初中数学七年级下册“图形的轴对称”单元复习导学案

初中数学七年级下册“图形的轴对称”单元复习导学案

一、课标分析、教材定位与核心素养目标

（一）【核心素养导向的课标分析】根据《义务教育数学课程标准（2022年版）》第四学段（7-9年级）的要求，本单元属于“图形与几何”领域的重要内容。课标不仅要求学生理解轴对称的基本概念和性质，更强调通过观察、操作、想象、推理等过程，发展学生的空间观念、几何直观和推理能力。复习课不应是简单的知识重复，而应致力于帮助学生构建结构化的知识体系，体会几何图形的研究方法（即“定义—性质—判定—应用”），感悟转化思想、模型观念在解决实际问题中的价值，从而达成从“学会”到“会学”再到“会用”的素养进阶。

（二）【单元知识定位与价值】“图形的轴对称”是初中几何变换体系的入门章节，也是后续学习等腰三角形的性质、特殊平行四边形（菱形、矩形、正方形）、圆以及中心对称、旋转等知识的基础。它不仅是认识图形特征的一种视角，更是解决线段相等、角相等、线段最短等问题的重要工具。本章内容承上启下，既有对小学阶段直观认识的深化，又为后续复杂的几何推理和变换学习奠定了方法论基础。

（三）【本复习课核心素养目标】

1.【基础】知识与技能：回顾并系统梳理轴对称、轴对称图形的基本概念，准确理解两者的区别与联系。熟练掌握线段、角、等腰三角形等基本图形的轴对称性及相关性质（如线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的“三线合一”）。

2.【重要】过程与方法：能够运用轴对称的性质解决几何图形中的最短路径问题（“将军饮马”模型）和折叠问题。通过动手操作（折纸、画图）、合作探究，经历知识网络建构的过程，进一步体会转化思想（如将折痕视为对称轴，将折叠前后的图形视为全等形）和模型思想。

3.【非常重要】情感态度与价值观：在解决变式问题和综合问题的过程中，培养逻辑思维的严谨性和克服困难的意志力。通过对生活中轴对称图案的分析与设计，感悟数学的对称美，提升用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界、用数学语言表达世界的能力。

二、课型与课时

【复习课】单元复习课。1课时。

三、知识结构梳理与核心概念辨析

（一）【知识网络建构——思维导图引路】请同学们课前独立完成或小组合作完成本章知识思维导图，课上选取优秀作品进行展示交流。思维导图应包含以下核心分支：

1.核心概念：轴对称图形与两个图形成轴对称。

2.要素与性质：对称轴（直线）、对应点（对称点）、对应线段相等、对应角相等。

3.重要模型与工具：

1.4.线段垂直平分线：性质（线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等）与判定。

2.5.角平分线：性质（角平分线上的点到角两边距离相等）与判定。

3.6.等腰三角形：轴对称性（顶角平分线所在直线为对称轴）、性质（等边对等角、“三线合一”）。

7.应用领域：尺规作图（作一条线段的垂直平分线、作一个角的角平分线、作轴对称图形）、图案设计、实际生活应用（最短路径、镜面成像）。

（二）【高频考点与难点辨析】

1.【基础】轴对称图形vs两个图形成轴对称：轴对称图形是一个图形自身的对称特性；两个图形成轴对称是指两个全等图形之间的相对位置关系。两者可以相互转化：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把轴对称图形沿对称轴分成的两部分看成两个图形，它们就关于这条直线成轴对称。其根本性质是相同的，即对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

2.【重要】对称轴的确定：不同图形的对称轴数量不同。线段有两条对称轴（一条是它所在的直线，另一条是它的垂直平分线）；角有一条对称轴（角平分线所在的直线）；等腰三角形（非等边）有一条；等边三角形有三条；正方形有四条；圆有无数条。

3.【难点】“三线合一”的准确使用：在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。这是一个重要的性质，常用于证明线段相等、角相等或两线垂直。使用前提必须是等腰三角形，且指的是“顶角”和“底边”。

四、教学实施过程（核心环节）

（一）课前自主诊断与知识唤醒（约5分钟）

【环节目标】通过基础性练习，激活学生已有的知识经验，诊断知识盲点，为课堂深度学习做好准备。

【教学活动设计】

教师活动：发放导学案，布置课前预习任务。任务包括完成知识网络图中的空缺部分，并尝试解决一组“诊断性”基础练习。

学生活动：独立完成导学案“课前准备”部分。

【导学案内容设计】

1.任务一：概念辨析填空。

1.2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形____，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做____，折叠后重合的点叫做____。

2.3.如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相____，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的____。

