数学竞赛辅导：数列极限与不等式应用试题

数学竞赛辅导：数列极限与不等式应用试题考试时长：120分钟满分：100分班级：__________姓名：__________学号：__________得分：__________一、单选题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则数列的极限为（）A.2B.3C.∞D.-12.数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），且b_1=1，则b_3的值为（）A.2B.3C.4D.53.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，则数列的极限为（）A.0B.1C.2D.-14.不等式|a_n-b_n|<ε对任意n∈N恒成立，则称数列{a_n}与{b_n}的极限存在且相等，若a_n=1/n，b_n=1/(n+1)，则（）A.{a_n}与{b_n}极限存在且相等B.{a_n}极限存在，{b_n}极限不存在C.{a_n}极限不存在，{b_n}极限存在D.{a_n}与{b_n}极限均不存在5.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n^2+d_n，则数列的极限为（）A.0B.1C.2D.∞6.不等式(1+x)^n≥1+nx(n∈N,x>0)成立的条件是（）A.x>0B.x≥0C.x>1D.x≥17.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+1/n，则e_3的值为（）A.1.5B.2C.2.5D.38.不等式1/n^2+1/(n(n+1))>1/(n(n+1)+1)对任意n∈N恒成立，则（）A.n=1时成立B.n=2时成立C.n≥3时成立D.n≥2时成立9.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+1/(n+1)，则f_4的值为（）A.2B.2.5C.3D.3.510.不等式(1+1/x)^x≥e对任意x>0恒成立，则（）A.x=1时成立B.x>1时成立C.0<x<1时成立D.x>0时成立二、填空题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/n，则a_5的值为______。2.若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），b_1=1，则b_4的值为______。3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，则数列的极限为______。4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n^2+d_n，则数列的极限为______。5.不等式(1+x)^n≥1+nx(n∈N,x>0)成立的条件是______。6.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+1/n，则e_6的值为______。7.不等式1/n^2+1/(n(n+1))>1/(n(n+1)+1)对任意n∈N恒成立，则n的最小值为______。8.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+1/(n+1)，则f_7的值为______。9.不等式(1+1/x)^x≥e对任意x>0恒成立，则x的取值范围是______。10.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+1/(n(n+1))，则g_4的值为______。三、判断题（总共10题，每题2分，总分20分）1.若数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则数列的极限为3。（）2.数列{b_n}的前n项和为S_n，若b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），且b_1=1，则数列是等差数列。（）3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，则数列是单调递减的。（）4.若数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n^2+d_n，则数列的极限为∞。（）5.不等式(1+x)^n≥1+nx(n∈N,x>0)对任意x>0恒成立。（）6.若数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+1/n，则数列是等差数列。（）7.不等式1/n^2+1/(n(n+1))>1/(n(n+1)+1)对任意n∈N恒成立。（）8.若数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+1/(n+1)，则数列是等差数列。（）9.不等式(1+1/x)^x≥e对任意x>0恒成立。（）10.若数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+1/(n(n+1))，则数列是等差数列。（）四、简答题（总共4题，每题4分，总分16分）1.求数列{a_n}的通项公式，其中a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1。（解答应给出通项公式及推导过程）2.若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），b_1=1，证明数列是等差数列。（证明过程需详细）3.求数列{c_n}的极限，其中c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)。（解答应给出极限值及证明过程）4.证明不等式(1+x)^n≥1+nx(n∈N,x>0)对任意x>0恒成立。（证明过程需详细）五、应用题（总共4题，每题6分，总分24分）1.已知数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，求数列的前n项和S_n。（解答应给出S_n的表达式及推导过程）2.若数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），b_1=1，求数列的第5项b_5。（解答应给出b_5的值及推导过程）3.若数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，求数列的第4项c_4。（解答应给出c_4的值及推导过程）4.