平面课件2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

学习目标

8.4.1平面1.借助几何体的直观图认识平面，了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.2.理解关于平面基本性质的三个基本事实及其推论，能利用三个基本事实及其推论解决相关问题.(重难点)3.会用数学语言规范地表达空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)问题1

前面我们认识了棱柱、棱锥、棱台等多面体，这些多面体由哪些元素构成？

顶点、棱、侧面（底面）等是构成这些多面体的基本元素，这些元素之间的相互关系，反映了这些多面体的结构特征．

实际上，立体图形都是由点、直线、平面等基本元素组成的，要研究立体图形的结构特征，就要研究这些基本元素之间的位置关系，我们先从认识点、直线、平面这些基本元素开始．本节我们先研究平面及其基本性质，在此基础上,研究空间点、直线、平面之间的位置关系.无限延展不计大小绝对的平平面的特征不计厚薄黑板面课桌面平静的水面

几何里所说的“平面(plane)”就是从这样的一些物体中抽象出来的.类似于直线向两端无限延伸，平面是向四周无限延展的.1.平面当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向．2.平面的画法ABCD水平平面直立平面3.平面的表示①平面通常用一个希腊字母α、β、γ等来表示，如平面α、平面β、平面γ；②用代表平面的平行四边形的四个顶点或相对的两个顶点的大写英文字母来表示，如平面ABCD或平面AC、平面BD.图形语言文字语言符号语言在上在外在内在外

点、线、面的位置关系的符号表示思考：下面，我们来研究平面的基本性质.要研究平面首先要确定平面，我们知道，两点可以确定一条直线，那么几点可以确定一个平面呢？由于三个支点在同一个平面上且不共线保证了三角支架的稳定性

4.平面的基本性质基本事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.简记为：不共线的三点确定一个平面.图形语言：符号语言：作用：确定平面；判定两平面是否重合；证明点线共面.A∉

,过点A、B、C有且只有一个平面α.

推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.αaAααbabaP推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面.作用：确定一个平面．用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内.平面基本性质的推论练1

下列命题正确的是（

）（A）三点确定一个平面（B）一条直线和一个点确定一个平面（C）圆心和圆上两点可确定一个平面（D）梯形可确定一个平面问题2如果直线l

与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？

如果直线

l

与平面α有两个公共点呢？

在实际生活中，我们有这样的经验：如果一根直尺边缘上的任意两点在桌面上，那么直尺的整个边缘就落在了桌面上。而一个点是不可以确定的。上述经验和类似的事实可以归纳为以下基本事实：基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.B•αA•l⇒l⊂αA∈l，B∈lA∈α，B∈α图形语言：符号语言：作用：判断直线（或点）是否在平面内的依据．

想象三角尺所在的无限延展的平面，用它去穿越课桌面。可以想象，两个平面相交于一条直线，由此我们得到又一个基本事实。

如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面.符号语言：若平面α与β相交于直线l，则把l叫做α与β的交线，记作α∩β=l.αlP

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.作用：①判断两个平面相交的依据,

②判断点在直线上．图形语言：⑴先画两平面基本线⑵画两平面的交线⑶分别作三条线的平行线⑷把被遮部分的线段画成虚线或不画，其他为实线。αβ相交平面的画法：αββα例1

判断正误（1）平面α与平面β相交，它们有有限个公共点．

（

）（2）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.（

）(3)空间不同三点确定一个平面.()(4)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面.()(5)两两相交且不共点的三条直线确定一个平面.()练2

不共面的四点可以确定几个平面？请画出图形说明你的结论ACBP练3

下面是四个命题的叙述语(其中A，B表示点，a表示直线，α表示平面)，叙述方式和推理都正确的是A.∵A⊂α，B⊂α，∴AB⊂α B.∵A∈α，B∈α，∴AB∈αC.∵A∉a，a⊂α，∴A∉α D.∵A∉α，a⊂α，∴A∉a课本P128思考

三个平面最多能把空间分成____部分，最少能把空间分成____部分。[考]三个平面能把空间分成4或6或7或8部分.角度1点、线共面问题例3

已知直线b∥c，且直线a与b，c都相交，求证：直线a，b，c共面.证明多线共面的两种方法(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先证明一些元素在一个平面内，再证明另一些元素在另一个平面内，然后证明这两个平面重合，即证得所有元素在同一个平面内.练4

求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[思路点拨]先选取两条直线确定一个平面，然后证明第三条直线也在这个平面上．角度2三线共点问题

例4

如图，已知平面α，β，且α∩β＝l.设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：直线AB，CD，l共点(相交于一点).证明三线共点的步骤练5如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1P＝2PA1，C1Q＝2QA1.

求证：直线AA1，BP，CQ相交于一点．例5

如图所示，AB∥CD，AB∩α＝B，CD∩α＝D，AC∩α＝E，求证：B，E，D三点共线.角度3三点共线问题证明三点共线的方法：练6

如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上．1.平面的基本性质基本事实1

过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面.基本事实2

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.

基本事实3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.推论1

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论2

经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3

经过两条平行直线，有且只有一个平面.2.平面的基本性质的推论本节课你学会了哪些主要内容？例3

如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．

（1）求证：C，E，D1，F四点共面；

（2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点；

（3）若CE与D1F相较于点M,

求证：点D，A，M三点共线.P[点共面问题][三线共点问题][三点共线问题]例3

如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．

（1）求证：C，E，D1，F四点共面；

（2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点；

（3）求证：点D，A，M三点共线.P∴EF∥D1C，∴E，F，D1，C四点共面．（1）连接EF，D1C，A1B，∵E为AB的中点，F为AA1的中点，∴EF∥A1B.

（2）设D1F∩CE＝P，D1F⊂平面A1D1DA，CE⊂平面ABCD，证明：∴点P为平面A1D1DA与平面ABCD的公共点．又∵平面A1D1DA∩平面ABCD＝DA，∴P∈DA，即CE，D1F，DA三线交于一点．[点共面问题][三线共点问题][三点共线问题]∴点D，A，M三点共线．例3如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为AB，AA1的中点．

（1）求证：C，E，D1，F四点共面；

（2）求证：CE，D1F，DA三线交于一点；

（3）求证：点D，A，M三点共线.P典例解析(3)∵D1F∩CE＝M，且D1F⊂平面A1D1DA，∴M∈平面A1D1DA.同理M∈平面BCDA，从而M在两个平面的交线上，∵平面A1D1DA∩平面BCDA＝AD，∴M∈AD成立．证明：[点共面问题][线共点问题][点共线问题]α例1

求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．证法一：∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.又∵B∈l3，C∈l3∴l3⊂α.∴直线l1、l2、l3在同一平面内．[思路点拨]先选取两条直线确定一个平面，然后证明第三条直线也在这个平面上．典例解析[线共面问题]α例1

求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[线共面问题]典例解析证法二：∵l1∩l2＝A，∴l1、l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2、l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A、B、C既在平面α内，又在平面β内．∴平面α和β重合，即直线l1、l2、l3在同一平面内．α例1

求证：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内．[线共面问题]典例解析

证法三：如图，已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB，BC，AC延长后分别交平面α于点P，Q，R.求证：P，Q，R三点在同一条直线上．证明：由已知AB的延长线交平面α于点P，根据基本事实3，平面ABC与平面α