(2025年)王燕应用时间序列分析课后习题答案

(2025年)王燕应用时间序列分析课后习题答案考虑以下问题：1.对某地区2000Q1-2020Q4的季度GDP序列（记为{y_t}）进行平稳性检验，要求给出ADF检验的具体步骤及结论；2.已知某股票日收益率序列的样本自相关函数（ACF）和偏自相关函数（PACF）如下：ACF在滞后1阶为0.45，2阶为0.12，3阶及以上绝对值均小于0.05；PACF在滞后1阶为0.45，2阶为0.38，3阶为0.10，4阶及以上绝对值均小于0.05。试判断该序列适合的ARMA模型类型及阶数；3.假设已识别某序列服从ARIMA(1,1,1)模型，且通过极大似然估计得到参数φ₁=0.6，θ₁=0.3（均显著），残差方差σ²=0.02，试写出该模型的具体形式，并计算其一步向前预测公式；4.对某月度销售额序列（n=120）进行模型诊断，得到残差的Ljung-Box统计量Q(12)=18.5（自由度12），试判断残差是否为白噪声（α=0.05）；5.某季度气温序列存在显著季节效应（周期s=4），其样本季节自相关函数（SACF）在滞后4阶为0.72，8阶为0.55，12阶为0.38，其余季节滞后项绝对值小于0.05；非季节ACF在滞后1阶为0.25，2阶为0.10，其余非季节滞后项绝对值小于0.05。试判断其适合的季节ARIMA模型类型。问题1解答平稳性检验采用ADF（AugmentedDickey-Fuller）检验，核心是检验序列是否存在单位根。具体步骤如下：（1）确定检验形式：由于GDP序列通常包含趋势项，选择带常数项和时间趋势的ADF回归模型：Δy_t=α+βt+δy_{t-1}+Σ_{i=1}^pγ_iΔy_{t-i}+ε_t，其中Δ为一阶差分算子，p为滞后阶数（通过AIC或BIC准则确定，此处假设p=2）。（2）原假设H₀：δ=0（存在单位根，序列非平稳）；备择假设H₁：δ<0（不存在单位根，序列平稳）。（3）估计回归方程，计算t统计量：t_δ=(δ̂0)/se(δ̂)。（4）比较t统计量与MacKinnon临界值：假设实际计算得t_δ=-3.2，1%临界值为-3.43（n=80时），5%临界值为-2.86，10%临界值为-2.57。由于-3.2<-2.86（5%临界值），拒绝H₀，认为序列在5%显著性水平下平稳。问题2解答模型识别依据ACF和PACF的截尾性：ACF在滞后1阶（k=1）为0.45（显著），2阶降至0.12（接近0），3阶及以上绝对值小于0.05（可视为不显著），故ACF在1阶后截尾。PACF在滞后1阶（k=1）为0.45（显著），2阶为0.38（仍显著），3阶降至0.10（接近0），4阶及以上不显著，故PACF在2阶后截尾。根据ARMA模型识别规则：若ACF在q阶截尾、PACF拖尾，则为MA(q)；若PACF在p阶截尾、ACF拖尾，则为AR(p)；若两者均拖尾，则为ARMA(p,q)。此处ACF截尾于1阶（q=1），PACF截尾于2阶（p=2），但需注意当p和q均较小（如p≤2，q≤2）时，可能存在ARMA(p,q)模型。进一步观察：ACF在1阶后迅速衰减，PACF在2阶后衰减，结合实际数据特征（股票收益率常表现为短记忆性），更合理的模型为ARMA(2,1)。验证：ARMA(2,1)的理论ACF应拖尾，PACF也拖尾，与样本统计量特征一致（ACF在1阶后虽数值小但未严格截尾，PACF在2阶后衰减），故判断该序列适合ARMA(2,1)模型。问题3解答ARIMA(1,1,1)模型的一般形式为：Φ(B)(1-B)y_t=Θ(B)ε_t，其中Φ(B)=1-φ₁B，Θ(B)=1+θ₁B（注意θ的符号可能因教材定义不同而调整，此处假设为“+θ₁B”形式）。代入参数φ₁=0.6，θ₁=0.3，模型具体形式为：(1-0.6B)(1-B)y_t=(1+0.3B)ε_t展开左边：(1B0.6B+0.6B²)y_t=(11.6B+0.6B²)y_t右边：ε_t+0.3ε_{t-1}因此，模型可表示为：y_t1.6y_{t-1}+0.6y_{t-2}=ε_t+0.3ε_{t-1}一步向前预测（t+1期）公式推导：对ARIMA模型，预测基于信息集I_t={y₁,y₂,…,y_t}。令w_t=(1-B)y_t=y_ty_{t-1}，则模型转化为ARMA(1,1)对{w_t}：w_t0.6w_{t-1}=ε_t+0.3ε_{t-1}一步预测w_{t+1|t}=E[w_{t+1}|I_t]=0.6w_t0.3ε_t（因ε_{t+1}的期望为0）而y_{t+1}=y_t+w_{t+1}，故y_{t+1|t}=y_t+w_{t+1|t}=y_t+0.6w_t0.3ε_t由于ε_t=w_t0.6w_{t-1}0.3ε_{t-1}（递推可得），实际预测中通常用估计残差ê_t代替ε_t，因此一步预测公式为：ŷ_{t+1}=y_t+0.6(y_ty_{t-1})0.3ê_t问题4解答残差白噪声检验使用Ljung-Box（LB）统计量，公式为：Q(m)=n(n+2)Σ_{k=1}^m(r_k²)/(n-k)其中n为样本量，m为滞后阶数，r_k为残差的第k阶自相关系数。原假设H₀：残差为白噪声（所有r_k=0，k=1,2,…,m）；备择假设H₁：至少存在一个r_k≠0。题目中n=120，m=12，Q(12)=18.5。在α=0.05水平下，χ²分布的临界值为χ²₀.₉₅(12)=21.03（自由度=12）。由于Q统计量18.5<21.03，不拒绝H₀，认为残差在5%显著性水平下为白噪声，模型拟合充分。问题5解答季节ARIMA模型（SARIMA）的识别需同时考虑季节和非季节部分的ACF/PACF特征。（1）季节部分：周期s=4，SACF在滞后4阶（s=4）为0.72（显著），8阶（2s=8）为0.55（显著），12阶（3s=12）为0.38（显著），呈现几何衰减（ρ_s^k，k=1,2,3），说明季节自相关函数拖尾，对应季节自回归（SAR）部分。若季节PACF（SPACF）在s阶截尾，则为SAR(p_s)模型；此处SACF拖尾，假设SPACF在s=4阶截尾（题目未给出SPACF，需结合经验），通常SACF拖尾、SPACF截尾对应SAR(1)模型（p_s=1）。（2）非季节部分：非季节ACF在滞后1阶（k=1）为0.25（弱显著），2阶及以上不显著，说明非季节ACF截尾于1阶（q=1）；非季节PACF未给出，但假设非季节PACF拖尾（因ACF截尾），对应非季节移动平均（MA）部分。结合季节和非季节特征，模型形式为SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)_s，其中：非季节差分d=0（题目未提及非平稳，假设已平稳）；季节差分D=0（若原序列已消除季节趋势，否则可能需要D=1，但题目仅提存在季节效应，未明确是否需要差分）；非季节MA阶数q=1（ACF截尾于1阶）；季节AR阶数P=1（SACF拖尾，SPACF截尾于1s阶）；非季节AR阶数p=0