湘豫名校联考高三上学期12月质量检测试题数学

湘豫名校联考高三上学期12月月考数学试题一、单选题1．已知，（为虚数单位，）．若，则的值为（

）A．2 B．1 C．1 D．22．已知，则的值是（

）A．20 B．80 C．160 D．2403．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则是（

）A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角4．已知集合，对于集合，若是的必要不充分条件，则集合可能是（

）A． B．C． D．5．从装有2个黑球和3个白球（球的大小、质地完全相同）的不透明袋子中随机取出2个球，已知3个白球的编号分别为1，2，5；2个黑球的编号分别为3，4．那么在取出的2个球的编号之和为奇数的情况下，取出的2个球为1个黑球和1个白球的概率为（

）A． B． C． D．6．如图，已知菱形的边长为，，点是对角线上靠近点的一个四等分点，点为边的中点，则（

）A． B． C． D．7．设点，和点均为曲线：上的点，且，若曲线在点处的切线与直线平行，且，则直线的方程为（

）A． B．C． D．8．在数列中，已知（，且），，则下列结论正确的是（

）A．，均小于，且的值比的值更接近B．，均大于，且的值比的值更接近C．介于，之间，且的值比的值更接近D．介于，之间，且的值比的值更接近二、多选题9．某同学在一次试验中，得到两个变量，的成对样本数据：，，⋯，，经对该组数据研究发现，变量，间具有线性相关关系，用最小二乘法求得的经验回归方程为．该同学给出如下结论，其中正确的结论有（）A．变量与具有正线性相关关系B．在实际问题中，解释变量每增加1个单位，响应变量一定相应增加个单位C．经验回归直线过样本点的中心D．散点图中的点中至少有一个点在经验回归直线上10．如图，在正三棱柱中，，点，，分别为棱，，的中点．则下列结论正确的是（

）A．平面B．直线与平面所成角的正弦值为C．三棱锥的表面积为D．三棱锥外接球的体积为11．已知平面直角坐标系中两定点，，及一动点，且点满足，过点且不垂直于坐标轴的直线与动点的轨迹交于，两点，记，分别为，的面积，则下列结论正确的是（

）A．点的轨迹所围成的面积为 B．C． D．三、填空题12．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，过右焦点的直线与双曲线的右支交于，两点，若线段的长等于的虚轴长的2倍，则的周长为．13．在数列中，已知其前项和则当为奇数时，．14．已知函数有两个不同的极值点，，且，其中是自然对数的底数，则实数的取值范围是．四、解答题15．已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，求的最大值．16．如图，在长方体中，，，，为线段的中点，为线段上的一点，且，．(1)求的值；(2)求平面与平面夹角的余弦值．17．某中学在举行的国庆文艺会演中穿插有奖答题活动，该活动设置，两个题箱，参与者可以任意选择从题箱或题箱中不放回地抽题作答，选择从其中一个题箱抽题作答后，不得再从另一个题箱中抽题作答．具体规则如下：①若从题箱中抽题作答，每位参与者均可抽取3道题作答，每答对1道题均可获得200元奖学金．②若从题箱中抽题作答，每位参与者每次只能抽取1道题作答，最多有两次抽题作答机会．若第一次抽取1道题没有答对，则有奖答题结束，不能获奖；若第一次抽取1道题并答对，则再由该参与者与主持人各掷一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽题作答，并规定：若两枚硬币都正面朝上，该参与者获得400元奖学金，不再进行第二次抽题作答，有奖答题结束，否则，该同学进行第二次抽题作答，如果答对，该参与者获得800元奖学金，有奖答题结束，如果没答对，该参与者不能获奖，有奖答题结束．假设参加有奖答题活动的甲同学答对题箱中每道题的概率均为，答对题箱中每道题的概率均为，且任意两题间的抽取、作答等环节都相互独立．(1)若甲同学选择从题箱中抽题作答，求甲同学获得的奖学金不少于400元的概率；(2)若甲同学通过掷一次一枚质地均匀的硬币的方式，事先确定是从题箱还是从题箱中抽题作答，如果硬币正面向上，则从题箱中抽题作答，否则，从题箱中抽题作答，试求甲同学获得的奖学金数额（单位：元）的数学期望．18．设椭圆：的两焦点分别为，，其中是坐标原点，为半焦距．(1)若为椭圆的右端点，且满足，求的值．(2)若直线：与椭圆存在交点，求使取得最小值时椭圆的方程．(3)已知点，对（2）中求得的椭圆，是否存在斜率为的直线与椭圆相交于不同的两点，，且线段的中点满足？若存在，求出该直线斜率的取值范围；若不存在，请说明理由．19．已知非常数函数的定义域为，且在其定义域内连续且可导，如果函数满足以下两个条件：①的导函数的值域满足；②函数的图象与的图象有交点，则称函数为定义在上的“踏线函数”．(1)求证：函数是定义在上的“踏线函数”．(2)若函数为定义在上的“踏线函数”，对任意实数，，，求证：当，且时，都有．(3)当时，试判断函数是否为定义在上的“踏线函数”？若是，求出，的取值范围；若不是，请说明理由．

