九年级下册数学教案-全

几年级下册数学教案•全

.第二十六章二次函数

［本章知识要点］

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.

2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念.

3.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质.

4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.

5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.

会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决简

单的实际问题.

26.1二次函数

［本课知识要点］

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义.

［MM及创新思维］

(1)正方形边长为a(cm),它的面积s(cm2)是多少？

(2)矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长弓宽都增加x厘米，则面积增加y平

方厘米，试写出y与x的关系式.

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学

习一次函数概念的经验，给它下个定义.

［实践与探索］

例1.m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函

数？

分析若函数是二次函数，须满足的条件是：

解若函数是二次函数，则

解得，且.

因此，当，且时，函数是二次函数.

探索若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些

值？

例2.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数.

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(1)写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a(cm)之间的函数关系；

(2)写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函数关系；

(3)某种储蓄的年利率是1.98%,存入10000元本金，若不计利息，求本息和y(元)

与所存年数x之间的函数关系；

(4)菱形的两条对角线的和为26cm,求菱形的面积S(cm2)与一对角线长x(cm)之

间的函数关系.

解(1)由题意，得,其中S是a的二次函数;

(2)由题意，得,其中y是x的二次函数；

(3)由题意，得(xNO且是正整数)，

其中y是x的一次函数;

(4)由题意，得，其中S是x的二次函数.

例3.正方形铁片边长为15cm,在四个角上各剪去一个边长为x(cm)的小正方形，用

余下的部分做成一个无盖的盒子.

⑴求盒子的表面积S(cm2)与小正方形边长x(cm)之间的函数关系式；

⑵当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积.

解⑴：

(2)当x=3cm时,(cm2).

［当堂课内练习］

1.下列函数中，哪些是二次函数？

(1)(2)

(3)(4)

2.当k为何值时，函数为二次函数?

3.已知正方形的面积为，周长为x(cm).

⑴请写出y与X的函数关系式；

⑵判断y是否为X的二次函数.

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课后反思：形如的函数只有在的条件下才是二次函数.

§26.2用函数观点看一元二次方程（第一课时）

教学目标

（一）知识与技能

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.

2.理解二次函数与x地交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何

时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y二h（h是实数）交点的横坐标.

（二）过程与方法

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精

神.

2.通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一

步培养学生的数形结合思想.

3.通过学生共同观察和讨论.培养大家的合作交流意识.

（三）情感态度与价值观

1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创

造.感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，

2.具有初步的创新精神和实践能力.

教学重点

1.体会方程与函数之间的联系.

2.理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根.

3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y二h（h是实数）交点的横坐标.

教学难点

1.探索方程与函数之间的联系的过程.

2.理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.

教学过程

I.创设问题情境，引入新课

1.我们学习了一元一次方程kx+b=O（kWO）和一次函数y=kx+b（kWO）后，讨论了它

们之间的关系.当一次函数中的函数值尸0时，一次函数尸kx+b就转化成了一元一次方

程kx+b=O,且一次函数）尸kx+b（kNO）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程

kx+b=O的解.

现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0（aW0）和二次函数y=ax2+bx+c（aH0）,

它们之间是否也存在一定的关系呢？

2.选教材提出的问题，直接引入新课

II.合作交流解读探究

1.二次函数与一元二次方程之间的关系

探究：教材问题

师生同步完成.

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观察：教材22页，学生小组交流.

归纳：先由学生完成，然后师生评价，最后教师归纳.

III.应用迁移巩固提高

1.根据二次函数图像看一元二次方程的根

同期声

2.抛物线与x轴的交点情况求待定系数的范围.

3.根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况

IV.总结反思拓展升华

本节课学了如下内容：

1.经历了探索二次函数与一元：二次方程的关系的过程，体会了方程与函数之间的

联系.

2.理解了二次函数与x轴交点的个数

与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解了何时方程有两个不等的实根,两个相等的

实根和没有实根.

