北工大材料力学课件第2章 轴向拉伸与压缩

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第二章

轴向拉伸与压缩AxialTensionandCompression

赠言：

博学之，审问之，慎思之，明辩之，笃行之。

子思《中庸》2轴向拉伸——轴力作用下，杆件伸长（简称拉伸）轴向压缩——轴力作用下，杆件缩短（简称压缩）§2-0概念及实例3

拉、压的特点：1.两端受力——沿轴线，大小相等，方向相反2.变形——沿轴线4得1．轴力截面法（截、取、代、平）

轴力

N（Normal）§2-1轴力与轴力图(Axialforcegraph)5轴力的符号

由变形决定——拉伸时，为正压缩时，为负

注意：1）外力不能沿作用线移动——力的可传性不成立

变形体，不是刚体2）截面不能切在外力作用点处——要离开作用点62．轴力图纵轴表示轴力大小的图（横轴为截面位置）例2-1求轴力，并作轴力图7§2-2拉（压）杆应力杆件1——轴力=1N,截面积=0.1cm2

杆件2——轴力=100N,截面积=100cm2

哪个杆工作“累”？不能只看轴力，要看单位面积上的力——应力怎样求出应力？

思路——应力是内力延伸出的概念，应当由

内力

应力8由积分得1）静力平衡截面各点应力的分布？因不知道，故上式求不出应力

要想另外的办法92）几何变形实验结果——变形后，外表面垂线保持为直线平面假设——变形后，截面平面仍垂直于杆轴推得：同一截面上

正应变等于常量希望求应力，如何由

应变应力103）本构关系(郑玄—Hooke

定律

)

应变应力

推得：或得应力11节点A得则kN（拉力）（2）计算MPa例2-2图示起吊三角架，AB杆由截面积10.86cm2

的2根解：（1）计算AB杆内力角钢组成，P=130

kN，

,求AB杆截面应力。12小结：（1）超静定（Hyperstatic)

静不定（Staticindeterminate)

（2）无穷次超静定（3）超静定——求解静力（平衡）变形（协调）物性（本构）13二、圣维南原理（Saint-Venantprinciple)

由来——应力均匀分布的范围多大？

(拉压公式适用范围）

法国科学家Saint-Venant指出：

距外力作用部位相当远处，应力分布同外力作用方式无关，只同等效力有关

外力等效性应力扩散性14三、应力集中（Stressconcentration)

应力均匀——相反小孔处与截面尺寸改变处，应力增大称为应力集中弹性力学计算实验测试（光弹性实验）15

四、斜截面上的应力

为什么研究它？

弄清楚截面方向对应力的影响

研究方法仿正截面应力公式去推导找出同正截面应力的关系

16（1）直接推导由平衡实验—等截面假定郑玄—胡克定律于是分解成正应力和剪应力，有17

正负号规定：

正应力—拉应力为正，压应力为负

切应力—自外法线n顺时针转向它，为正；逆时针为负18

（2）间接推导

取三角形微元由平衡得更为简单即19§2-3材料在拉伸时的力学性能由来

——

弹簧:力小时,正比关系力过大,失去弹性

郑玄-胡克定律反映的只是一个阶段的受力性能现在要研究材料的整个力学性能（应力——

应变）：理论上——用简单描述复杂工程上——为（材料组成的）构件当好医生从受力很小破坏20

一、低碳钢拉伸时的力学性能（含碳量<0.3%的碳素钢）要反映同试件几何尺寸无关的特性要标准化——

形状尺寸试件的加工精度试验条件

国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228-87）

试验仪器：万能材料试验机；变形仪（常用引伸仪）22试验方法——

拉力

P从0渐增

标距的伸长随之渐增

得曲线（拉伸图）23为使材料的性能同几何尺寸无关：

〈将

p除以

A〉

=名义应力

〈将伸长除以标距

〉=名义应变从而得应力应变图，即

曲线242526弹性阶段——延伸率——强化阶段——局部变形阶段——截面收缩率——屈服阶段——27这两个值——材料塑性标志卸载定律冷作硬化

值越大，塑性越强

对于低碳钢塑性

脆性

28三、其它材料拉伸时的力学性能1、塑性材料看书[P19]，观察各有几个阶段？没有明显屈服阶段的把塑性应变0.2%对应的应力——称为名义屈服极限，表示为292、脆性材料（铸铁）30铸铁拉伸时的力学性能1）应力—应变关系微弯曲线，没有直线阶段2）只有一个强度指标

