电工技术(第2版)1396

第1章电路的基本概念与基本定律1.1电路与电路模型1.2电路的主要物理量1.3电路的三种状态1.4电压源和电流源及其等效变换1.5基尔霍夫定律本章小结思考题与习题1.1电路与电路模型

1.1.1电路

电路是人们在生产、生活中为了实现某种需求，将各种电气设备按一定方式连接起来的整体，它提供了电流流通的路径。

电源、负载和中间环节是电路的基本组成部分，如图1-1所示。图中电路以干电池为电源，灯泡为负载，开关、导线为中间环节。图1-1电路的组成电源：给电路提供电能的装置，将非电能转换成电能。例如，干电池和蓄电池是将化学能转换成电能，而发电机是将热能、水能、风能、原子能等转换成电能。所以电源是电

路中的能量来源，是推动电流运动的源泉，在它的内部进行着由非电能到电能的转换。负载：电路中消耗电能的装置，将电能转换成非电能。例如，电炉将电能转换成热能，电灯将电能转换成光能，电动机将电能转换成机械能等。

中间环节：把电源与负载连接起来的部分，起传递和控制电能的作用。

电路按功能可以分为两类，一类是电力电路，另一类是信号电路。电力电路主要起电能的传输、转换和分配的作用。电力系统电路就是这样的典型例子，发电机组将其他形式的能量转换成电能，经变压器、输电线传输到各用电部门，用户又把电能转换成光能、热能、机械能等其他形式的能量而加以利用。对于这一类电路，一般要求在传输和转换过程中，尽可能地减少能量损耗以提高效率。信号电路在电子技术、电子计算机和非电量电测中广泛应用，其主要目的是实现信号（例如语言、音乐、文字、图像、温度、压力等）的传递、存储和处理。电视机就是通过有线或无线的方式接收电视信号，然后进行转换处理并输出图像和声音的。在这类电路中，虽然也有能量的传输和转换问题，但最主要的是信号传递的质量，一般要求传输的过程中信号不能失真，应尽可能准确、快速。1.1.2电路模型

1.实际电路

实际的电路器件在工作时的电磁性质不是单一的，比较复杂。例如白炽灯在通电工作时能把电能转换成光能，消耗电能，具有电阻的性质，但通过它的电压和电流还会产生电

场和磁场，因此也具有储存电场能量和磁场能量即电容和电感的性质。在电路的分析和计算中，如果对一个器件要考虑所有的电磁性质，将是十分困难的。2.电路模型

在电路的分析计算时，通常用一个假定的二端元件（如电阻元件）来代替实际元件（如电灯泡），这个二端元件的电磁性质反映了实际元件的电磁性质，这个假定的二端元件称为理想电路元件。将实际电路中的各种元件设备按其主要物理性质分别用理想电路元件来表示，构成的电路就是实际电路的“理想电路模型”，简称电路模型。例如，图1-2所示电路就是图

1-1所示实际电路的电路模型，图中E为电源电动势，R0为电源内阻，RL为负载电阻。图1-2电路模型1.2电路的主要物理量

1.2.1电流

1.电流

在电场作用下，带电粒子的定向移动形成了电流。电流的大小用电流强度来描述，数值等于单位时间内通过导体某一横截面的电荷量。设在dt时间内通过导体某一横截面的电

荷量为dq，则通过该截面的电流强度为(1-1)式(1-1)表明，在一般情况下，电流强度是随时间而变的。如果电流强度不随时间而变，即dq/dt=常数，则这种电流就称为恒定电流，简称直流（DC）。于是式（1-1）可写为(1-2)式（1-2）中，Q为某时间段内通过导体某一截面的总电荷量。电流强度在工程上常简称电流。在我国法定计量单位中，电流（电流强度）的单位是安培，简称安（A）。

在计量大电流时，用千安（kA）为计量单位；计量微小电流时，可用毫安(mA)或微安(μA)为计量单位。它们的换算关系如下

1kA=103A

1mA=10－3A

1μA=10－6A2.电流的参考方向

参考方向是人们任意选定的一个方向，在电路图中用箭头表示。当电流的参考方向与实际方向一致时，电流为正值（i>0）；当电流的参考方向与实际方向相反时，电流为负

值（i<0）。这样，在选定的电流参考方向下，根据电流的正负，就可以确定电流的实际方向，如图1-3所示。图1-3电流参考方向与实际方向的关系(a)i>0；(b)i<01.2.2电压

1.电压的定义

在图1-4中，两个极板A、B上分别带有正、负电荷，这样A、B两极板间就存在一个电场，其方向由A指向B。电荷在电路中运动时，必然受到电场力的作用，即电场力对电

荷做了功。为了衡量其做功的能力，引入“电压”这一物理量。图1-4电压与电动势电压的定义：电场力把单位正电荷从电场中的A点移动到B点所做的功称为A点到B点间的电压，用uAB(UAB)表示。即(1-3)在国际单位制中规定，电场力把1C(库仑)的正电荷从电场内一点移动到另一点所做的功为1焦耳（J）时，该两点间的电压为1伏特（V）。即电场力把1库仑的正电荷从电场内一点移动到另一点做多少焦耳的功，这两点间的电压就为多少伏特。电压有时还用千伏（kV）、毫伏（mV）、微伏（μV）等单位。它们的换算关系为

1kV=103V

1mV=10－3V

1μV=10－6V

直流电路中，式（1-3）应写为(1-4)电路中两点之间的电压也称为两点之间的电位差，即

UAB=VA－VB(1-5)其中，VA为A点的电位，VB为B点的电位。2.电压的方向

和电流一样，在具体分析实际电路时，任意选定一个电压方向作为参考方向，电压的实际方向由参考方

向和电压的正负值来反映。根据计算结果，电压为正(u>0)时，电压的实际方向与参考方向一致；电压为负(u<0)时，电压的实际方向与参考方向相反。电压的参考方向一般用箭头表示，也可用正(+)、负(－)极性表示，如图1-5所示。图1-5电压参考方向与实际方向的关系(a)u>0;(b)u<03.电压和电流的关联参考方向