3.数学方法:分类讨论和数形结合.

课后反思：在判断抛物线与x轴的交点情况时，和抛物线中的二次项系数的正负有无关

系？

26.2二次函数的图象与性质（1）

［本课知识要点］

会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质.

［MM及创新思维］

我们已经知道，一次函数，反比例函数的图

象分别是、

,那么二次函数的图象是什么呢？

（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选

值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有

何共同点？有何不同点？

（1）（2）

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解列表

X•・・-3-2-10123•・・

•••188202818•••

・・.-18-8-20-2-8-18・・・

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图

26.2.1.

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点.

不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左

向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升.

的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自

左向右.1.升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降.

例2.已知是二次函数，且当时，y随x的增大而增大.

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴.

解（1）由题意，得，解得k=2.

（2）二次函数为，则顶点坐标为（0,0）,对称轴为y轴.

例3.已知正方形周长为Cem,面积为Scm2.

（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；

（2）根据图象，求出S=lcm2时，正方形的周长；

（3）根据图象，求出C取何值时，S>4cm2.

分析此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时,

自变量C的取值应在取值范围内.

解（1）由题意，得

列表：

C2468•••

14•・•

描点、连线，图象如图26.2.2.

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(2)根据图象得S=1cm2时，正方形的周长是4cm.

(3)根据图象得，当CN8cm时，S>4cm2.

(1)此图象原点处为空心点.

(2)横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S,不要习惯地写成x、y.

(3)在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分.

［当堂课内练习］

1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和

顶点坐标.

1)(2)(3)

(1)函数的开口,对称轴是，顶点坐标是

(2)函数的开口,对称轴是,顶点坐标是

3.已知等边三角形的边长为2x,请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的

草图.

课后反思：在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛

物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接.

26.2二次函数的图象与性质(2)

［本课知识要点］

会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？

,你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？

,那么与的图象之间又有何关系？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出函数与的图象.

解列表.

描点、连线，画

X・・・-3-2-10123

••・出这两个函数的

•••188建6%:唱页818•・•

・・・20104241020・・・

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图象，如图26.2.3所示.

回顾与反思当自变量x取同一数值时，这两个函

数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相

应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴

和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你

能由此说出函数与的图象

之间的关系吗？

例2.在同一直角坐标系中，画出函数

与的图象，并说明，

通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线

探索如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？

例3.一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是・2,且抛物线经过

点（1,1）,求这条抛物线的函数关系式.

解由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0,・2）,

因此所求函数关系式可看作又抛物线经过点（1,1）,

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所以解得

故所求函数关系式为

课后反思：(a、k是常数，a#))的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归

纳如下：

开口方向对称轴顶点坐标

26.2二次函数的图象与性质(3)

［本课知识要点］

会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所

得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一

试，你能从中发现什么规律吗？

［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

并指出它优的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解列表.

描点、连线，画出这三个函

数的图象，如图26.2.5所

示.

它们的开口方向都句上；对

称轴分别是y轴、直线x=-2

和直线x=2；顶点坐标分别

是

(0,0)，(-2,0),(2,

对于抛物线

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当X时，函数值y随X的增大而减小；当X时，函数值y随X的增大而增大;

当x时，函数取得最值，最值尸.

探索抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右

平移两个单位得到的.如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的

平移？

例2.不画出图象，你能说明抛物线与之间的关系吗?

解抛物线的顶点坐标为（0,0）；抛物线的顶点坐标为（-2,

0）.

因此，抛物线与形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y

轴和直线.抛物线是由向左平移2个单位而得的.

课后反思:（a、h是常数，a/））的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标

归纳如下:

开口方向对称轴顶点坐标

26.2二次函数的图象与性质（4）

［本课知识要点］

1.掌握把抛物线平移至+k的规律；

2.会画出+k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质.

［MM及创新思维］

由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数

的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数

的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数

的图象呢？

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［实践与探索］

例1.在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象.

