【高考数学】2026届一轮专题复习：2年高考1年模拟 三角函数的周期性、奇偶性及对称性 含答案

/“2年高考1年模拟”课时精练（三十）三角函数的周期性、奇偶性及对称性1.函数y=12sin12xA.4π B.3π C.2π D.π2.已知函数f(x)=sinxcos(2x+φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ=()A.0 B.π4C.π2 D.3.(2025·湖南联考)函数f(x)=sin(x+φ)cos(x+φ)的图象的一条对称轴方程是x=-π4，则φ的最小正值为()A.π6 B.πC.π3 D.4.已知函数f(x)=2sinωx+φω>0，0<φ<π2的图象的相邻两个零点的距离为π2，且f0A.2sinx2−π4 C.2sin2x+π4 5.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x−πA.f(x)与g(x)有相同零点B.f(x)与g(x)有相同最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴6.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ>0)的最小正周期为π，当x=60743π时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(-2)<f(0)<f(2)C.f(0)<f(2)<f(-2)D.f(2)<f(0)<f(-2)7.记函数f(x)=cosωx+π4+bω>0的最小正周期为T.若4π5<T<π，且y=f(x)的图象关于点3π2A.1 B.3C.52 D.8.[多选]已知f(x)=sinωx+π3+φω>0，φA.φ=πB.若gx的最小正周期为3π，则ω=2C.若gx在区间0，π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为7D.若gπ4=32，则9.已知函数f(x)=sinπx+cosπx，则f(x)的最小正周期是.

10.已知函数f(x)=cosωx-sinωx(ω>0).若fπ6=f2π3，且f(x)在区间π6，2π311.若x=π8是函数f(x)=2sinωx−π4(x∈R)的一个零点，且0<ω<10，则函数f(12.已知函数f(x)=asinωx-cosωx(a>0，ω>0)的最大值为2，则a=，若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=πm，m∈N*，则当ω取最小整数时，函数f(x)在(0，10)之间取得最大值的次数为13.已知函数f(x)=4sinωxsinωx+π3-1((1)求ω及f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)图象的对称中心.14.已知函数f(x)=sin2x-3cos2x，x∈R.(1)若h(x)=f(x+t)的图象关于点−π6，0对称且t∈(2)当x∈π4，π2时，不等式|f(x)-m15.已知函数f(x)=cosωxcosωx+π3+a(ω>0)的最小正周期为π，且f((1)求ω和a的值；(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间−π3，π3内有且仅有两个零点x1，x2，求m的取值范围及f(x1