4.任务二：【基础】性质应用填空。

1.5.如图，△ABC和△A'B'C'关于直线l对称，若AB=5，BC=3，则A'B'=，B'C'=。若∠A=30°，则∠A'=____。

2.6.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____。

7.任务三：【重要】生活中的轴对称。

1.8.观察汽车车标（奥迪、大众、三菱等），判断哪些是轴对称图形，并指出它们的对称轴数量。

2.9.思考：在美术字中，有些字母是轴对称的，如A、H、M等，你还能举出哪些例子？

（二）课堂互动探究与思维深化（约30分钟）

1.【基础与重要】环节一：概念辨析与性质运用——“谁是火眼金睛”（约5分钟）

【环节目标】以小组竞赛形式辨析易混概念，快速回顾核心性质，活跃课堂气氛。

【教学活动设计】

教师活动：PPT展示一组判断题和选择题，要求学生以抢答或小组接龙的形式快速作答，并简述理由。

学生活动：积极参与抢答，对答错的题目进行辨析讨论。

【典型题目示例】

1.2.判断题：

1.2.3.（1）全等的两个图形一定成轴对称。（×，还需要位置关系）

2.3.4.（2）等腰三角形的对称轴是底边上的高。（×，对称轴是直线，应说“底边上的高所在的直线”）

3.4.5.（3）角的对称轴是它的角平分线。（×，是角平分线所在的直线）

5.6.选择题：

1.6.7.下列说法中，正确的是（）

A.若点P是线段AB的垂直平分线上的一点，则PA=PB。【非常重要】（√，线段垂直平分线性质）

B.若PA=PB，则过点P的直线是线段AB的垂直平分线。（×，缺少“垂直”或“过中点”）

C.若点P在∠AOB的平分线上，则P到OA、OB的距离不一定相等。（×，一定相等）

D.等腰三角形底边上的高、中线、顶角平分线不一定重合。（×，一定重合，前提是同一底边）

8.【非常重要与难点】环节二：专题突破——“轴对称中的最短路径问题”（“将军饮马”模型）（约12分钟）

【环节目标】引导学生经历从实际问题抽象为数学模型的过程，掌握利用轴对称将折线转化为直线的基本方法，体会转化思想和建模思想，培养几何直观和推理能力。

【教学活动设计】

教师活动：创设情境，引导学生分析问题，归纳模型特征，总结解题通法。

学生活动：独立思考，小组讨论，动手画图，展示交流，总结规律。

【教学实施步骤】

（1）情境引入（基础型）：如图，在直线l同侧有A、B两点，在直线l上求作一点P，使得PA+PB的值最小。

*问题1：如果A、B在直线l的异侧，你会找这个点P吗？（直接连接AB，与l的交点即为所求，依据是“两点之间线段最短”）。

*问题2：现在A、B在直线l的同侧，我们如何把它转化成熟悉的问题？（引导学生思考：如果能将同侧问题转化为异侧问题，就解决了。如何转化？——利用轴对称！作点A（或B）关于直线l的对称点A'，则对于直线l上的任意一点P，总有PA=PA'。这样，问题就转化为求A'B与l的交点，使得PA'+PB最小。）

*教师总结：【重要】“将军饮马”模型的核心是“化折为直”。其基本步骤是：先找出定点（两村），确定动点所在的直线（河），然后作其中一个定点关于直线的对称点，连接对称点与另一个定点，连线与直线的交点即为所求。

（2）变式拓展（拔高型）：

*变式一：如图，在∠AOB内部有一点P，在OA、OB上分别找点M、N，使得△PMN的周长最小。

（分析：分别作点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2，与OA、OB的交点即为M、N。此时PM+MN+PN=P1M+MN+P2N=P1P2，依据两点之间线段最短，周长最小。）

*变式二：如图，在∠AOB内部有两点P、Q，在OA、OB上分别找点M、N，使四边形PQNM的周长最小。

（分析：分别作点P关于OA的对称点P'，点Q关于OB的对称点Q'，连接P'Q'，与OA、OB的交点即为M、N。此时PQ+QM+MN+NP=PQ+Q'M+MN+NP'，当P'、N、M、Q'四点共线时，和最小。）

（3）【热点】实际应用：如图，一位将军从A地出发，先到一条笔直的河边l饮马，然后再到B地，问怎样走使总路程最短？请用数学语言描述并画出图形。

（让学生将实际问题抽象为数学问题，并应用上述模型解决。）

9.【非常重要与高频考点】环节三：综合应用——“折叠问题中的轴对称”（约8分钟）

【环节目标】折叠问题是考查轴对称性质的绝佳载体。通过探究折叠问题，让学生深入理解折叠的本质是轴对称，折叠前后的图形全等，折痕所在的直线就是对称轴，对应点的连线被折痕垂直平分。

【教学活动设计】

教师活动：展示一个典型折叠例题，引导学生分析折叠中的不变量和变量，寻找等量关系。

学生活动：独立尝试，小组交流，分享解题思路，提炼解题策略。

【导学案题目示例】

如图，将长方形纸片ABCD的一角折叠，使点D落在BC边的点F处，折痕为CE。

（1）【基础】指出图中所有相等的线段和相等的角。

（△CDE≌△CFE，因此CD=CF，DE=FE，∠DCE=∠FCE，∠CDE=∠CFE=90°）

（2）【重要】若AB=6，AD=10，求EF的长。

（分析：由长方形性质知，CD=AB=6，BC=AD=10。由折叠知CF=CD=6，则BF=BC-CF=10-6=4。在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AF。设EF=DE=x，则AE=AD-DE=10-x。在Rt△AEF中，利用勾股定理AF²+AE²=EF²，即可列出方程求解。此题综合考查了折叠性质、勾股定理和方程思想。）

