量a,b）四、向量的投影与数量积的几何意义

1.投影向量

2.投影的数量

3.几何意义探究新知我们在物理课中学过，力与在力的方向上移动的距离的乘积称为力对物体所做的功．如图8-1-1所示，如果作用在小车上的力F的大小为|F|N，小车在水平面上位移s的大小为|s|m，力的方向与小车位移的方向所成夹角为θ，那么这个力所做的功为（1）显然，功W与力向量F及位移向量s有关，这三者之间有什么关系？（2）给定任意两个向量a,b，能确定出一个类似的标量吗？如果能，请指出确定的方法；如果不能，说明理由.探究新知情境与问题中的功W由向量F和s的大小以及这两个向量方向的差异确定.一般地，给定任意两个向量a,b，能确定出一个类似的标量，这也就是本小节我们要学习的向量的数量积.

探究新知

探究新知

探究新知

探究新知

另外，我们还能得到数量积的如下性质.a与b垂直的充要条件是它们的数量积为0，即探究新知

由例1(2）可以看出，如果a,b都是非零向量，则

探究新知

探究新知如图8-1-6(1)(2)(3）所示．尝试与发现

探究新知尝试与发现

一般地，如果a,b都是非零向量，则称｜a|cos<a,b＞为向量a在向量b上的投影的数量.投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.因为a·b=|a||b|cos〈a,b)=(|a|cos〈a,b〉)|b|所以两个非零向量a,b的数量积a⋅b，等于a在向量b上的投影的数量与b的模的乘积.这就是两个向量数量积的几何意义.特别地，当e为单位向量时，因为|e|=1，所以a·e=|a|cos〈a,e〉,即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量e上的投影的数量.探究新知尝试与发现例2

如图8-1-7所示，已知a为单位向量，求出以下向量的数量积.(1)b·a；(2)c·a;(3)d·a.

小结

小结

小结

四、易错点数量积是实数，区别于数乘向量（结果为向量）；a·b=0，不能推出a=0或b=0，可能仅两向量垂直；向量夹角必须起点重合，范围严格为[0,π]，不可取超出范围的角。小结

练习A①根据以下条件，分别求a·b.

(1)|a|=8,|b|=4,<a,b>=60o(2)|a|=7,|b|=12,<a,b>=120o

练习A②根据以下条件，分别求〈a,b〉(1)a‧b=5,|a||b|=10; (2)a‧b=-8,|a||b|=16;

练习A

练习A

练习A⑤

已知|a|=3,|b|=5，且<a,b>=45∘，求a在b上的投影的

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