例如，我们熟知的欧姆定律表达式为这是以U、I为关联参考方向的前提得到的结论。如果U、I为非关联参考方向，则欧姆定律的表达式会变为1.2.3电位

为了确定电路中各点的电位，就必须在电路中选取一个参考点。它们之间的关系如下：

(1)参考点的电位为零，即V0=0，比该点高的电位为正，比该点低的电位为负。如图1-6(a)所示的电路中，选取O点为参考电位点，则A点的电位为正，B点的电位为负。图1-6电位的计算示例(2)电路中其他各点的电位为该点与参考点之间的电位差。如图1-6(a)中A、B两点的电位分别为

VA=VA－VO=UAO=2V

VB=VB－VO=UBO=－4V

(3)电位与电压的关系。

①如果已知A、B两点的电位为VA、VB，则此两点间的电压等于它们的电位之差。

如图1-6(a)所示，可证明如下

UAB=UAO+UOB=UAO－UBO=VA－VB

图1-6(a)中，电压UAB=VA－VB=2－(－4)=6V。②电路中某一点的电位随参考点（零电位点）选择的不同而不同，但两点间的电压（电位差）不变。

如图1-6(b)所示，如选取B点为参考点，则VB=0,VA=VA－VB=6V，但A、B两点间的电压不变，仍然为UAB=6V。

电位概念的引入给电路分析带来了方便，可以简化电子线路的作图。在一个直流电路中，习惯于选择直流电源的一端为参考点，这样电源另一端的电位就是一个确定值。因

此，在电子线路中，往往不再画出电源，而改用电位标出。图1-7是电路的一般画法与电子线路的习惯画法示例。图1-7电路的一般画法与电子线路的习惯画法1.2.4电动势

图1-4所示的电路，在电场力的作用下，正电荷不断地从A移动到B，A、B两极板间的电场逐渐减弱，最后消失，导线中的电流也逐渐减小为零。为了维持持续不断的电流，

就必须保持A、B间有一定的电位差。这必然要借助于外力来克服电场力把正电荷源源不断地从B极板移到A极板。电源就是能产生这种外力的装置。电动势是用来衡量电源力大小的物理量。电动势在数值上等于电源力把单位正电荷从电源的负极板移到正极板所做的功，用E表示。

得到电动势的方法多种多样，例如在发电机中，导体在磁场中切割磁力线运动时，磁场能转换为电源力；在电池中，化学能转换为电源力。电荷在电源中得到能量，再通过电路提供给负载。在电源内部，电动势的实际方向是正电荷所受外力的方向，因此从低电位（负极）指向高电位（正极）。而电压的实际方向是正电荷所受电场力的方向，所以是从高电位（正极）指向低电位（负极），即在电源内部，电动势与电压方向相反。在电源内部，电流从低电位流向高电位，与电源外部电流方向相反。电动势的单位与电压相同，也用伏特（V）表示。电源电动势与电压的方向如图1-8所示。图1-8电动势与电压的方向1.2.5电能和电功率

当正电荷从电源正极经过元件移动到负极时，电场力要对电荷做功，这时元件吸收能量，此元件可看作是负载，如电阻等；反之，当正电荷从负极经过元件移动到正极时，外力做功，电场力做负功，这时元件对外释放电能，此元件可看作电源，如电池等。从t0到t的时间内，从a点到b点电路元件吸收的电能可根据式（1-3）求得，即(1-6）由于，因此(1-7）电路消耗（或吸收）的功率P等于单位时间内电路消耗（或吸收）的能量。即在国际单位制中，功率的单位为瓦特（Watt），简称瓦（W）。对直流电路，电流、电压均为恒定值，在时间0～t内电路消耗的电能以及电路的功率为

W=UQ=UIt(1-9）

P=UI(1-10）若负载为电阻元件，则在时间t内所消耗的电能为(1-11)单位时间内消耗的电能称为电功率（简称功率），即(1-12)当u和i取关联参考方向时，

（1）P>0，说明这段电路上电压和电流的实际方向是一致的，电路吸收了功率，是负载性质。

（2）P<0，则这段电路上电压和电流的实际方向不一致，电路发出功率，是电源性质。

（3）p=0时，电路不消耗功率。以上分析是在电流和电压为关联参考方向前提下消耗或吸收的功率计算；若电流和电压为非关联参考方向，如图1-9中的u′和i所示，这时由于u′=－u，因此电路消耗的功率为P=UI=－u′i。图1-9关联或不关联参考方向的功率计算［例1-1］试求图1-10中元件的功率。图1-10例1-1的电路［解］图（a）：因为电流和电压的方向为关联参考方向，所以元件吸收的功率为

P=UI=3×2=6W

即元件消耗功率6W

图（b）：因为电流和电压的方向为非关联参考方向，所以元件吸收的功率为

P=－UI=－3×2=－6W

即元件发出功率6W图（c）：因为电流和电压的方向为非关联参考方向，所以元件吸收的功率为

P=－UI=－(－2)×2=4W

即元件消耗功率4W1.3电路的三种状态

1.3.1空载状态

空载状态又称断路或开路状态，如图1-11所示，在实际电路中，负载可能是多种电气元件构成的串并联电路，图中RL表示全部负载的等效负载电阻。当开关S断开或连接导线折断时，电路就处于空载状态，此时电源和负载不能构成通路,外电路所呈现的电阻可视为无穷大,电路具有下列特征：(1)电路中电流为零，即I=0。

(2)电源的端电压等于电源的电动势。即

U1=E－R0I=E

此电压称为空载电压或开路电压，用U0表示。因此，要想测量电源电动势,只要用电压表测量电路的开路电压即可。(3)电源的输出功率P1和负载所吸收的功率P2均为零。即

P1=U1I=0,P2=U2I=0图1-11简单直流电路1.3.2短路状态

在图1-11所示电路中，当电源两端的导线由于某种事故，电流不经过负载而直接流回电源。这种状态称为短路状态，简称短路。这时外电路所呈现的电阻视为零，电路具有下列特征：(1)流经电源的电流最大，此时电源中的电流为(1-13)此电流称为短路电流。在一般供电系统中，电源的内电阻很小，故短路电流很大。但对外电路无输出电流，即I=0。(2)电源和负载的端电压均为零，即