结论——脆性材料

处理——以O-A割线的斜率作为弹性模量

A为曲线上1/4点3）拉断时应力、变形较小31三、材料在压缩时的力学性能

避免被压弯，试件一般为很短的圆柱高度/直径=1.5-31．低碳钢压缩时的曲线屈服前与拉伸时大致相同2．铸铁压缩时的曲线较小变形下突然破坏，破坏断面约45度3233

§2-4拉压杆的强度条件（Strengthcriterion)

对于拉压杆，学习了应力计算力学性能

如何设计拉压杆？——

安全，或不失效反面看：危险，或失效（丧失正常工作能力）（1）塑性屈服（2）脆性断裂34正面考虑——

应力为了——

安全，或不失效

(u

—Ultimate,n—

安全因数Safetyfactor)（1）塑性n=1.5-2.5

轴向拉伸或压缩时的强度条件——

许用应力(Allowablestress)——（2）脆性n=2-3.535安全因数——

不可知系数

它弥补如下信息的不足

（1）载荷

（2）材料性能（3）计算理论、模型或方法（4）结构的重要性或破坏的严重性36

强度条件可以解决以下问题：1）校核强度

2）设计截面

3）确定载荷 37

[P28]例题——自己做，再对书

例2.1

（1）支反力；（2）内力求法

例2.2

（1）轴力图；（2）拉、压分别选面积例2.3

拉、压分别算

安全功能是否完全保证？有时候虽然没有破坏，可是变形大，也不行——

还要保证不过度变形,即解决刚度问题

于是提出变形计算问题§2.5拉压杆变形（TensileorCompressiveDeformation）

前面从应力方面实现了安全功能

如何计算？因线应变是单位长度的线变形思路：线应变——

线变形

变形不超过限度

——

安全功能的第二个保证即解决了强度问题（不破坏）

待求——

杆的轴向总变形

伸长（Elongation）

拉应力为主导

缩短（Compression）

压应力为主导求解出发点——

线应变（1）平均线应变（此路不通）

（2）一点线应变（可行）一、轴向变形（AxialDeformation）任意x点处的纵向线应变另一方面，由本构关系

于是x

点处的微小变形为PQQP得到整个杆的纵向线变形

把所有点处的变形加起来（积分）（EA—

杆的抗拉压刚度）出发点3、阶段等内力（n段中分别为常量）

N(x)xdx2、变内力变截面

PP拉压杆的纵向线变形

拉压杆的刚度条件

1、等内力等截面横向线应变横向变形PPa´c´ca二横向变形（

LateralDeformation）泊松比（

Poisson’sRatio）

你观察到了吗？伴随杆的纵向伸长——横向收缩

你思考了吗？纵向伸长——横向收缩，有什么规律性？实验表明，对于某种材料，当应力不超过比例极限时泊松比是个小于1的常数

横向变形系数（或泊松比）——

横向应变（Lateralstrain）与纵向应变（Axialstrain）之比

如果你是19世纪初的善于思考者，该系数会以你的名字命名，而不是法国的泊松（SimonDenisPoisson，1781-1840）现在能想到——主观创造，意义也很大

1、怎样画小变形节点位移图？（2）严格画法——

弧线目的——

求静定桁架节点位移

（3）小变形画法——

切线三、小变形的节点位移——画法与解法ABCL1L2PC’’C’（1）求各杆的变形量△Li

解：变形图如图2，B点位移至B'点，由图ABCL1L2B'2、怎样计算小变形节点位移？

目前——几何学以后——计算机程序

例

写出图中B点位移与两杆变形间的关系例

截面积为76.36mm²

的钢索绕过无摩擦的定滑轮

P=20kN，求刚索的应力和

C点的垂直位移。（刚索的E=177GPa，设横梁ABCD为刚梁）解1）求钢索内力（ABCD为对象）2)钢索的应力和伸长分别为800400400DCPAB60°60°PABCDTTYAXACPAB60°60°800400400DAB60°60°DB'D'C3）变形图如左