,并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.

解列表.

描点、连线，画出

X・.・-3-2-10123・・・

这三个函数的图象，

如图26.2.6所示.

・.・201•.・

它们的开口方向都

向，对称轴分

・.・8202•••

别

为、、

••・60-20•••

,顶点坐标分

别为、、.请同学们完成填空，并观察三

个图象之间的关系.

探索你能说出函数+k（a、h、k是常数,

a#））的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写

下表.

开口方向对称轴顶点坐标

+k

例2.把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线

,求b、c的值.

分析抛物线的顶点为（0,0）,只要求出抛物线的顶点，根据顶

点坐标的改变,确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值.

解

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向上平移2个单位，得到

再向左平移4个单位，得到

其顶点坐标是,而抛物线的顶点为（0,0）,则

解得

探索把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线

,也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛

物线.那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试.

［当堂课内练习］

1.将抛物线如何平移可得到抛物线)

A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位

B.向左平移4个单位,再向下平移1个单位

C.向右平移4个单位,再向上平移1个单位

D.向右平移4个单位,再向下平移1个单位

2.把抛物线向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数

关系式为

3.抛物线可由抛物线向平移个单位，再向平移

个单位而得到.

课后反思：二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；

左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，

确定平移前、后的函数关系式及平移的路径.此外，图象的平移与平移的顺序无关.

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26.2二次函数的图象与性质（5）

［本课知识要点］

1.能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口

方向、对称轴和顶点坐标；

2.会利用对称性画出二次函数的图象.

［MM及创新思维］

我们已经发现，二次函数的图象，可以由函数的图象先向

平移个单位，再向平移个单位得到，因此，可以直接得出：函数

的开口，对称轴是，顶点坐标是.那么，对于任意一个二次函数，如

,你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象

吗？

［实践与探索］

例1.通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描

点画图.

解

因此，抛物线开口向下，对称轴是直

线x=l,顶点坐标为（1,8）.

由对称性列表：

X•••-2-101234•••

・・・-1006860-10•・・

描点、连线，如图26.2.7所示.

探索对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请

你完成填空：对称轴，顶点坐标.

例2.已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值.

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分析顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在X轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）

顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0.

解

则抛物线的顶点坐标是

当顶点在x轴上时，有

解得,

当顶点在y轴上时，有

解得或

所以，当抛物线的顶点在坐标轴上时，有三个值，分别是-2,4,

8.

［当堂课内练习］

1.（1）一次函数的对称轴是

（2）二次函数的图象的顶点是,当x时，y随x的增大而减

（3）抛物线的顶点横坐标是-2,则

2.抛物线的顶点是，则、c的值是多少？

课后反思：（1）列表时选值，应以对称轴x=l为中心，函数值可由对称性得到，.

（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然

后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点.

26.2二次函数的图象与性质（6）

［本课知识要点］

1.会通过配方求出二次函数的最大或最小值；

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2.在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际

问题中的最大或最小值.

［MM及创新思维］

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如

问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100

件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商

品单价每降低1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售

利润最大？

在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二

次函数.那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取

得最大值？你能解决吗？

［实践与探索］

例1.求下列函数的最大值或最小值.

(1)；(2)

分析由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，

所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值.

解(1)二次函数中的二次项系数2>0,

因此抛物线有最低点，即函数有最小值.

因为

所以当时，函数TF最小值是

(2)二次函数中的二次项系数-1V0,

因此抛物线有最高点，即函数有最大值.

因为=

所以当时，函数有最大值是

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探索试一试，当2.5<x<3.5时，求二次函数的最大值或最小值.

例2.某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量

y（件）之间关系如、表：

X（元）130150165

y（件）705035

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少

元？此时每FI销售利润是多少？

分析日销售利润=FI销售量x每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量.

解由表可知x+y=200,

因此，所求的一次函数的关系式为

设每日销售利润为s元，则有

因为，所以

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元.