U1=E－R0IS=0

U2=0

E=R0IS

上式表明电源的电动势全部降落在电源的内阻上，因而无输出电压。(3)电源的输出功率P1和负载所吸收的功率P2均为零，这时电源电动势发出的功率全部消耗在内电阻上，即

P1=U1I=P2=U2I=0(1-14)由于电源电动势发出的功率全部消耗在内电阻上，如果电源短路故障未能迅速排除,将会烧毁电源、导线及电气设备。1.3.3有载工作状态

在图1-11所示电路中，当开关S闭合时，电源与负载构成闭合回路，负载有电流通过，吸收功率，电源输出功率，这称为有载工作状态。此时电路具有如下特征：

(1)电路中的电流为(1-15)当电源E和内阻R0一定时，电流由负载电阻RL的大小决定。(2)电源的端电压为(1-16)电源的端电压总是小于电源的电动势。因为电源的电动势E减去内阻压降R0I后，才是电源的输出电压U1。若忽略线路上的压降，则负载的端电压等于电源的端电压,即(1-17)式（1-17）表明，电源电动势发出的功率EI减去内阻上消耗的功率R0I2才是供给外电路的功率。若忽略连接导线上的电阻所消耗的功率，则负载所吸收的功率为

P2=U2I=U1I=P1

由于输出电流，电源电动势E和内阻R0通常为比较固定的数值，故电源输出电流I取决于负载电阻RL。电路中负载的使用情况是经常变化的，当负载等效电阻RL减小时，电源的输出电流和功率会增大；当负载等效电阻RL增大时，电源的输出电流和功率会减小。电源内阻及负载电阻上所消耗的电能如都转换成热能散发出来，会使电源和各种用电设备的温度升高。当负载电流过大时，设备的绝缘材料会因过热而加速老化，缩短使用寿命，甚至损坏。当电压过高时，也可能使设备的绝缘被击穿，不能正常工作。电压过低时，设备也不能正常工作。如白炽灯在240V时，亮度增加1/3，但使用寿命只有原来的1/3；电压200V时，使用寿命延长2~3倍，但发光效率下降30%以上。为了保证电气设备和器件能安全、可靠、经济地工作，制造商规定了设备的额定值，即电气设备在电路的正常运行状态下，所能承受的最大电压、最大电流以及允许功率。

额定电压、额定电流、额定功率分别用UN、IN、PN来表示,这些额定值常标记在设备的铭牌上，故又称为铭牌值。当一个灯泡上标明“220V、60W”时，说明这个灯泡的额定电压为220V，在此额定电压下消耗功率60W。根据负载大小，电路在通路时有三种工作状态：电气设备工作的实际电流等于额定电流时称为满载状态；实际电流低于额定值的工作状态称为轻载；高于额定值的工作状态称为过载。在一般情况下，设备运行时，电流、电压、功率均不应超过额定值，最好运行在满载状态下。在电路中常装设自动开关、热继电器等，用来在过载时自动切断电源，确保设备安全。［例1-2］在图1-12所示的电路中，已知E=16V，R1=2kΩ，R2=4kΩ，试在

(1)R3=4kΩ；

(2)R3=∞（即R3处断开）；

(3)R3=0（即R3处短接）三种情况下，分别求出电压U2和电流I2、I3。图1-12例1-2的电路［解］（1）当R3=4kΩ时，电路中的总电阻为kΩ故mAmAV（2）当R3=∞时，电路中的总电阻为

R=R1+R2=6kΩ

故I3=0U2=R2I2=4×2.67=10.68V（3）当R3=0时，R2被短路，电路中的总电阻为

R=R1=2kΩ

U2=0V［例1-3］图1-13所示电路为蓄电池供电或充电的电路模型，其中R为限流电阻。

（1）试求端电压U；

（2）此支路是供电支路还是用电支路？供电或用电的功率；

（3）试求蓄电池发出或吸收的功率；

（4）试求电阻所消耗的功率。图1-13例1-3的电路［解］电路中电压和电流的参考方向如图所示。设该支路供电或用电的功率为P；蓄电池发出或吸收的功率为PE；电阻所消耗的功率为PR。

（1）根据电路中电压和电流的参考方向可知端电压U的值为

U=E+RI=15+20×3=75V

（2）U、I为关联方向，其电功率为

P=UI=75×3=225W

为正值，可见该支路为用电支路，用电功率为225W。（3）蓄电池正在充电，其吸收的功率为

PE=EI=15×3=45W

（4）电阻所吸收的功率为

PR=I2R=32×20=180W

根据以上分析，P=PE+PR，可见供电支路所提供的电能一部分提供给蓄电池，另一部分被电阻所消耗，整个电路遵守能量守恒定律。1.4电压源和电流源及其等效变换

1.4.1电压源

将实际的电源用一个电动势E和内阻R0相串联的理想电路元件的组合来表示，这种电路模型称为电压源模型，简称电压源。图1-14所示的电路是电压源与外电路的联接。图1-14电压源与外电路的联接电路中的电流I与电源的端电压U之间的关系，称为电源的伏安特性。直流电压源的伏安特性方程式为

U=E－R0I(1-18）

式中E和R0都是常数，故U和I之间的关系是线性关系。当电源开路时，I=0，U=E；当电源短路时，U=0，I=IS=E/R0。可以作出电压源的伏安特性曲线，如图1-15所示，它表明了电压源的端电压U与输出电流I之间的关系。图1-15电压源和理想电压源的伏安特性曲线图1-15表明，当输出电流I增大时，端电压U随之下降，这说明电压源外接负载的电阻越小，电源内电阻R0上的压降就越高，电源的端电压就越低。如果R0越小，则直线越接近水平线。在理想情况下，R0=0，它的伏安特性是一条平行于横轴的直线，表明负载变化时，电源的端电压U=E保持不变。这种端电压恒定、大小与负载无关、端电压不受输出电流影响的电压源称为理想电压源，其符号如图1-16所示。图1-16理想电压源模型1.4.2电流源