参考答案1．A【详解】由题意得：，，解得.故选：A2．C【详解】展开式的通项为，又，所以，故.故选：C.3．C【详解】因为，，即点，所以是第三象限角.故选：C.4．D【详解】由若是的必要不充分条件，即得集合是集合的真子集．对于A，，集合不是集合的真子集，故A错误；对于B，，集合不是集合的真子集，故B错误；对于C，，集合不是集合的真子集，故C错误；对于D，，满足集合是集合的真子集，故D正确．故选：D.5．B【详解】设事件“取出的2个球的编号之和为奇数”，事件“取出的2个球为1个黑球和1个白球”，则从装有2个黑球和3个白球的不透明袋子中随机取出2个球，有，共10种情况，符合事件的有，共6种，符合事件的有，共6种，符合事件的有，共3种，故，故所求概率为.故选：B.6．D【详解】根据题意，点是对角线上靠近点的一个四等分点，所以，所以，又点为边的中点，所以，所以，又四边形为菱形，所以，，所以，又菱形的边长为，，所以.故选：D7．A【详解】曲线：，即，对求导得，已知在曲线上，且，则直线的斜率：，由于曲线在处的切线与平行，故切线斜率为1，由，得，代入得，即，由，得设，，向量，，由，得，即，化简得：即，化简得：解得（此时，与矛盾，故舍去）或或，设，则，代入即得，直线斜率为1，由点斜式，得，即．故选：A8．C【详解】因为，化简可得，已知，则，且，，代入，得，代入，得，发现比更接近，并且介于之间.故选：9．AC【详解】因为经验回归方程为，根据正线性相关关系的定义，当时，随的增大而增大，所以变量与具有正线性相关关系，故选项A正确.在实际问题中，解释变量每增加1个单位，响应变量的平均变化量为，但不一定增加个单位，因为经验回归方程是根据样本数据拟合的，存在一定的误差，故选项B错误.根据经验回归直线的性质，经验回归直线一定过样本点的中心，故选项C正确.散点图中的点不一定都在经验回归直线上，经验回归直线是根据样本数据拟合的，它不一定经过所有样本点，故选项D错误.故选：AC10．ABD【详解】对于A：取的中点，连接，因为分别为棱的中点，则，且平面，平面，可得平面，又因为分别为棱的中点，则，且平面，平面，可得平面，且，平面，可得平面平面，由平面可得平面，故A正确；对于B：取的中点，连接，因为为的中点，且为等边三角形，则，又因为平面，平面，则，且，平面，可得平面，又因为分别为的中点，则，可得平面，可知直线与平面所成角为，且，，，所以直线与平面所成角的正弦值为，故B正确；对于C：因为平面，平面，则，可得，则，可得所以三棱锥的表面积为，故C错误；对于D：取中点，连接，因为均为直角三角形，则，可知三棱锥外接球球心为，其半径，所以三棱锥外接球的体积为，故D正确.故选：ABD.11．BC【详解】对于A，设点，由得，化简，得，即，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，其面积为，故A错误；对于B，因为点是直线与动点的轨迹的交点，所以,即，故B正确；对于C，由B正确，得,在中，点在边上，根据角平分线定理的逆定理，可知直线平分，所以，故C正确，对于D，设点到直线的距离为，则.