直线与平面垂直课件2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

6.5.1直线与平面垂直北师大版（2019）必修第二册学习目标1.理解并掌握直线与平面垂直的性质定理，并能利用定理解决相关的问题，体现逻辑推理能力和数学计算能力（重点）2.理解直线与平面所成角的概念，并能求直线和平面所成的角，体现逻辑推理能力（重难点）3.掌握直线与平面垂直的判定定理，并能利用定理解决相关的问题，体现逻辑推理能力和数学计算能力（重点）课程引入天安门广场上竖直的国旗杆与地面，直立在水平桌面上打开书的书脊与桌面等都展示了直线与平面垂直的形象，那么，什么是直线与平面垂直？观察立在水平桌面上打开的书，书脊可以抽象成一条直线，书脊与桌面上每一页下底面所在直线都垂直，就说书脊与桌面垂直.新课学习直线与平面垂直的概念一般地，如图，如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直.记作l⊥α.直线l称为平面α的垂线，平面α称为直线l的垂面，它们唯一的公共点P称为垂足.直线与平面垂直的性质：过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一条直线垂直.平面α的垂线垂足αPl新课学习直线与平面的垂直的画法:画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.αPl新课学习思考一下：我们知道，在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行．这个性质能推广到空间吗？观察如图的长方体，可以看到：直线a与直线b都垂直于平面α，这时a∥b.abα新课学习思考一下：如果a⊥α，b⊥α，

这时，a和b平行吗？αABabb′l

如图，设a⊥α，b⊥α，垂足为A，B，假定a与b不平行，则过点B作a的平行线b′，b′与b不重合.因b∩b′＝B，故直线b与b′确定一个平面，记为β，且记α∩β＝l.因为a⊥α，b⊥α，所以b⊥l，a⊥l.又因为b′∥a，所以b′⊥l.此时，在平面β内，经过直线l上同一点B就有两条直线b与b′都与l垂直，这与“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”相矛盾.因此a∥b.新课学习直线与平面垂直的性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行.符号语言：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.αABab图形表示：应用：利用这个定理可以判定两条直线平行.新课学习思考交流：两异面直线能否垂直于同一平面？不能，理由如下：假设两条异面直线垂直于同一平面，那么这两条直线平行，然而两条平行直线确定一个平面，与这两条直线异面矛盾，即两条异面直线不能垂直于同一平面.新课学习例1：本章1.2节已提到从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离.请证明：如果一条直线平行一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离都相等.lαABEF

如图，直线与平面分别用l与α表示，且l∥α.要证明直线l上各点到平面α的距离相等，只要证明直线l上任意两点到平面α的距离相等.而点到平面α的距离也就是点到平面α的垂线段的长.过直线l上任意两点A，B分别作平面α的垂线，垂足分别为E，F.新课学习lαABEF

因为AE⊥α，BF⊥α，所以AE∥BF.

由l∥α，得l∥EF.所以四边形AEFB是平行四边形.

如果一条直线与平面平行，那么这条直线上任意一点到平面的距离就是这条直线到这个平面的距离.新课学习直线与平面的夹角的概念如图，一条直线与一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线称为这个平面的斜线，斜线与平面的交点A称为斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上的投影.平面的一条斜线与它在平面上的投影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角.αlAθ斜线斜足投影(直线)新课学习两类特殊的直线与平面的夹角1.直线垂直于平面的夹角：一条直线垂直于平面，我们就说它们的夹角是直角;2.直线平行于平面的夹角：一条直线平行于平面，或在平面内，我们就说它们的夹角是0°.新课学习例2：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(1)求D1A与底面ABCD夹角的大小；因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1AD是D1A与底面ABCD的夹角.因为侧面A1ADD1是正方形，所以∠D1AD=45°，即D1A与底面ABCD所成的角为45°.新课学习例2：如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.(2)设正方体的棱长为a，求D1B与底面ABCD夹角的余弦值.

因为DD1⊥底面ABCD，所以∠D1BD是D1B与底面ABCD的夹角，同时D1D⊥DB.

所以即D1B与底面ABCD所成的角的余弦值为.

新课学习思考一下：如何判定一条直线与一个平面垂直？先观察如图(1)的长方体，可以知道：b，c是平面α内的两条相交直线，a⊥b，a⊥c，这时a⊥α.再观察如图(2)的长方体，可以知道：平面α内的两条平行直线b，c，虽然都与直线a垂直，但a与α不垂直.新课学习直线与平面垂直的判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.符号语言：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝A⇒l⊥α．图形表示：新课学习思考交流：1.若三条共点的直线两两垂直，那么其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是什么关系？不妨设直线a，b，c两两垂直，相交于点P，直线b，c确定平面α.acbPα因为c⊂α，b⊂α，a⊥c，a⊥b，c∩b＝P，所以a⊥α.结论：其中的任意一条直线与另外两条直线确定的平面是垂直关系.新课学习思考交流：2.过平面外一点可以作几条直线与已知平面垂直？假设过平面外的一点可以作两条直线与已知平面垂直，则根据线面垂直的性质定理，这两条直线平行，不可能共一点，故假设错误.故答案为有且只有一条.新课学习例3：证明：如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.已知：如图，l1∥l2，l1⊥α.求证：l2⊥α.ab要证明l2⊥α，只需证明l2与平面α内两条相交直线垂直.如图，在平面α内作两条相交直线a，b.因为l1⊥α，所以l1⊥a，l1⊥b.又因为l1∥l2，所以l2⊥a，l2⊥b.又因为a⊂α，b⊂α，a，b是两条相交直线，所以l2⊥α.新课学习例4：如图，长杆l与地面α相交于点O，在杆子上距地面2m的点P处挂一根长2.5m的绳子，拉紧绳子并把它的下端放在地面上的点A或点B(A，B，O三点不在同一条直线上).如果A，B两点和点O的距离都是1.5m，那么长杆l和地面是否垂直？为什么？在△POA和△POB中，因为PO=2m，AO=BO=1.5m，PA=PB=2.5m，所以PO2+AO2=22＋1.52=2.52=PA2，

PO2+BO2=22+1.52=2.52=PB2.根据勾股定理的逆定理得PO⊥AO，PO⊥BO.又A，B，O三点不共线，因此PO⊥平面α，即长杆与地面垂直.课程练习C课程练习