2027届新高考数学热点精准复习基本立体图形及几何体的表面积与体积

2027届新高考数学热点精准复习基本立体图形及几何体的表面积与体积1.掌握柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征,能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.掌握球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.课标要求1.空间几何体的结构特征(1)多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形底面互相____且______多边形互相______且______平行全等平行相似名称棱柱棱锥棱台侧棱____________相交于______,但不一定相等延长线交于______侧面形状____________________梯形平行且相等一点一点平行四边形三角形(2)旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等,______

于底面相交于______延长线交于______

垂直一点一点名称圆柱圆锥圆台球轴截面__________________等腰梯形圆侧面展开图____________扇环

矩形等腰三角形矩形扇形2.直观图的斜二测画法(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x'轴、y'轴的夹角为_______________,z'轴与x'轴、y'轴所在平面______.(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别_________坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度______,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的______.45°(或135°)垂直平行于不变一半3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧=________S圆锥侧=______S圆台侧=_________2πrlπrlπ(r1+r2)l4.简单几何体的表面积和体积公式柱体(棱柱和圆柱)表面积体积锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+2S底V=Sh台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S底V=___________球S表面积=S侧+S上+S下柱体(棱柱和圆柱)S=_______V=____________

4πR2

常用结论与微点提醒

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线.(

)(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.(

)(1)不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线,(1)错误.(2)反例:如图所示的图形满足条件但不是棱锥,(2)错误.诊断自测

概念思考辨析+教材经典改编××(3)菱形的直观图仍是菱形.(

)(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.(

)(3)用斜二测画法画水平放置的菱形的直观图是平行四边形,但邻边不一定相等,(3)错误.(4)球的体积之比等于半径比的立方,故(4)错误.××2.(人教A必修二P106T8改编)如图,长方体ABCD－A'B'C'D'被截去一部分,其中EH∥A'D'∥FG,则剩下的几何体是(

)C由于平面ABFEA'∥平面DCGHD',且AD,BC,FG,EH,A'D'相互平行且相等,所以剩下的几何体是五棱柱.A.棱台

B.四棱柱C.五棱柱 D.六棱柱3.(苏教必修二P161练习T4改编)下列说法正确的是(

)A.相等的角在直观图中仍然相等B.相等的线段在直观图中仍然相等C.正方形的直观图是正方形D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行D由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行关系不变,正方形的直观图是平行四边形.

例1(1)(多选)下列说法中正确的是(

)A.以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴,其余边旋转一周形成的几何体是圆台B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱C.底面是正多边形的棱锥是正棱锥D.棱台的各侧棱延长后必交于一点AD考点一基本立体图形由圆台定义知,以直角梯形垂直于底边的腰为旋转轴,其余三边旋转一周形成的几何体是圆台,故A正确;由棱柱定义可知,棱柱是有两个面平行,其余各面都是平行四边形,且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行的几何体,故B错误;底面是正多边形的棱锥,但不能保证顶点在底面上的射影为底面正多边形的中心,故C错误;棱台是由平行于棱锥底面的平面截得的,故棱台的各侧棱延长后必交于一点,故D正确.(2)(多选)如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的斜二测直观图,其中O'C'＝O'A'＝2O'B'＝2,则以下说法正确的是(

)

BCD由题意,可得平面图如图所示.

把圆锥侧面沿母线PA剪开,展在同一平面内得扇形APA',连接AB,如图,令扇形APA'圆心角大小为θ,则12θ＝2π×3,

感悟提升1.辨别空间几何体的两种方法(1)定义法:紧扣定义进行判定;(2)反例法:要说明一个结论是错误的,只需举出一个反例即可.感悟提升

训练1(1)给出下列四个命题,正确的是(

)A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体D.底面为正多边形,且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱D对于A,平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形,故A错;对于B,等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图),故B错;对于C,若底面不是矩形,则C错;对于D,可知侧棱垂直于底面,故D正确.

A

(3)如图,△A'O'B'是水平放置的△AOB的直观图,但部分图象被茶渍覆盖,已知O'为坐标原点,顶点A',B'均在坐标轴上,且△AOB的面积为12,则O'B'的长度为____________.