直流电压源的伏安特性方程U=E－R0I可变形为(1-19）式（1-19）表明，电源的输出电流等于一个恒定电流E/R0与一个可变电流U/R0的差，恒定电流等于电源的短路电流IS，可变电流部分可看成输出电压在内阻上引起的电流。即电源可以用一个电流为IS和内电阻R0相并联的理想元件的组合来表示。该电流源模型简称电流源。电流源与外电路的联接方式如图1-17所示。

式（1-19）又称为直流电流源的伏安特性方程式。式中IS和R0是常数，U和I之间的关系是线性关系。当电流源开路时，I=0，U=U0=ISR0；当电流源短路时，U=0，I=IS。可以作出电流源的伏安特性曲线，如图1-18所示，它表明了电流源的端电压U与输出电流I之间的关系。图1-17电流源与外电路的联接图1-18表明，R0越大，伏安特性曲线就越陡。在理想情况下，R0=∞，此时伏安特性曲线是一条平行于纵轴的直线，表明当负载变化时，电流源两端电压发生改变,但是电

流源的输出电流恒定，这种输出电流不受端电压影响的电流源称为理想电流源，其模型如图1-19所示。图1-18电流源和理想电流源的伏安特性曲线图1-19理想电流源模型［例1-4］求图1-20所示电路中的电流I和电压U。图1-20例1-4的电路［解］在图1-20（a）所示电路中，E1为一理想电压源，而理想电压源的端电压是恒定的，不受电流源IS影响，电压和电流为

U=8VA在图1-20（b）所示电路中，IS1为一理想电流源，而理想电流源的输出电流是恒定的，不受电压源E的影响，故电阻R上的电压和电流为

I=5AV1.4.3电压源与电流源的等效变换

实际电源可以用两种电路模型来表示，一种用理想电压源与内阻串联来表示，另一种用理想电流源与内阻并联来表示。对于外电路而言，只要电源的外特性相同，无论采用

哪种模型来计算外电路上的电流、电压，结果都会相同。因此两种模型是可以等效变换的。两种模型的参数对比如表1-1所示。在电压源与电流源作等效变换时还应注意以下几个问题：(1)所谓等效只是对电源的外电路而言，对电源内部而言是不等效的。例如当电流源外部电路开路时，外电路电流为零，但是内部仍有电流为IS，故内阻上有功率损耗；但当电压源开路时，整个电路电流为零，因此内阻上没有功率损耗。(2)理想电压源与理想电流源不能相互等效变换。

(3)变换时要注意两种电路模型的极性，电流源流出电流的一端与电压源的正极性端相对应。

(4)这种变换关系中，R0不限于内阻，而可扩展至任一电阻。凡是电流为IS的理想电流源与电阻R并联的有源支路都可以变换成电动势为E的理想电压源与某电阻R串联的有源支路，反之亦然。相互变换的关系是

E=ISR(1-20）［例1-5］已知两个电压源，如图1-21所示：E1=12V，R01=4Ω；E2=18V，R02=6Ω。它们同极性相并联。RL=5Ω，试求其等效电压源的电动势和内电阻R0以及RL的电流I和电压U。［解］根据电压源与电流源相互转换的原理，由E1与R01组成的电压源和E2与R02组成的电压源都可以转换为电流源，转换后的电路如图1-21(b)所示。图1-21例1-5的电路图1-21(b)中：AA将两个并联的电流源合并成一个等效电流源，如图1-21(c)所示。图1-21(c)中：等效电压源如图1-21（d）所示

E=ISR0=6×2.4=14.4V

R0=2.4Ω负载电流负载电压

U=RLI=5×1.95=9.75V1.5基尔霍夫定律

在介绍基尔霍夫定律之前，先介绍几个关于电路的常用名词。

（1）支路：电路中任一段通过相同电流而不分叉的电路分支，称为支路。图1-22中共有三条支路，BCD、BAF、BE都是支路。I1、I2、I3分别为这三条支路的支路电流。（2）节点：三条或三条以上支路的连接点称为节点。图1-22中有B、E两个节点。

（3）回路：电路中任一闭合路径称为回路。图1-22中CBEDC、BAFEB和CBAFEDC都是回路。

（4）网孔：内部不包含支路的回路称为网孔，图1-22有CBEDC、BAFEB两个网孔。

注意：如果一个电路的支路数目为m，节点数目为n，数学上可以证明，网孔数目为m－n+1个。图1-22基尔霍夫电流定律示例1.5.1基尔霍夫电流定律（KCL）

基尔霍夫电流定律反映了电路中节点所连接各支路电流之间的约束关系，反映了电流的连续性，简称KCL。该定律可叙述为：在任一瞬时，流入任一节点的电流之和必然等于流出该节点的电流之和。即

∑I入=∑I出

(1-21）对于图1-22所示电路中的节点B，应用基尔霍夫电流定律可写出

I1+I2=I3

也可改写为

I1+I2－I3=0

即

(1-22）［例1-6］如图1-23所示的电路，若电流I1=2A，

I2=4A，试求电流I3。

［解］假设一闭合面将三个电阻包围起来，如图1-23所示，则有

I1－I2+I3=0

所以

I3=－I1+I2=－2+4=2A

图1-23例1-6的电路［例1-7］在图1-24所示电路中，已知R1=4Ω,R2=8Ω，US=16V。求各支路电流。

［解］首先设定各支路电流的参考方向如图中所示，由于Uab=US=16V，根据欧姆定律，有对节点a列KCL方程，有

I2+I3－I1=0

于是

I2=I1－I3=4－(－2)=6A

图1-24例1-7的电路1.5.2基尔霍夫电压定律（KVL）

基尔霍夫电压定律反映了电路中任一回路各支路电压之间的约束关系。该定律可叙述为任一瞬时，沿任一闭合回路绕行一周，回路中各支路电压的代数和恒等于零。即

∑UK=0(1-23）

式中UK是组成该回路的各支路电压，K=1，2，…，n（设有n条支路组成该回路）。图1-24例1-7的电路图1-25是某电路的一部分，各支路电压的参考方向和回路的绕行方向如图所示，应用基尔霍夫电压定律，可以列出