【解题策略总结】解决折叠问题的关键：

1.10.第一步：找全对应元素。明确折叠前后哪些点、线段、角是重合的。

2.11.第二步：用全等。折叠前后的两个图形全等，得到对应边、对应角相等。

3.12.第三步：用对称轴。对称轴（折痕）是对应点连线的垂直平分线。

4.13.第四步：设未知数。将未知线段用未知数表示，利用勾股定理或相似等知识构建方程。

14.【跨学科视野】环节四：欣赏与设计——“对称之美”（约5分钟）

【环节目标】打破学科壁垒，引导学生欣赏和发现自然界、艺术、建筑、科学中的轴对称现象，理解对称不仅是数学概念，更是人类文化和自然界的普遍规律，提升审美情趣和综合素养。

【教学活动设计】

教师活动：多媒体展示一组图片，涵盖建筑（故宫、天安门、泰姬陵）、自然（蝴蝶、雪花、树叶）、艺术（剪纸、京剧脸谱、中西古典图案）、科学（晶体结构、分子模型）等领域。

学生活动：观察、欣赏、讨论，并尝试运用轴对称的知识，设计一个简单的轴对称图案。

【设计活动要求】请同学们利用轴对称的性质，在下面的网格中，以给定的基本图形（如一个半圆、一个三角形、一条线段）为基础，通过一次或多次轴对称变换，设计出一个富有创意的图案，并给图案赋予一个美好的寓意或名称。

（此环节旨在激发学生的创造力和想象力，让他们在实践中深化对轴对称的理解，感受数学的应用价值和文化魅力。）

（三）课堂达标检测与反馈矫正（约7分钟）

【环节目标】通过限时训练，检验学生对核心知识的掌握情况，及时发现并纠正存在的问题，实现“堂堂清”。

【教学活动设计】

教师活动：分发检测题，巡视指导，收集典型错误，进行针对性点评。

学生活动：独立完成检测题，完成后同桌互评或自评。

【导学案检测题设计】（建议5-7分钟完成）

1.【基础】（2分）点P(3,-2)关于x轴对称的点的坐标是______。

2.【重要】（3分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠B=50°，则∠BAD的度数为______。

3.【非常重要】（5分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长。

（分析：由DE垂直平分AC可得，AD=CD，AE=CE。△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=13cm。又∵AC=2AE=6cm。∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm。）

【讲评要点】针对第2题，重点强调等腰三角形“三线合一”性质的应用。针对第3题，重点强调垂直平分线性质的转化作用——将三角形的周长问题转化为已知线段和的问题。

（四）课堂小结与作业布置（约3分钟）

【环节目标】引导学生对本节课所学知识和方法进行反思总结，形成知识体系，明确后续学习方向。

【教学活动设计】

教师活动：引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结，并布置分层作业。

学生活动：回顾本节课内容，畅谈收获与困惑。

【课堂小结引导问题】

1.知识上：今天我们复习了哪些核心概念和性质？

2.方法上：解决最短路径问题的通法是什么？解决折叠问题的关键步骤有哪些？

3.思想上：我们主要运用了哪些数学思想方法？（转化思想、方程思想、建模思想、数形结合思想）

【作业布置】

1.【基础必做】完成课本复习题中与本讲内容相关的A组题目。

2.【拓展选做】完成导学案上的两道拓展思考题，尝试用多种方法解决。

3.【实践探究】利用轴对称知识，结合电脑绘图软件（如几何画板、GeoGebra）或手工剪纸，创作一幅精美的轴对称图案，下节课进行展示交流。

五、教学设计特色与教学反思

（一）【设计理念的先进性】

本教学设计严格遵循课程改革理念，以发展学生核心素养为导向，打破了传统复习课“知识罗列+题海战术”的桎梏。具体体现为：

1.大单元教学观：将本章知识置于整个初中几何体系中去考量，明确了其承上启下的地位和作用，教学设计有高度、有深度。

2.学生主体观：整个教学过程贯穿了“自主—合作—探究”的学习方式。从课前自主梳理，到课中小组辨析、合作探究、动手设计，学生始终是学习的主人。

3.深度学习观：不满足于知识的简单记忆和技能的机械训练，而是通过“将军饮马”、“折叠问题”等典型模型，引导学生深入探究问题的本质，感悟数学思想方法，实现了从知识到素养的跃升。

（二）【教学策略的精准性】

1.聚焦核心概念与难点：精准把握了本章的【高频考点】（如垂直平分线性质、等腰三角形性质）和【难点】（如“将军饮马”