回顾与反思解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所

得的函数，得出结果.

例3.如图26.2.8,在Rt/ABC中，ZC=90°,BC=4,AC=8,点D在斜边AB上，

分别作DE_LAC,DF1BC,垂足分别为E、F,得四边形DECF,设DE=x,DF=y.

（1）用含y的代数式表示AE；

A

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S,求S与x之间的函数关系,

出S的最大值.

解（1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此

BFC

（2）由〃，得，即，图2G.2.8

所以X的取值范围是

（3）

所以,当x=2时,S有最大值8.

［当堂课内练习］

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1.对于二次函数，当x=时，y有最小值.

2.己知二次函数有最小值-1,则a与b之间的大小关系是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定

3.某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加

盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬

衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？

（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？

课后反思：最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a>0有最小值，aVO有最大

值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值.

26.2二次函数的图象与性质（7）

［本课知识要点］

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式.

［MM及创新思维］

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能

求出函数关系式.例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要

两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如

果要确定一次函数的关系式，又需要几个条件呢？

［实践与探索］

例1.某涵洞是抛物线形，它的截面如图26.2.9所示，现测得

水面宽1.6m,涵洞顶点0到水面的距离为2.4m,在图中直角

坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线

为x轴，建立了直用坐标系.这时，涵洞所在的抛物线的顶点在

原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是

.此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的

函数关系式.

解由题意，得点B的坐标为（0.8,-2.4）,

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得

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所以

因此，函数关系式是

例2.根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式.

（1）已知二次函数的图象经过点A（0,-1）、B（1,0）、C（-1,2）；

（2）已知抛物线的顶点为（1,-3）,且与y轴交于点（0,1）；

（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3,0）、（5,0）,且与y轴交于点（0,-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3,-2）,且与x轴两交点间的距离为4.

分析（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的

形式；（2）根据己知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据

抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函

数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；14）根据

已知抛物线的顶点坐标（3.-2）,可设函数关系式为，同时可知抛物

线的对称轴为x=3,再由与x轴两交点间的距离为4,可得抛物线与x轴的两个交点为

（1,0）和（5,0）,任选一个代入，即可求出a的值.

解（1）设二次函数关系式为，由已知，这个函数的图象过（0,-1）,

可以得到c=・l.又由于其图象过点（1,0）、（-1,2）两点，可以得到

解这个方程组，得

a=2,b=-I.

所以，所求二次函数的关系式是,

（2）因为抛物线的顶点为（1,-3）,所以设二此函数的关系式为，

又由于抛物线与y轴交于点（0,1）,可以得到

解得

所以，所求二次函数的关系式是

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（3）因为抛物线与x轴交于点M（-3,0）、（5,0）,

所以设二此函数的关系式为

又由于抛物线与y轴交于点（0,3）,可以得到

解得

所以，所求二次函数的关系式是

（4）根据前面的分析，本题已转化为与（2）相同的题型，请同学们自己完成.

回顾与反思确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系

式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则.二次函数的关系式

可设如下三种形式：

（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求.

（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来

求.

（3）交点式：，给出三点，其中两点为与x轴的两个交点

时可利用此式来求.

26.3实际问题与二次函数

［本课知识要点］

会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义.

［MM及创新思维］

生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的

赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相

关.你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？

［实践与探索］

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解如图，铅球落在x轴上，则y=0,

因此，

解方程，得（不合题意，舍去）.

所以，此运动员把铅球推出了10米.

探索此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情

境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m,铅球落地点距铅球刚出手时相应的地

面上的点10m,铅球运行中最高点离地面3m,已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函

数关系式.你能解决吗？试一试.

例2.如图26.3.2,公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱

子OA,水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设

计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.

（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能

使喷出的水流不致落到池外？

（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为

3.5m,要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少

米？（精确到0.1m）

分析这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题

首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26.3.3,我

们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解

决问题.