2

C考点二表面积

(2)攒尖是中国古建筑中屋顶的一种结构形式,兰州市著名景点三台阁(如图1)的屋顶部分是典型的攒尖结构.如图2所示是某研究性学习小组制作的三台阁仿真模型的屋顶部分,它可以看作是不含上底面的正四棱台和正三棱柱的组合体,已知正四棱台上底边、下底边、侧棱的长度(单位:dm)分别为2,6,4,正三棱柱各棱长均相等,则该结构的表面积为____________dm2.

感悟提升空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用,并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.

D

(2)在《九章算术》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P－ABCD为阳马,底面ABCD是边长为2的正方形,有两条侧棱长为3,则该阳马的表面积为____________.

如图,不妨设PA⊥平面ABCD,由题意,AB＝BC＝CD＝AD＝2,易知PB＝PD＝3,

考点三体积

角度2

割补法例4(1)如图为一个木楔子的直观图,其中四边形ABCD是边长为2的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥CD,EF＝4,则该木楔子的体积为(

)A

(2)(2024·天津卷改编)一个五面体ABC-DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为

.

角度3

等体积法例5(2026·南平模拟)已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为4,若将其截去三棱锥C1－B1BD1,则剩余几何体的体积为____________.

感悟提升求空间几何体的体积的常用方法(1)公式法:规则几何体的体积,直接利用公式.(2)割补法:把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体.(3)等体积法:通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积.

(2)(多选)如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝2,BC＝3,CC1＝4,且AB⊥BC,P为BC1的中点,则(

)

一、单选题1.圆柱的母线长为4,底面半径为2,该圆柱的体积为(

)A.8π B.12πC.16π D.20πC因为圆柱的母线长为4,底面半径为2,所以圆柱的体积为V＝πr2h＝π×22×4＝16π.2.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中D'是B'C'的中点,且A'D'∥y'轴,

B'C'∥x'轴,

A'D'＝B'C'＝2,那么S△ABC等于(

)D

D

4.(2026·绍兴质检)有这样一个古算题:“今有木长二丈四尺,围之五尺,葛生其下,缠本两周,上与木齐,问葛长几何?”,其意思为“圆木长2丈4尺,圆周长为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺?”(注:1丈等于10尺),则这个问题中,葛藤长的最小值为(

)A.2丈4尺 B.2丈5尺C.2丈6尺 D.2丈8尺C

5.(2026·广州模拟)在母线长为4,底面直径为6的一个圆柱中挖去一个体积最大的圆锥后,得到一个几何体,则该几何体的表面积为(

)A.33π B.39πC.48π D.57πC

6.(2026·秦皇岛模拟)如图,某工厂储存原料的储存仓是由圆柱和圆锥构成的,若圆柱的高是圆锥高的2倍,且圆锥的母线长是2,侧面积是2π,则该储存仓的体积为(

)C

设圆锥的底面圆半径为r,由侧面积是2π,得πr·2＝2π,解得r＝1,

A

8.(2026·烟台模拟)如图,在六面体ABCD－A1B1C1D1中,AA1⊥平面A1B1C1D1,四边形ABCD与A1B1C1D1为两个全等的矩形,且AB∥A1B1,AD∥A1D1,若BC＝A1B1＝AA1＝2,AB＝B1C1＝4,则该六面体的体积为(

)B在长方体A1B2C2D1－ABC3D2中,A1B2＝AB＝B1C1＝4,AA1＝2,BC＝A1B1＝AA1＝2.

二、多选题9.下列说法中正确的是(

)A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥B.长方体是直四棱柱C.用一个平面去截圆锥,圆锥底面和截面之间的部分为圆台D.球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面BD对于A,各侧棱都相等,但无法保证底面为正多边形,故A错误;对于B,易知长方体的侧棱和底面垂直,所以是直四棱柱,故B正确;对于C,根据圆台的定义,用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分为圆台,故C错误;对于D,球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面,故D正确.

BC

11.(2026·南昌模拟)如图,平行六面体ABCD－A1B1C1D1的体积为6,点P为线段A1B上的动点,则下列三棱锥中,其体积为1的有(

)ACD

A.三棱锥P－C1CD B.三棱锥P－B1D1DC.三棱锥P－D1B1C D