(2025年)测量平差第二章习题与答案

(2025年)测量平差第二章习题与答案习题1：某测量小组对同一角度进行了10次等精度观测，得到的观测误差（单位：″）分别为：+2.1，-1.8，+1.5，-2.3，+0.9，-1.2，+1.7，-0.5，+2.0，-1.6。试分析该组误差是否符合偶然误差的特性，并说明理由。答案1：偶然误差具有以下四个特性：（1）在一定观测条件下，误差的绝对值不超过一定限值；（2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大；（3）绝对值相等的正误差与负误差出现的概率大致相等；（4）当观测次数无限增多时，误差的算术平均值趋近于零。分析该组误差：（1）误差绝对值最大为2.3″，未出现异常大的误差，符合限值特性；（2）统计各误差绝对值区间出现次数：0~1″有2次（-0.5，+0.9），1~2″有6次（-1.8，+1.5，-1.2，+1.7，-1.6，+1.5），2~3″有2次（+2.1，-2.3，+2.0），呈现小误差多、大误差少的趋势；（3）正误差为+2.1，+1.5，+0.9，+1.7，+2.0，共5次；负误差为-1.8，-2.3，-1.2，-0.5，-1.6，共5次，正负误差次数相等，符合对称性；（4）计算误差平均值：(2.1-1.8+1.5-2.3+0.9-1.2+1.7-0.5+2.0-1.6)/10=0.8/10=+0.08″，趋近于零（因观测次数有限，未完全抵消）。综上，该组误差符合偶然误差特性。习题2：对某段距离进行5次等精度观测，观测值（单位：m）为：246.535，246.542，246.538，246.545，246.533。试计算：（1）观测值的中误差；（2）算术平均值的中误差；（3）算术平均值的相对中误差。答案2：（1）算术平均值L=(246.535+246.542+246.538+246.545+246.533)/5=246.5386m。各观测值改正数v_i=观测值平均值：v1=-0.0036m，v2=+0.0034m，v3=-0.0006m，v4=+0.0064m，v5=-0.0056m。改正数平方和Σv_i²=0.00001296+0.00001156+0.00000036+0.00004096+0.00003136=0.0001072m²。观测值中误差m=±√(Σv_i²/(n-1))=±√(0.0001072/4)≈±0.0052m（即±5.2mm）。（2）算术平均值的中误差m_L=m/√n=0.0052/√5≈±0.0023m（即±2.3mm）。（3）相对中误差为m_L/L=0.0023/246.5386≈1/107190。习题3：某测距仪测量一段距离，观测值为856.423m，已知该测距仪的标称精度为±(3mm+2×10⁻⁶D)，其中D为测距长度（单位：m）。试计算：（1）该次测量的中误差；（2）相对中误差；（3）在95%置信概率下（取2倍中误差）的极限误差。答案3：（1）中误差由固定误差和比例误差组成，m=±√(a²+(b×D)²)，其中a=0.003m，b=2×10⁻⁶，D=856.423m。比例误差部分：b×D=2×10⁻⁶×856.423≈0.0017128m。中误差m=±√(0.003²+0.0017128²)≈±0.00345m（即±3.45mm）。（2）相对中误差K=m/D≈0.00345/856.423≈1/248000。（3）95%置信概率下的极限误差Δ限=2m≈±0.0069m（即±6.9mm）。习题4：在三角形ABC中，测得边长AB=125.64m（中误差m_AB=±0.02m），AC=186.35m（中误差m_AC=±0.03m），夹角∠BAC=65°20′（中误差m_β=±15″）。试求三角形面积S的中误差m_S（提示：三角形面积公式S=1/2×AB×AC×sinβ）。答案4：面积函数式S=(1/2)l₁l₂sinβ，其中l₁=AB，l₂=AC，β为夹角（弧度）。根据协方差传播律，m_S²=(∂S/∂l₁)²m₁²+(∂S/∂l₂)²m₂²+(∂S/∂β)²m_β²。计算偏导数：∂S/∂l₁=(1/2)l₂sinβ≈84.68m²/m（sin65°20′≈0.9085）；∂S/∂l₂=(1/2)l₁sinβ≈57.14m²/m；∂S/∂β=(1/2)l₁l₂cosβ（β以弧度为单位，15″=7.272×10⁻⁵rad），cos65°20′≈0.4175，故∂S/∂β≈4885.5m²/rad。代入计算：m_S²=(84.68²×0.02²)+(57.14²×0.03²)+(4885.5²×(7.272×10⁻⁵)²)≈5.9337m⁴，m_S≈±2.44m²。习题5：有三组水准测量观测，第一组观测了3个测站，高差中误差为±1.5mm；第二组观测了6个测站，高差中误差为±2.1mm；第三组观测了9个测站，高差中误差为±2.7mm。假设单位权中误差取为±3.0mm，试计算各组观测的权及权倒数。答案5：权的定义为p_i=(σ₀²)/(σ_i²)，其中σ₀=3.0mm。第一组：p₁=9/2.25=4，权倒数1/4=0.25；第二组：p₂=9/4.41≈2.04，权倒数≈0.49；第三组：p₃=9/7.29≈1.23，权倒数≈0.81。习题6：某闭合水准路线总长为12km，共设24个测站，已知每公里高差中误差为±2.0mm，每测站高差中误差为±1.0mm。试计算：（1）该路线闭合差的中误差；（2