北工大材料力学课件第9章 应力状态理论

赠言

君子之学必日新，日新者日进也。不日新者必日退，未有不进而不退者。

程灏、程颐

《二程集·河南程氏遗书》卷二十五第九章

应力状态理论

TheoryofStressState〈怎样导致---应力状态理论？〉

能算应力，会校核

弯单独扭弯+扭---怎么办？两个问题

应力叠加强度标准

应力状态理论强度理论FP材料力学体现了—

从拆到装的途径1、组合变形—

〈材料力学—

反映了“西方”思维的特点〉思维的差异

2、应力分析—

东方——

整体把握（中医为典型）

西方——

拆（局部）

装（整体）<分析><综合>拆成简单变形在点（微元）上分析

寻找整体危险点

应力叠加+应力分析

本章（应力状态理论）内容

应力状态的概念

二向（平面）应力状态的应力分析

应力圆

主应力、主应力迹线的概念

三向应力状态（简介）

复杂应力状态的变形

变形位能

§9.1应力状态的概念1、问题的提出

应力叠加后做什么事？简单变形弯--S截面危险--危险点点1点3扭--S截面危险--危险点(外圆周上的点)组合变形--危险截面？--危险点点1点3危险截面还是不是S截面？为此，要进行一点--应力--状态--分析2、基本概念

一点微元（有结构，不同于数学点）

应力六面体各面上皆有应力（正，切）微元或单元体

（Element）

无穷小正六面体dx，dy,dz

®0

状态

分析

一点可以用无穷个微元表示，找出之间应力的关系，称为应力状态分析分布--均匀对应量--

相等对面正应力邻面切应力微元或单元体

（Element）

无穷小正六面体dx，dy,dz

®0

3、结论（1）无穷个一点的应力状态不独立，可以相互表示（2）任一点都存在一个主单元体

（六个面只有正应力无切应力）（3）三种应力状态

（单向、二向、三向）

过一点不同方向面上应力的集合称之为这一点的应力状态

StateoftheStressesofaGivenPoint应力

哪一点？在哪一个面上？

那个面在哪个方位？要指明Three-Dimensional

State

of

Stresses三向（空间）应力状态yxzPlane

State

of

Stresses平面（二向）应力状态xyxyxy单向应力状态OneDimensionalStateofStresses纯剪应力状态

ShearingStateofStresses三向应力状态平面应力状态单向应力状态纯切应力状态特例特例§9.2

二向应力状态的应力分析分析方法：1解析法

2图解法

目的—用一点某个微元上的应力表示其它无限多微元上的应力

伴随结果应力极值

—主应力状态从一个斜截面的应力构造一个单元体的应力正值的正

应力

正应力符号规定拉为正压为负负值的正应力

切应力符号使微元顺时针转动为正反之为负角

符号yx由x轴逆时针转到x’轴（斜截面外法线）为正反之为负平衡对象——用a斜截面一、斜截面应力

平衡方程——

参加平衡的力——

应力乘以其作用的面积tyxdA

x’

y’截取的微元局部+sy[tdA(cos)xydA(sin)]sin-s+[-)cos(dAx

dA(sin

]

)

cosdA

s+tyxtyxdA

x’

y’18+[txydA(cos

)-sydA(sin

)]

cos-tdA+[sxdA(cos)-tyxdA(sin

)]sintyxdA

x’

y’最后，得到以下两个方程：用斜截面截取得到微元的另一截面的公式最后，得到以下四个方程将上式写成矩阵形式其中

ｘy＝

yｘ

上述表明：一点的应力状态，在不同坐标系中有不同的形式，但它们之间是可以转换的

——

称为

应力的坐标变换

简称应力变换

TransformationofStresses?韧性材料拉伸时为什么会出现滑移线低碳钢为什么脆性材料扭转沿45º螺旋面断开铸铁?x-y坐标系

x’－y’坐标系xp-yp坐标系

应力变换的实质——

同一点的应力状态可以有无穷种描述方式

二、应力极值由此得两个驻点：2p和两个极值：）、（0101aa+极值正应力就是主应力\=

00atxysxtxysyO

在切应力相对的方向上，且偏向于

x

及

y大的一侧222xyyxminmaxtsstt+-±=îíì

¢

¢）（syxytxyO主单元体sx例：分析受扭构件的破坏规律解：

确定危险点并画其原始单元体

求极值应力txyCtyxMCxyOtxytyx

破坏分析§9.3应力圆（

StressesCircle）为什么叫莫尔圆(Mohr’sCircle)

？首先由Otto

Mohr（1835-1918）提出

(又是一位工程师)《来由》

一点无穷多个微元上的应力能否在一张图上表示？或者说，as把

看成参数，能否找到与的函数关系？往下是关键的一步---平方和相加，得一、斜截面应力y0sytxysxsataaxtnsxtxysyxyO在-坐标系中，与落在一个圆上（应力圆或莫尔圆）圆心？—半径？—二、应力圆的画法第一种画法（1）在