C点的垂直位移为：§2.6拉压杆超静定问题1、问题的提出

两杆桁架变成三杆桁架，缺一个方程，无法求解一、超静定问题及其处理方法CPABD123CPAB12

三杆桁架是单靠静力方程求解不了的，称为

拉压杆截面上有无穷个应力，单凭静力平衡方程静不定（Staticindeterminate）——静力不能确定

超静定问题（Hyperstatic

）——超出了静力范围其实我们在拉压杆应力遇到过这类问题补充变形协调方程

不能求解——

超静定问题：建立本构（或物理）方程予以沟通结合平衡方程联立求解个性：杆件，桁架（杆件组合）2、超静定的处理方法

平衡方程变形协调方程本构方程共性：超静定问题——单凭静平衡方程不能确定出全部未知力（外力、内力、应力）例：求三杆桁架内力杆长L1=L2，

L3=L

面积A1=A2=A，A3

弹性模量E1=E2=E，E3CPABD123解(1)静力平衡方程——力学PAN1N3N2(3)本构方程——物理

（4）联立求解——代数解法一——力法：a、由几何和物理方程消除位移b、此方程于平衡方程是3个方程（含3个力未知量），解得CABD123A1(2)变形协调方程——几何解法二——混合法：a、由几何和物理方程消除N1和N2；

b、解3个方程（含1个力未知量，2个位移未知量）[P33-39]例2.4-2.9——自己做，再对书

例2.4（1）轴力图；（2）变形求和

例2.5定义

例2.6（1）应变定义；（2）略掉高阶项

例2.7微元当成等内力单元

例2.8（1）内力；（2）单独变形；（3）切线代弧

例2.9（1）刚体；（2）切线代弧

[P33-39]例2.4-2.9——自己做，再对书

例2.4（1）轴力图；（2）变形求和

例2.5定义

例2.6（1）应变定义；（2）略掉高阶项

例2.7微元当成等内力单元

例2.8（1）内力；（2）单独变形；（3）切线代弧

例2.9（1）刚体；（2）切线代弧（1）静力平衡方程——力学——原有基地3、超静定问题的解法（2）变形协调方程——几何——新开方向（3）材料本构方程——物理——构筑桥梁

（4）方程联立求解——代数——综合把握例木制短柱的四角用四个40

40

4的等边角钢加固，角

钢和木材的许用应力分别为[

]1=160MPa和[

]2=12MPa，

弹性模量分别为E1=200GPa

和E2=10GPa；求许可载荷P(2)变形方程(3)本构方程解：(1)平衡方程P1m250250PPy4N1N2（4）联立求解得（5）求结构的许可载荷

《方法1》角钢面积由型钢表查得

A1=3.086cm2P1m250250PPy4N1N2所以在△1=△2

的前提下，角钢将先达到极限状态，

即角钢决定最大载荷另外：若将钢的面积增大5倍，怎样？若将木的面积缩小10倍，又怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着《方法2》（2）变形方程解：（1）平衡方程2、静不定问题存在装配应力二、装配应力1、静定问题无装配应力

下图，3号杆的尺寸误差为

，求各杆的装配内力ABC12ABC12DA13dAA1（3）本构方程（4）联立求解A1N1N2N31、静定问题无温度应力。三、温度应力

下图，1、2号杆的尺寸及材ABC12BCAD123A12、静不定问题存在温度应力。料都相同，当结构温度由T1变到T2时,求各杆的温度内力（各杆线

膨胀系数分别为

i;△T=T2-T1)（2）变形方程解：（1）平衡方程（3）本构方程PAN1N3N2BCD123AA1BCD123AA1由变形和本构方程消除位移未知量联立求解得aa

aaN1N2

例阶梯钢杆的上下两端在T1=5℃时被固

定,上下两段的面积为

=cm2，

=cm2，

当温度升至T2=25℃时,求各杆的温度应力

弹性模量E=200GPa，线膨胀系数

=12.5×