UAB+UBC+UCD=－E1+I1R1+I2R2+E2－I3R3=0

将上式进行整理后可得

I1R1+I2R2－I3R3=E1－E2

即

∑RKIK=∑Ej(1-24）

式中,K=1，2，3，j=1，2。图1-25基尔霍夫电压定律示例［例1-8］图1-26所示某电路中的一个回路，部分元件参数及支路电流已在电路中标出，求未知参数R3及电压UBD。图1-26例1-8的电路［解］图中有两个未知电流I1和I2，分别在C点和D点应用KCL，可列出关系式

I1=2+(－4)=－2A

I2=I1+1=－2+1=－1A

回路的绕行方向如图所示，应用KVL列出回路电压方程，并将各数据代入方程为

12+2×1+(－2)R3+(－1)×1+8－5×(－2)=0整理得

R3=15.5Ω

对假想回路BCDB列KVL方程为

12+2+(－2)×15.5－UBD=0

整理得

UBD=－17V

［例1-9］图1-27所示的电路中，已知US1=15V，US2=6V，R1=6Ω，R2=9Ω,R3=10Ω,求Uab。图1-27例1-9的电路［解］电路中各支路电流的参考方向及回路的绕行方向如图所示，各支路电压与电流采取关联参考方向。

对节点c列KCL方程

I1－I2－I3=0

I3=0

对回路1列KVL方程

I1R1+I2R2－US1=0整理得

对回路2列KVL方程

I3R3－US2+Uab－I2R2=0

整理得

Uab=15V本章小结

本章着重理解和掌握的几个问题：

1.电路和电路模型

电路是由电源、负载和中间环节三部分组成的电流通路，它的作用是实现电能的输送和转换、电信号的传递和处理。电路有空载、短路、有载三种状态，使用电路元件必须注意其额定值，使其工作在额定状态。2.电流、电压、功率和电位

电流和电压是电路中的基本物理量，其参考方向和关联方向是两个很重要的概念。分析计算电路时，必须首先设定电流和电压的参考方向。参考方向一经选定，在解题过程中就不能更改。在关联参考方向下，功率P=UI；在非关联参考方向下，功率P=－UI。在关联参考方向下，P>0，表示电路消耗功率；P<0，表示电路提供功率。3.电流源和电压源

一个实际的直流电源可采用两种理论模型，即电压源模型和电流源模型，两者之间可以进行等效变换，其变换的条件是：IS=E/R0。它们之间的等效关系是对外电路而言的，对电源内部则是不等效的。4.基尔霍夫定律

基尔霍夫定律是分析电路元件间约束关系的基本定律，它分为电流定律（KCL）和电压定律（KVL）。

KCL适用于节点，其表达式为∑I=0，基本含义是任一瞬时流入任一节点的电流代数和等于零，体现了电流的连续性。KVL适用于回路，其表达式为∑U=0，表示任一瞬间，沿任一闭合回路，回路中各部分电压的代数和为零，体现了能量守恒。基尔霍夫定律具有普遍性，它不仅适用于直流电路，也适用于由各种不同电路元件构成的交流电路。这两个定律是分析电路的基础。

思考题与习题

1-1某有源支路接于U=220V的电源上，极性如图1-28所示，支路电阻为R0=1Ω，测得电路中的电流I=10A，试求：（1）此有源支路的电动势E；

（2）此支路是向电网输送电能还是从电网吸收电能，并写出功率平衡方程式。图1-28习题1-1的电路1-2某直流电源的额定功率PN=250W，额定电压

UN=50V，内阻R0=1Ω，负

载电阻R可以调节，如图1-29所示，试求：

（1）额定状态下的电流及负载电阻；

（2）空载状态下的电压；

（3）短路状态下的电流。图1-29习题1-2的电路1-3今有220V40W和220V60W的灯泡各一只，将它们并联接在220V电源上，哪个灯泡更亮？为什么？若串联后再接到220V电源上，哪个灯泡亮？为什么？

1-4如图1-30所示电路，各电流的参考方向已设定。已知I1=3A，I2=－1A，I3=－5A。试确定I1、I2、I3的实际

方向。图1-30习题1-4的电路1-5求图1-31所示各电路中的电压U和电流I。图1-31习题1-5的图1-6图1-32所示电路，试计算开关S断开和闭合时A点的电位VA。图1-32习题1-6的电路1-7电路如图1-33所示，求电流I和电压源的功率。图1-33习题1-7的电路1-8电路如图1-34所示，求电流I和电流源的功率。图1-34习题1-8的电路1-9简化图1-35所示的各网络为电压源。图1-35习题1-9的电路1-10如图1-36所示电路，求I1、I2、I3和U1、U2。图1-36习题1-10的电路1-11图1-37所示回路，已标明各支路电流的参考方向，试用基尔霍夫电压定律写出回路的电压方程。图1-37习题1-11的电路1-12图1-38所示电路中，若以B为参考点，求A、C、D三点的电位及UAC、UAD、UCD。若改C点为参考点，再求A、C、D三点的电位及UAC、UAD、UCD。图1-38习题1-12的电路1-13求图1-39所示电路中的电压UAB。图1-39习题1-13的电路1-14求如图1-40所示的电路中的Uab和I。图1-40习题1-14的电路1-15求图1-41所示电路中的电流I和电压U。图1-41习题1-15的电路1-16电路如图1-42所示，US1=12V,US2=9V,R1=6Ω,R2=R3=2Ω,求R3中的电流，并验证功率平衡。图1-42习题1-16的电路1-17电路如图1-43所示，分别以b、d为参考点，求其余各点的电位。图1-43习题1-17的电路第2章电路的分析方法2.1支路电流法2.2网孔电流法2.3节点电压法2.4叠加定理