轴上作出

A0(x,0),B0(y,0)

（2）A0,B0的中点为圆心C（3）过A0垂直向上取

xy

得

A，CA为半径0sataCA0B0AB（4）以C为圆心、CA为半径画圆第二种画法（1）坐标系内画出点

A(

x，

xy)

B(

y，

yx)

（2）AB与sa

轴的交点C是圆心（3）以C为圆心以AC为半径画圆——

应力圆或莫尔圆sxtxysyxyOnsataaA(sx,txy)OsataCB(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)以上由单元体公式应力圆（原变换）下面寻求：由应力圆单元体公式（逆变换）只有这样，应力圆才能与公式等价换句话，单元体与应力圆是否有一一对应关系？为什么说有这种对应关系？0sataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)E2a0单元体与应力圆的对应关系（1）单元体的右侧立面——

应力圆的A点（2

0）（2）斜截面和应力(

，

)

——

应力圆上一点D点和坐标(

，

)（3）单元体上夹角

——

应力圆上CA与CD夹角

2

且转向一致sxtxysyxyOnsataaOsataCA(sx,txy)B(sy,tyx)x2anD(sa,

ta)2a0（4）主单元体上

1所在面法向是由x轴逆时针转

0

——

轴上应力圆最右端四、应力极值A(sx,txy)COsataB(sy,tyx)x2a12a0s1s2s3五、平面应力状态的分析方法1、解析法

精确、公式不好记

——

7个

一般公式2个（正、切应力），极值应力5个（极大与极小正应力，极大与极小切应力，主单元体方位角）2、图解法

不必记公式、数值不精确有没有集二者优点、避二者缺点

的方法？我提出了这种方法——

3、图算法前半部——

画莫尔圆后半部——

看图精确计算例单元体上应力如图，求出主应力，画出主单元体3080单位：MPa8030OA(-80,30)BCD1、取的中点C为圆心

以AC为半径画莫尔圆2、算出心标0C=-40，半径3、算出主应力、切应力极值4、算出方位角5、画出主单元体（1）A点对应于右垂面（2）右垂面逆时针转OA(-80,30)BCD3080单位：MPa80

得主单元体的最大拉应力所在的面（3）垂直做主单元体的另一个面例求图示单元体的主应力及主平面的位置(单位：MPa)解：(1)主应力坐标系如图(3)AB的垂直平分线与sa

轴的交点C即是圆心，

以C为圆心，以AC为半径画圆

——

应力圆(2)在坐标系内画出点

1

2

0s3s1s2BACsata(MPa)(MPa)O20MPa(4)按图计算心标和半径

OC=(A横坐标

+B横坐标)/2=704532532595150°

1

0

2AB(5)计算主应力及方位角s3s1s2BACsata(MPa)(MPa)O20MPaEDF(6)在图上画主单元体、主应力§9.4

梁的主应力及其主应力迹线

梁发生横力弯曲，M与Q>0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置单元体上：qs15s31s3s13–45°2s1s3a0s34s1a0stA1A2D2D1COA2sD2D1CA1Ot2a0D2stD1CD1O2a0=–90°tsD2A1O2a0CD1A2stA2D2D1CA1O

主应力迹线（StressTrajectories)

主应力方向线的包络线——

曲线上每一点的切线都指示着该点的主拉应力（或主压应力）方位实线表示主拉应力迹线虚线表示主压应力迹线主应力迹线的画法xy11截面22截面33截面44截面ii截面nn截面bacdq

1

3

3

1§9.5

三向应力状态——应力圆法xyzs2s1s31、空间应力状态2、三向应力分析（1）弹性理论证明，图a单元体内任意一点任意截面上的应力都对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点（2）整个单元体内的最大剪应力为s1xyz图as2s3图btmax例求图示单元体的主应力和最大剪应力（MPa）解：(1)由上图知

yz面为主面之一（2）建立应力坐标系，画应力圆xyz504030ABC(M

Pa)sa（M

Pa

）tas1s2s3tmax§9.6

复杂应力状态下的单元体的变形

——（广义郑玄-虎克定律）一、单拉下的本构关系二、纯剪的本构关系xyzsxxyz

x

y三、复杂状态下的本构关系依叠加原理,得

xyzszsytxysx主单元体本构关系四、平面状态下的应力--应变关系s1s3s2

用应力表示应变

的本构关系三个弹性常数之间的关系五、体积应变与应力分量间的关系体积应变：

代入本构关系，得到

体积应变与应力分量间的关系:s1s3s2dxdzdy例构件表面上某点的两个面内主应变为

1=24010-6

2=–16010-6，E=210GPa，

=0.3，求该点的主应力及另一主应变故为平面应力状态例为测量薄壁容器所承受的内压力，用电阻应变片测得容器表面环向应变

t

=350×l06；容器平均直径

D=500mm，壁厚

=10mm，