已知不等式1/n^2+1/(n(n+1))>1/(n(n+1)+1)对任意n∈N恒成立，证明n=1时该不等式成立。（证明过程需详细）【标准答案及解析】一、单选题1.B解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_2=3，a_3=7，a_4=15，a_5=31，观察发现a_n=2^n-1，故极限为3。2.A解析：b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），则b_n=n，b_1=1，故b_3=3。3.B解析：数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，则c_2=2/3，c_3=2/5，c_4=2/7，观察发现数列单调递减且趋近于1，故极限为1。4.A解析：a_n=1/n，b_n=1/(n+1)，则|a_n-b_n|=|1/n-1/(n+1)|=1/(n(n+1))，当n→∞时，1/(n(n+1))→0，故极限存在且相等。5.D解析：数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n^2+d_n，则d_2=2，d_3=5，d_4=26，观察发现数列增长迅速，故极限为∞。6.D解析：由二项式定理可知(1+x)^n≥1+nx，当且仅当x≥1时等号成立，故条件是x≥1。7.C解析：数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+1/n，则e_2=1.5，e_3=2.5，e_4=3.5，故e_3=2.5。8.D解析：1/n^2+1/(n(n+1))=1/n^2+1/(n^2+n)=1/(n^2)+1/(n^2+n)，1/(n(n+1)+1)=1/(n^2+n+1)，当n≥2时，1/(n^2)+1/(n^2+n)>1/(n^2+n+1)，故n≥2时成立。9.D解析：数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+1/(n+1)，则f_2=1.5，f_3=2.5，f_4=3.5，f_5=4.5，故f_4=3.5。10.B解析：由极限性质可知(1+1/x)^x→e当x→1，且当x>1时，(1+1/x)^x>e，故x>1时成立。二、填空题1.15解析：a_1=1，a_{n+1}=a_n+1/n，则a_2=2，a_3=3，a_4=5，a_5=6，故a_5=15。2.4解析：b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），b_1=1，则b_2=2，b_3=3，b_4=4，故b_4=4。3.1解析：数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，则c_2=2/3，c_3=2/5，c_4=2/7，观察发现数列单调递减且趋近于1，故极限为1。4.∞解析：数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n^2+d_n，则d_2=2，d_3=5，d_4=26，观察发现数列增长迅速，故极限为∞。5.x≥1解析：由二项式定理可知(1+x)^n≥1+nx，当且仅当x≥1时等号成立，故条件是x≥1。6.3.5解析：数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+1/n，则e_2=1.5，e_3=2.5，e_4=3.5，e_5=4.5，e_6=5.5，故e_6=3.5。7.2解析：1/n^2+1/(n(n+1))>1/(n(n+1)+1)，当n=2时，1/4+1/6>1/8，故n的最小值为2。8.4.5解析：数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+1/(n+1)，则f_2=1.5，f_3=2.5，f_4=3.5，f_5=4.5，f_6=5.5，f_7=6.5，故f_7=4.5。9.x>1解析：由极限性质可知(1+1/x)^x→e当x→1，且当x>1时，(1+1/x)^x>e，故x>1时成立。10.1.25解析：数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+1/(n(n+1))，则g_2=1.5，g_3=1.8333，g_4=1.25，故g_4=1.25。三、判断题1.√解析：数列{a_n}满足a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_n=2^n-1，故极限为3。2.√解析：b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），则b_n=n，故数列是等差数列。3.×解析：数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，则c_2=2/3，c_3=2/5，c_4=2/7，观察发现数列单调递减但非严格单调。4.√解析：数列{d_n}满足d_1=1，d_{n+1}=d_n^2+d_n，则d_n迅速增长，故极限为∞。5.√解析：由二项式定理可知(1+x)^n≥1+nx，当且仅当x≥1时等号成立，故对任意x>0恒成立。6.√解析：数列{e_n}满足e_1=1，e_{n+1}=e_n+1/n，则数列是等差数列。7.√解析：1/n^2+1/(n(n+1))>1/(n(n+1)+1)，当n∈N时恒成立。8.√解析：数列{f_n}满足f_1=1，f_{n+1}=f_n+1/(n+1)，则数列是等差数列。9.√解析：由极限性质可知(1+1/x)^x→e当x→1，且当x>1时，(1+1/x)^x>e，故x>1时成立。10.√解析：数列{g_n}满足g_1=1，g_{n+1}=g_n+1/(n(n+1))，则数列是等差数列。四、简答题1.解：a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_{n+1}+1=2(a_n+1)，令b_n=a_n+1，则b_n=2b_{n-1}，b_n=2^n，故a_n=2^n-1。2.证明：b_n=S_n/(S_n-S_{n-1})（n≥2），则b_n=n，故数列是等差数列。3.解：数列{c_n}满足c_1=2，c_{n+1}=c_n/(1+c_n)，两边取倒数得1/c_{n+1}=(1+c_n)/c_n=1/c_n+1，令d_n=1/c_n，则d_{n+1}=d_n+1，d_n=n+1，故c_n=1/(n+1)。4.证明：由二项式定理可知(1+x)^n≥1+nx，当且仅当x≥1时等号成立，故对任意x>0恒成立。五、应用题1.解：a_1=1，a_{n+1}=2a_n+1，则a_n=2^n-1，S_n=1+3+7+...+(2^n-1)，S_n=(2^n-1)-1=2^n-2。2.解：b_n=S_n