2.5戴维南定理与诺顿定理本章小结思考题与习题2.1支路电流法

支路电流法的解题步骤如下：

(1)首先假定各支路电流的参考方向和绕行方向。

(2)如果电路有n个节点，根据基尔霍夫电流定律列出

n－1个独立的节点电流方程。

（3）如果电路有m条支路，根据基尔霍夫电压定律列出m－n+1个独立的回路电压方程。

（4）联立m个独立方程n－1+m－n+1=m，解方程组，求出m个支路电流。［例2-1］电路如图2-1所示，已知E1=70V，R1=20Ω，E2=40V,R2=10Ω，R=10Ω。试求各支路电流及各电源的功率。［解］先假定各支路电流的参考方向如图2-1所示。

根据基尔霍夫电流定律∑IK=0，列出节点电流方程。

图2-1所示的电路共有A和B两个节点。

对于节点A

I1+I3－I2=0（1）

对于节点B

I2－I1－I3=0

图2-1例2-1的电路将节点A的方程乘以－1，就是节点B的方程，因此，节点A与节点B的方程只有一个是独立的。对于节点电流方程，若电路有n个节点，则可以列出n－1个独立的节点电流方程。根据基尔霍夫电压定律∑RKIK=∑Ej，列出回路电压方程。同样，所列的回路电压方程应该是独立的，为此，选定的每一个回路必须至少包含一条新的支路。

选定回路Ⅰ和回路Ⅱ的循行方向如图2-1所示。

对于回路ⅠR1I1－RI3=E1（2）

对于回路ⅡRI3+R2I2=E2（3）将回路Ⅰ和回路Ⅱ的电压方程分别记作（2）式和（3）式。

本例中共有三条支路，相应的有三个待求电流I1、I2和I3，为了使待求的支路电流能够求解，需要三个独立的方程。联立（1）式、（2）式和（3）式，代入数据，解方程组，求出支路电流。

I1+I3－I2=0

20I1－10I3=70

10I3+10I2=－40解得

I1=2A,I2=－1A,I3=－3A

电压源E1吸收的功率为

P1=－E1I1=－70×2=－140W

电压源E2吸收的功率为

P2=E2I2=40×(－1)=－40W

三个电阻上消耗的功率分别为

I21R1=80W

I22R2=10W

I23R=90W［例2-2］电路如图2-2所示，已知E1=8V，R1=10Ω，E2=4V，R2=10Ω，IS=1A，求电路中各电源的功率及两电阻吸收的功率。

［解］假定各支路电流及电流源端电压的参考方向如图2-2所示。

根据基尔霍夫电流定律得

I1+IS－I2=0（1）

选定回路Ⅰ和回路Ⅱ的循行方向如图2-2所示。图2-2例2-2的电路根据基尔霍夫电压定律得:

回路Ⅰ

R1I1+U－E1=0（2）

回路Ⅱ

R2I2+E2－U=0（3）

联立方程（1）、（2）、（3），代入数据

I1+1－I2=0

10I1+U－8=0

10I2+4－U=0解方程组得

I1=－0.3A,I2=0.7A,U=11V

电压源E1吸收的功率为

P1=－E1I1=－8×(－0.3)=2.4W

电压源E2吸收的功率为

P2=E2I2=4×0.7=2.8W

电流源IS吸收的功率为

PS=－UIS=－11×1=－11W（实为发出功率）

两电阻吸收的功率为

P=I21R1+I22R2=(－0.3)2×10+0.72×10=5.8W

2.2网孔电流法

2.2.1网孔电流

网孔电流实际上是一种假想电流，所谓网孔是指平面电路（画在平面上不出现支路交叉的电路）中的一个回路，在它所包围的范围内不存在其他支路，如图2-3所示：有三

个网孔，沿着网孔内流动的电流Ia、Ib、Ic就是假想的网孔电流。网孔电流只在各自的网孔内流动，彼此各自独立无关。图2-3网孔电流电路从图2-3可以看出支路电流与网孔电流的关系[HJ*5/9]

I1=Ia

I2=Ia+Ic

I3=Ic

I4=Ib

I5=Ia－Ib

I6=Ib+Ic

2.2.2网孔电流方程

下面以图2-3所示电路为例列KVL方程

R1Ia+R5Ia+R2Ia－R5Ib+R2Ic－US1=0

R4Ib+R6Ib+R5Ib－R5Ia+R6Ic=0

R3Ic+R6Ic+R2Ic+R6Ib+R2Ia－US2=0整理后可进一步写为

(2-1）式(2-1)中，R11,R22,R33分别代表三个网孔的自阻之和，R11=R1+R5+R2，R22=R4+R5+R6，R33=R2+R3+R6，R12,R21,R13,R31,R23,R32为三个网孔的公共电阻，称为互阻。把上述结论推广到具有m个网孔的平面电路时，独立方程应为m个，即

(2-2）式（2-2）中，I1、I2、…、Im为网孔电流，R11、R22、…、Rmm为各自网孔的自阻，自阻总是正的。其他电阻为互阻（两个相关网孔的公共电阻）。［例2-3］电路如图2-4所示,应用网孔电流法求各支路电流。图2-4例2-3的电路［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-4所示。列出网孔电流方程

(2+3)I1－3I2=12

－3I1+(3+3+5)I2－5I3=－8

－5I2+(5+1.5)I3=8

解方程可得

I1=3A,I2=1A,I3=2A则各支路电流为

［例2-4］电路如图2-5所示，应用网孔电流法求各支路电流。

［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-5所示。将电流源两端电压U也作为变量，列出网孔电流方程

2I1－2I2=12－U

－3I2+(3+1)I3=6+U图2-5例2-4的电路解上面的三个方程得I1=7A，I3=6A,U=6V,则各支路电流为由上所述，将网孔电流法求支路电流的具体步骤归纳