解（1）以O为原点，OA为y轴建立坐标系.设抛物线顶点

为B,水流落水与x轴交点为C（如图26.3.3）.

由题意得，A（0,1.25）.B（1,2.25）,

因此，设抛物线为

将A（0,1.25）代入上式，得

解得

所以，抛物线的函数关系式为.

当y=0时，解得x=-0.5（不合题意，舍去），x=2.5,

所以C（2.5,0）,即水池的半径至少要2.5m.

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（2）由于喷出的抛物线形状与（1）相同，可设此抛物线为

由抛物线过点（0,1.25）和（3.5,0）,可求得h=-l.6,k=3.7.

所以，水流最大高度应达3.7m.

［当堂课内练习］

1.在排球赛中，一队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9

米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直

接把球打出边线？

2.在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2.5米，与球圈中心的水平

距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米.设篮球运行轨迹为抛物线，

球圈距地面3米，问此球是否投中？

26.3实际问题与二次函数（2）

［本课知识要点］

（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系.

［MM及创新思维］

给出三个二次函数：（1）(2)；(3)

它们的图象分别为

象与x轴的交点个数与什么有关吗？

另外，能否利用二次函数的图象寻找方程,不

等式或的解？

［实践与探索］

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例1.画出函数的图象，根据图象回答下列问题.

(1)图象与X轴、y轴的交点坐标分别是什么？

(2)当x取何值时，y=0?这里x的取值与方程有什么关系？

(3)x取什么值时，函数值y大于0?x取什么值时，函数值y

小于0?

解图象如图26.3.4,

(1)图象与x轴的交点坐标为(-1,0)、(3,0),与y轴的

交点坐标为(0,・3).

(2)当x=-l或x=3时，y=0,x的取值与方程

的解相同.

(3)当xV-1或x>3时，y>0；当-1VXV3时，y<0.

例2.(1)已知抛物线，当k=

时，抛物线与x轴相交于两点.

(2)已知二次函数的图象的最低点在x轴上,则a=

(3)已知抛物线与x轴交于两点A(a,0),B(。，0),且

,则k的值是

分析(1)抛物线与x轴相交于两点，相当于方程

有两个不相等的实数根，即根的判别式,>0.

(2)二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程

的两个实数根相等，即/=o.

(3)已知抛物线与x轴交于两点A(a,0),B(p,0),即

c、。是方程的两个根，又由于，以及

，利用根与系数的关系即可得到结果.

请同学们完成填空.

回顾与反思二次函数的图象与x轴有无交点的问题，可以转化为一元二次方程有无实数

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根的问题，这可从计算根的判别式入手.

例3.已知二次函数，

（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；

（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？

分析（1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与

x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即

zi>0.

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数

根，因而必须符合条件①/>0,②.综合以上条件，可解得

所求m的值的范围.

（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一

负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①/>0,②

解（1）/=，由，得，所以

/>0,即不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点.

（2）由，得；由，得；又由

（1）,/>0,因此，当时，两个交点都在原点的左侧.

（3）由，得m=2,因此，当m=2时，二次函数的图象的对称轴是y

轴.

探索第（3）题中二次函数的图象的对称轴是y轴，即二次函数

是由函数上下平移所得，那么，对一次项系数有何

要求呢？请你根据它入手解本题.

［当堂课内练习］

1.已知二次函数的图象如图，

则方程的解是，

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不等式的解集是

不等式的解集是

2.抛物线与y轴的交点坐标为,与x轴的交点坐标为

3.已知方程的两根是，则二次函数与x轴的两

个交点间的距离为

4.函数的图象与x轴有且只有一个交点，求a的值及交点坐标.

课后反思：（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解

决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决.

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点,

再根据交点的坐标写出不等式的解集.

第二十六章小结与复习

一、本章学习回顾

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

3.需要注意的问题

在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用

待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都

体现了数形结合的思想。

27.1图形的相似（第1课时）

教学目标

1.掌握相似多边形的