设，则.该比值不唯一，故D错误.故选：.12．20【详解】由双曲线：，则，因为线段的长等于的虚轴长的2倍，所以，即，根据双曲线的定义，可得，，所以的周长为：.故答案为：20.13．【详解】当时，，当时，且为奇数时，为偶数，所以，，所以，综上，14．【详解】，有两个不同的极值点，，，即，，，即异号，，，，即，设则，，，时，单调递增，时，单调递减，有最大值，，，两边取自然对数：，，恒成立．实数的取值范围是.故答案为：15．(1)(2)6【详解】（1）由图像可知：振幅；周期：图像中从到是半个周期，即，故；由，图像过，代入得，，即，又点在增区间内，故，。又，得.因此，.正弦函数的递减区间为，令，则解得，故的单调递减区间为.（2）已知，代入解析式得：则，，解得.因为是三角形内角，故.由余弦定理已知，，代入得由基本不等式，所以，当且仅当时取等号.故的最大值为6.16．(1)(2)【详解】（1）如图，以点为原点建立空间直角坐标系，则，故，，因为，所以，即，解得；（2）由（1）得，设平面的法向量为，则有，令，则，所以，因为轴平面，则可取平面的法向量为，故，所以平面与平面夹角的余弦值为．17．(1)(2)412【详解】（1）由题意，要使甲同学获得的奖学金不少于400元，则甲同学需要答对2道题或3道题，则甲同学获得的奖学金不少于400元的概率为.（2）由题意，的所有可能取值为，当时，甲同学从题箱中抽3题作答全答错或从题箱中抽题作答第一次答错、第一次答对第二次答错，则，当时，甲同学从题箱中抽3题作答且只答对1道题，则，当时，甲同学从题箱中抽3题作答且只答对2道题或从题箱中抽题作答第一次答对且没有进行第二次作答，则，当时，甲同学从题箱中抽3题作答且只答对3道题，则，当时，从题箱抽题，第一次答对，掷硬币未直接获奖，且第二次答对，则，所以.18．(1)(2)(3)【详解】（1）因为椭圆，由于，可得：椭圆的焦点在轴，即得：，，因此半焦距，又椭圆的右端点的坐标为，由，可得：.（2）根据椭圆定义，，因此要使最小，只需最小，即取得最小值.联立方程：，得：，整理得：.由于直线：与椭圆存在交点，因此可得：，整理得：，令，则不等式变为，解得：或，又，所以，即，可得.综上可得：，当且仅当时等号成立.所以当取得最小值时椭圆的方程为.（3）由（2）可知椭圆方程为，如图，设直线方程为，，，为的中点.联立方程：，得：，由于直线与椭圆交于不同两点，，所以.由韦达定理可得：，则，又，得：.由于，所以，即，整理得：，若时，恒不成立，故.又，代入可得，整理得，即，解得（无解）或，即得或.综上可得：直线斜率的取值范围.19．(1)证明见解析(2)证明见解析(3)不是【详解】（1）函数的定义域为，且连续可导，求导得，由于，故，即，因此的值域，满足条件①，令，计算得，，由零点定理知存在使得，即，故函数与有交点，满足条件②.综上，函数是定义在上的“踏线函数”.（2）因为是“踏线函数”，所以对任意，有，且，任取实数满足，（），由三角不等式得，当时，成立，当时，不妨，由于，故，故在上单调递增，所以，令，求导得：，因为，所以，所以在