如下：

(1)选定各个网孔电流的参考方向，它同时也是回路绕行方向。

(2）根据式（2-2）列网孔电流方程，自阻总是正的，互阻的正负要看公共电阻上的两网孔电流的方向是否一致。

(3）解方程组，求解网孔电流。(4）指定支路电流参考方向，通过相关网孔电流的代数和求解各支路电流。

(5）如果电路中存在电流源与电阻并联，可以先转化为电压源与电阻的串联后再列网孔电流方程。

(6）如果电路中的电流源没有电阻并联，可以根据电流源的电流与网孔电流的关系，也可以将电流源的电压作为未知量列补充方程求解。

2.3节点电压法

支路电流法直接利用支路电流作为未知量，有m条支路就需要列出m个方程，网孔电流法虽然可以减少n－1个方程，但是当电路的节点较少，网孔较多时也会比较烦琐，

节点电压法就是针对这种情况提出的一种改进分析法。如图2-6所示的电路有3个节点和4个网孔支路。若用网孔电流法需要列出4个方程，比较繁琐。选0为参考节点，设V0=0V，根据图示参考方向，由KCL和欧姆定律可得如下

公式

对节点1

I1+I2=I3+I4

对节点2

I4=I5+IS

图2-6节点电压法电路各支路电流整理得：

节点1节点2这就是以节点电压U1、U2为未知量的节点电压方程。上式还可进一步写为(2-3）其中,G11=G1+G2+G3+G4为与节点1相连的各支路电导的代数和，称为节点1的自导，G22=G4+G5为与节点2相连的各支路电导的代数和，称为节点2的自导，G12=G21=－G4为节点1、2间的互导。把上述结论推广到具有n个节点的电路时，节点方程(2-4）［例2-5］电路如图2-7所示，应用节点电压法求各支路电流。图2-7例2-5的电路［解］选定0为参考节点，参考电压为0V。对节点1和2列节点电压方程整理得

0.5U1－0.1U2=2，－0.1U1+0.3U2=8解得

U1=10V,U2=30V根据欧姆定律，各支路电流为当电路中某些支路只有电压源而没有电阻与其串联时，无法将其等效为电流源和电阻并联，在这种情况下：

（1）将电压源的一端作为参考节点，则电压源的另外一个节点的节点电压就为该电压源的电压。

（2）将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程，这样独立方程的个数和未知数相等，即可解出各未知量。［例2-6］电路如图2-8所示，应用节点电压法求各支路电流。

［解］选取节点0为参考节点，则支路30中电压源电压为已知，即U3=10V，因此不必对节点3列电压方程。设6V电压源的电流为I1。图2-8例2-6的电路对节点1和2列节点电压方程：整理得

解得

U1=2V,U2=8V,I1=7A根据欧姆定律，各支路电流为由上所述，将节点电压法求支路电流的具体步骤归纳

如下：

(1)选定参考点，一般设参考点电压为0V，其余各节点电压的参考方向均指向参考点。

(2）根据式（2-4）列节点方程，自导总是正的，互导总是负的。如果电路中存在电压源与电阻串联的支路，将其转化为电流源与电阻并联，流入该节点的电流取正号，流出取负号。(3）如果支路中的电压源没有电阻串联，将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程求解。

(4）解方程组，求出各节点电压。

(5）指定支路电流的参考方向，通过欧姆定律和KCL求解各支路电流。2.4叠加定理

［例2-7］电路如图2-9(a)所示。R1=R2=8Ω，R3=4Ω,US1=US2=12V，IS=2A,求电路中通过R3的电流IL。

［解］电路中共有三个电源。先考虑电流源单独作用，此时电压源视为短路，如图2-9(b)所示。图2-9例2-7的电路由图2-9(b)可知

R1∥R2∥R3=2Ω

则再考虑两个电压源单独作用，此时电流源视为开路，如图2-9(c)所示。由图2-9(c)可知叠加后得［例2-8］电路如图2-10(a)所示，求电压U1。图2-10例2-8的电路［解］这是一个含有受控源的电路。按叠加定理，分别作出电流源单独作用的电路如图2-10(b)所示，电压源单独作用的电路如图2-10(c)所示。

在图2-10(b)和图2-10(c)中，都将受控电压源保留在了原处，相应的控制量分别标为I′和I″。

对于图2-10(b)，根据基尔霍夫电流定律，可列出节点电流方程解得

I′=－0.6A

对于图2-10(c)，根据基尔霍夫电压定律，可列出回路电压方程

2I″+I″+2I″－10=0

解得

I″=2A

则有

I=I′+I″=1.4A使用叠加定理时应注意以下几点：

（1）叠加定理只适用于分析计算线性电路中的电压和电流，不适用于直接计算功率。

（2）叠加定理是反映电路中理想电压源或理想电流源所产生的响应，而不是实际电源所产生的响应，所以实际电源的内阻必须保留在原处。（3）叠加时应注意原电路中各电压和电流的参考方向。以原电路中电压和电流的参考方向为准，求其代数和。分

电压和分电流的参考方向与其一致时取正号，不一致时取

负号。

（4）每个电源单独作用时，不要改变电路的结构。不用的恒压源短路，不用的恒流源开路。2.5戴维南定理与诺顿定理

2.5.1戴维南定理

任何一个具有两个端点与外部相连接的电路，均为二端网络。如果二端网络中含有电流源或电压源，则被称为有源二端网络，不含电源的则被称为无源二端网络。图2-11(a)、(b)所示的两个网络都是已知电路结构的二端网络。图2-11(a)是无源二端网络，图2-11(b)是有源二端网络。图2-11无源二端网络和有源二端网络用戴维南定理解题的步骤如下：

（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电压源。

（2）求有源二端网络的两端点间开路电压U0，作为等效电压源的电动势，注意其参考方向。

（3）计算有源二端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电压源的内阻R0。

（4）将等效的电压源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。［例2-9］试用戴维南定理求解例2-1中通过电阻R的电流I。图2-12例2-9的电路［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电路如图2-12（a）所示。

