祖暅原理与几何体的体积高一下学期数学人教B版必修第四册

祖暅原理与几何体的体积TheuseofZugengPrincipleonGeometricVolume考点分析年份卷别题号分值核心考点2025新高考Ⅰ卷1812正余弦定理综合、边角互化、三角形面积计算2025新高考Ⅱ卷1712正余弦定理联用、三角形周长最值求解2025全国甲卷1712余弦定理、三角恒等变换、解三角形求值2025全国乙卷16、185、12正弦定理边角转化、几何体结合解三角、角度与面积计算背景CULTURALBACKGROUND《九章算术》刘徽(约225年-约295年)，魏晋期间伟大的数学家。代表著作：《九章算术注》和《海岛算经》刘徽在发现《九章算术》中球体体积公式错误的基础上，构造了“牟合方盖”，正确指出了解决该问题的思路。刘徽背景CULTURALBACKGROUND祖冲之(429年-500年)，南北朝时期杰出的数学家、天文学家。首次将"圆周率"精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间。祖暅之(456~536)，南朝齐梁间数学家，一作祖暅(gèng)，字景烁，祖冲之的儿子。祖冲之背景CULTURALBACKGROUND祖暅之祖暅原理——"幂势即同，则积不容异"ZugengPrinciple

夹在两平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅原理ZugengPrincipleABCD祖暅原理与柱体体积祖暅原理与锥体体积祖暅原理与球体体积祖暅原理与台体体积祖暅原理与柱体体积

设有底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面在同一平面内。若已知长方体体积为15，则棱柱和圆柱体积为？祖暅原理与柱体体积(1)结论：等底面积、等高的两个柱体，体积相等.(2)体积：如果柱体的底面积为S，高为h，则柱体的体积计算公式为V柱体＝Sh.祖暅原理ZugengPrincipleABCD祖暅原理与柱体体积祖暅原理与锥体体积祖暅原理与球体体积祖暅原理与台体体积祖暅原理与锥体体积

设有底面积都等于S，高都等于h的两个锥体（例如一个棱锥和一个圆锥），使它们的下底面在同一平面内。你能得到什么结论？等底面积等高的两个锥体体积相等.探究锥体体积

132探究锥体体积

其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.祖暅原理与柱体体积思考：1.长方体和锥体的体积公式是什么呢？2.这个棱锥的体积如何求？谁是底，谁是高？3.为什么它是底，它是高？教材P83例1如图所示，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，求棱锥D'-A'CD的体积与长方体的体积比.因此所求体积之比为1:6.解：已知的长方体可以看成直四棱柱ADD'A'-BCC'B',设它的底面积ADD'A'面积为S，高为h,则长方体的体积为VADD'A'-BCC'B'=Sh因为棱锥D'-A'CD可以看成棱锥C-A'DD',且ΔA'DD'的面积为，棱锥C-A'DD'的高是h,所以VD'-A'CD=VC-A'DD'=补充练习：1.圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，则圆锥的体积是（）A教材P87练习B3《九章算术》中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何.”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少.”已知一斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率为3，估算出堆放的米约有（）A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛B祖暅原理ZugengPrincipleABCD祖暅原理与柱体体积祖暅原理与锥体体积祖暅原理与球体体积祖暅原理与台体体积问题：我们学过柱体和锥体的体积公式，那么台体的体积可以通过我们已知的知识得到吗？台体的体积棱台与圆台统称为台体.例2：已知四棱台上、下底面面积分别为S1,S2，而且高为h，求这个棱台的体积。问题：柱体、锥体、台体它们的体积公式之间有怎样的联系呢？其中S表示台体下底面积，S'表示台体上底面积。空间几何体体积常用方法：（1）公式法（2）等积法（3）割补法祖暅原理ZugengPrincipleABCD祖暅原理与柱体体积祖暅原理与锥体体积祖暅原理与球体体积祖暅原理与台体体积祖暅原理与球体体积

祖暅原理与球体体积祖暅原理与球体体积其中R为球体半径.祖暅原理与球体体积例3.如图，某铁制零件由一个正四棱柱和一个球组成，已知正四棱柱底面边长与球的直径均为1cm，正四棱柱的高为2cm，现有这种零件一盒共50kg，取铁的密度为7.8g/cm3，（1）估计有多少个这样的零件；（2）如果要给这盒零件的每个零件表面涂上一种特殊的材料，则需要能涂多少平方厘米的材料（球与接口处的面积不计，结果精确到1cm2）？例3解:(1)每个零件的体积为因此每个零件的质量为因此可估计出零件的个数为(2)每个零件的表面积为因此零件的表面积之和约为即需要能涂33389cm2的材料组合体教材P87练习题B

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已知一个正三棱锥的四个顶点都在一个球的球面上，而且这个正三棱锥的所有棱长都为2，求这个球的体积课堂小结柱体、锥体、台体和球的体积公式其中S′、S分别表示上、下底面的面积，h表示高，r′和r分别表示上、下底