2027届新高考数学热点精准复习对数与对数函数

2027届新高考数学热点精准复习对数与对数函数1.理解对数的概念及运算性质,能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例,了解对数函数的概念,会画对数函数的图象,理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0,且a≠1)互为反函数.课标要求1.对数的概念如果ax＝N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x＝____________,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.logaN

NlogaM+logaNlogaM-logaNnlogaM

3.对数函数的概念、图象与性质(1)概念:函数y＝logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,＋∞).(2)对数函数的图象与性质

a>10<a<1图象性质定义域:____________值域:___当x＝1时,y＝0,即过定点____________当x>1时,y>0;当0<x<1时,y<0当x>1时,y<0;当0<x<1时,y>0在(0,＋∞)上是_________在(0,＋∞)上是_________(0,+∞)R(1,0)增函数减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)与对数函数_______________(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线________对称.它们的定义域和值域正好互换.y=logaxy=x常用结论与微点提醒

诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编√××√(1)形如y＝logax(a>0,且a≠1)为对数函数,故(1)错误.(3)若0<b<1<a,则当x>1时,logax>logbx,故(3)错误.

03.(人教B必修二P27例2改编)已知log0.7(2m)<log0.7(m－1),则m的取值范围是____________.

(1,＋∞)因为y＝log0.7x的定义域为(0,＋∞),且是减函数,故2m>m－1>0,解得m>1.4.(人教A必修一P141T13(1)改编)设a＝log0.26,b＝log0.36,c＝log0.46,则a,b,c的大小关系为____________.

a>b>c

BCD

考点一对数的运算

AC

感悟提升1.在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0,且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.

C

C例2(1)(2026·重庆模拟)已知lga＋lgb＝0(a>0,b>0,且a≠1,b≠1),在同一平面直角坐标系中,函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(

)B

考点二对数函数的图象及应用

感悟提升对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.训练2(1)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0,且a≠1)的图象如图所示,则a,b满足的关系是(

)A.0<a－1<b<1B.0<b<a－1<1C.0<b－1<a<1D.0<a－1<b－1<1A

D角度1

比较大小例3(1)(2026·西安模拟)若a＝lg0.2,b＝log32,c＝log64,则关于a,b,c的大小关系,下列说法正确的是(

)A.c>b>a B.b>c>aC.c>a>b D.a>b>cA

考点三对数函数的性质及应用(2)(2025·天津二模)设a＝log43,b＝log86,c＝log62,则a,b,c的大小关系为(

)A.a<b<c B.b<c<aC.c<b<a D.c<a<bD

C

角度3

对数函数性质的综合应用例5(多选)(2026·岳阳模拟)关于函数f(x)＝log2x＋log2(4－x),下列说法正确的是(

)A.f(x)的最大值为1 B.f(x)在区间(0,2)上单调递增C.f(x)的图象关于直线x＝2对称 D.f(x)的图象关于点(2,0)对称BC函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4),当x＝2时,4x－x2取到最大值4,故此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2,A错误;f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u,u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成,而y＝log2u是定义域上的增函数,u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,故f(x)在区间(0,2)上单调递增,在(2,4)上单调递减,B正确;因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x),故f(x)的图象关于直线x＝2对称,C正确;因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立,故f(x)的图象不关于点(2,0)对称,D错误.感悟提升利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题,必须弄清楚三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.

C

ACD

(3)已知函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(a,＋∞),则a＝____________.

4由x2－2x－8>0,得x>4或x<－2,所以f(x)的定义域为{x|x>4,或x<－2}.又u＝x2－2x－8在(4,＋∞)上单调递增,在(－∞,－2)上单调递减,而y＝lgu在定义域上单调递增,所以f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间为(4,＋∞),故a＝4.

B

A函数y＝ax(a>0,且a≠1)的反函数是f(x)＝logax,又f(2)＝loga2＝1,所以a＝2,所以f(x)＝log2x.故选A.

D

D

D

A

7.设a＝log0.20.3,b＝log23,c＝log34,则a,b,c的大小关系为(

)A.a>b>c B.c>b>aC.b>a>c D.b>c>aD

AC

二、多选题

AB

设f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)＝t,则0<t<4,则直线y＝t与函数y＝f(x)图象的4个交点横坐标分别为x1,x2,x3,x4.

10.函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒过的定点是____________.

令2x－1＝1,解得x＝1,此时f(1)＝loga1＝0,所以函数f(x)＝loga(2x－1)(a>0,且a≠1)恒过的定点是(1,0).三、填空题(1,0)

12.已知函数y＝f(x),若在定义域内存在实数x,使得f(－x)＝－f(x),则称函数y＝f(x)为定义域上的局部奇函数.若函数f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数,则实数m的取值范围是____________.

因为f(x)＝log3(x＋m)是[－2,2]上的局部奇函数,所以x＋m>0在[－2,2]上恒成立,所以m－2>0,即m>2,由局部奇函数的定义,存在x∈[－2,2],使得log3(－x＋m)＝－log3(x＋m),

13.已知函数f(x)