（1）其理想电压源的电动势E为A、B两端的开路电压U0

故

E=U0=R2I2+E2=10×1+40=50V(2）内阻R0为A、B两端无源网络的入端电阻，这可由图2-12(b)求得。

图2-12(b)中（3）戴维南等效电路如图2-12(c)所示。通过电阻R的电流为［例2-10］电路如图2-13(a)所示，已知R1=4Ω，R2=8Ω，R3=2Ω，R4=4Ω，R5=4Ω，求通过电阻R5的电流I5。

［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电路可以改画为图2-13（a）。图2-13例2-10的电路（1）其理想电压源的电动势为A、B两端的开路电压U0，如图2-13（b）所示。

故

U0=R2I1－R3I2=8×1－2×2=4V（2）内阻R0为B、D两端无源网络的入端电阻，这可由图2-14(a)求得。

图2-14(a)中（3）戴维南等效电路如图2-14(b)所示图2-14例2-10的电路由图2-14(b)所示，需U0=0，由图2-13(b)可知则于是2.5.2诺顿定理

利用戴维南定理可以将有源二端网络用电压源来等效代替，而电压源与电流源可以等效变换，因此有源二端网络也可用电流源来等效代替。如图2-15所示，图2-15(a)的二端

网络可以变换成图2-15(b)的电流源。图2-15(b)中的IS=U/R0

即为网络的短路电流。这一关系可用诺顿定理叙述为：图2-15诺顿定理等效电路图用诺顿定理解题的步骤与戴维南定理类似：

（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电流源。

（2）将待求支路（负载）短路，求有源二端网络的短路电流IS，作为等效电流源中的恒定电流。

（3）计算有源二端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电流源的内阻R0。

（4）将等效的电流源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。［例2-11］用诺顿定理计算例2-10中流过R5的电流I5。图2-16例2-11的图［解］图2-16可以用图2-17所示的等效电路来表示。图2-17例2-11的电路（1）电流源的电流。如图2-16（a）所示（2）将电压源短路后，如图2-16（b）所示（3）诺顿等效电路如图2-17所示，则有2.5.3最大功率输出

根据戴维南定理，任何有源二端网络都可以用图2-18所示的电路等效。在电子测量线路中，电子设备所用电源不管内部电路多么复杂，对负载来说就是一个含源二端网络。

当负载不同时，它输出的功率也不同。在电子线路里人们总是希望使负载能获得较大的功率，那在什么样的条件下负载才能够获得较大的输出功率呢？图2-18最大功率传输如图2-18（b）所示的等效电路，负载RL从电源获得的功率为功率P为负载RL的函数。在RL=0时，P=0；RL→∞时，电流为0，功率P=0，可见RL从0增加的过程中，获得的功率必然有最大值。对上式求导当dP／dR=0时，功率有最大值，即R0=RL时，负载获得最大功率。最大功率公式为(2-5）［例2-12］如图2-19所示电路，U=12V，R1=R2=2Ω,负载何时获得最大功率？最大功率等于多少？电源的传输效率有多大？

［解］将图2-19（a）虚线框中的网络用戴维南等效电路表示，如图2-19（b）所示。

负载开路时电压为电压源短路时，戴维南等效电路内阻为

R0=R1∥R2=1Ω

则当RL=R0=1Ω时,获得功率最大。在图2-19（a）中，电压源的输出电流为电源输出效率为

本章小结

(1)支路电流法是求解电路的最基本的方法。它以支路电流为待求量，应用基尔霍夫定律列出电路方程。当电路有n个节点、m条支路时，可列n－1个独立的电流方程，然后

根据网孔可列出m－n+1个独立的电压方程，联立成为m个独立的方程组，即可解出m个支路电流。(2)网孔电流法，以网孔电流为未知量，当电路有n个

节点、m条支路时，可以列m－（n－1）个网孔的KVL方程，联立求解出网孔电流，然后根据网孔电流与支路电流的关系，求出支路电流。在节点多、回路少的电路里非常简捷。(3)节点电压法，以节点电压为未知量，当电路有n个节点、m条支路时，可以列n－1个节点电压方程，联立求解出节点电压，然后根据节点电压与支路电流的关系，求出支路

电流。在节点少、回路多的电路里非常简捷。(4)叠加定理反映了线性电路的基本性质。在线性电路中，多个独立电源（电压源或电流源）同时作用时，在任一支路产生的电压或电流，等于这些电源单独作用在该支路所

产生电压或电流的代数和。(5)戴维南定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为E的理想电压源和内阻R0串联的有源支路来等效代替，而对外电路的作用不变。戴维南定理常用于求解

某一支路的电流。

(6)诺顿定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为IS的理想电流源和内阻R0并联的有源支路来等效代替。思考题与习题

2-1电路如图2-20所示。

（1）说明电路的独立节点数和独立回路数；

（2）选出一组独立节点和独立回路，列出∑I=0和∑U=0的方程。图2-20习题2-1的图2-2如图2-21所示电路，试用支路电流法求电流I。图2-21习题2-2的图2-3在图2-22所示电路中，US1=12V，US2=8V，

R1=8Ω，R2=4Ω,R3=2Ω,试用电源模型的等效变换求R3中的电流，并验证功率平衡。图2-22习题2-3的图2-4电路如图2-23所示，已知E1=8V，E2=4V，E3=4V，R1=2Ω，R2=2Ω，R3=1Ω，求各支路电流。图2-23习题2-4的图2-5试用支路电流法求图2-24所示电路中的电流I1、I2。已知E1=12V,E2=4V,电阻R1=R2=2Ω,R3=1Ω。图2-24习题2-5的图2-6用网孔电流法求图2-25所示电路中的各支路电流。图2-25习题2-6的图2-7试用网孔电流法求图2-26电流I。图2-26习题2-7的图2-8试用节点电压法重求上题中的电流I。

2-9试用节点电压法求图2-27所示电路中各支路电流。图2-27习题2-9的图2-10试用节点电压法求图2-28所示电路中的各节点电压。图2-28习题2-10的图2-11