（解析）精练（三十）三角函数的周期性、奇偶性及对称性1.函数y=12sin12xA.4π B.3π C.2π D.π解析:选A函数y=12sin12x+π3的最小正周期是T2.已知函数f(x)=sinxcos(2x+φ)(φ∈[0，π])为偶函数，则φ=()A.0 B.π4C.π2 D.解析:选C∵f(x)的定义域为R，且为偶函数，∴f−π2=fπ2⇒-cos(-π+φ)=cos(π+φ)⇒cosφ=-cosφ⇒cosφ=0.∵φ∈[0，π]，∴φ=π2.当φ=π2时，f(x)=-sinxsin23.(2025·湖南联考)函数f(x)=sin(x+φ)cos(x+φ)的图象的一条对称轴方程是x=-π4，则φ的最小正值为()A.π6 B.πC.π3 D.解析:选Df(x)=sin(x+φ)cos(x+φ)=12sin(2x+2φ)，因为f(x)图象的一条对称轴方程是x=-π4，所以2×−π4+2φ=π2+kπ(k∈Z)，解得φ=π2+kπ2(k∈Z)4.已知函数f(x)=2sinωx+φω>0，0<φ<π2的图象的相邻两个零点的距离为π2，且f0A.2sinx2−π4 C.2sin2x+π4 解析:选C因为f(x)的图象的相邻两个零点的距离为π2，且ω>0，所以T=2πω=π2×2=π，可得ω=2，所以f(x)=2sin2x+φ.又因为f0=2sinφ=2，即sinφ=22，且0<φ<π2，可得φ=5.(2024·新课标Ⅱ卷)[多选]对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x−πA.f(x)与g(x)有相同零点B.f(x)与g(x)有相同最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴解析:选BC令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2，k∈Z，即为f(x)的令g(x)=sin2x−π4=0，解得x=kπ2+π8，k∈Z，即为g(x)的零点，显然f(x)，显然f(x)max=g(x)max=1，故B正确.f(x)，g(x)的最小正周期均为2π2=π，故C正确根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4(k∈Z)，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8(k∈Z)，显然f(6.(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ>0)的最小正周期为π，当x=60743π时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是()A.f(2)<f(-2)<f(0)B.f(-2)<f(0)<f(2)C.f(0)<f(2)<f(-2)D.f(2)<f(0)<f(-2)解析:选A由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，φ>0)的最小正周期为π，得ω=2，而x=60743π=2024π+2π3，则函数f(x)在x=2π3取得最小值，于是2·2π3+φ=3π2+2kπ，k∈N，即φ=π6+2kπ，k∈N，因此函数f(x)=Asin2x+π6+2kπ=Asin2x+π6(A>0)，而f(-2)=Asin−4+π6=Asinπ6−4+2π，f(2)=Asin4+π6，f(0)=Asinπ6=Asin5π6.又π2<7.记函数f(x)=cosωx+π4+bω>0的最小正周期为T.若4π5<T<π，且y=f(x)的图象关于点3π2A.1 B.3C.52 D.解析:选B由4π5<T<π可得4π5<2πω<π⇒2<ω<52.由y=f(x)的图象关于点3π2，2中心对称可知b=2且f所以cos3π2ω+π4=0⇒3π2ω+π4=故ω=16+23k.由ω∈2，52可得k∈114，72，由于k∈Z，故取k=3，则ω=136.故f(x)=cos136x+8.[多选]已知f(x)=sinωx+π3+φω>0，φA.φ=πB.若gx的最小正周期为3π，则ω=2C.若gx在区间0，π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为7D.若gπ4=32，则解析:选AB∵f(x)=sinωx+π3+φω>0，φ<π2为偶函数，∴π3+φ=π2+kπ，若g(x)的最小正周期为3π，由gx=sin(ωx+φ)，得T=2πω=3π，∴ω=23∵x∈0，π，ωx+π6∈π6，ωπ+π6，若gx在区间0，π上有且仅有3个最值点，则5π2<ωπ+π∵gx=sinωx+π6，∴gπ4=sinωπ4+π6=32，∴ωπ4+π6=π3+2kπ，或ωπ4+π6=2π3+2kπ，∴ω=29.已知函数f(x)=sinπx+cosπx，则f(x)的最小正周期是.

解析:因为函数f(x)=sinπx+cosπx=2sinπx+π4，所以f(x)的最小正周期为T答案:210.已知函数f(x)=cosωx-sinωx(ω>0).若fπ6=f2π3，且f(x)在区间π6，2π3解析:因为f(x)=cosωx-sinωx=2cosωx+π4，且f(x)在区间π6，2π3上恰有两个极值点，且fπ6=f2π3，所以f(x)的最小正周期T=2π3-π6=π2，即2πω答案:-111.若x=π8是函数f(x)=2sinωx−π4(x∈R)的一个零点，且0<ω<10，则函数f(解析:依题意知fπ8=2sinωπ8−π4=0，即ωπ8-π4=kπ，k∈Z，整理得ω=8k+2，k∈Z.又因为0<ω<10，所以0<8k+2<10，得-14<k<1.而k∈Z，所以k=0，ω答案:π12.已知函数f(x)=asinωx-cosωx(a>0，ω>0)的最大值为2，则a=，若函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=πm，m∈N*，则当ω取最小整数时，函数f(x)在(0，10)之间取得最大值的次数为解析:由已知，函数f(x)=asinωx-cosωx=a2+1sin(ωx-φ)，其中tanφ=1a，由于f(x)的最大值为2，所以a2+1=2，得a=3(a=-3舍去).tanφ=13，取φ=π6，则f(x)=2sinωx−π6，由ωx-π6=kπ+π2，得ωmπ=kπ+2π3，即ω=mk+23，k∈Z.由于m∈N*，则正数ω的最小整数值为2，从而f(x)=2sin2x−π6.当2x-π6=π2+2kπ，k∈Z，即x=π3+kπ，k∈Z时，函数f(x)取得最大值，若k=0，则x=π3∈(0，10)；若k=1，则答案:3313.已知函数f(x)=4sinωxsinωx+π3-1((1)求ω及f(x)的单调递增区间；(2)求f(x)图象的对称中心.解:(1)f(x)=4sinωx12sinωx+32cosωx-1=2sin2=1-cos2ωx+3sin2ωx-1=3sin2ωx-cos2ωx=2sin2ωx∵最小正周期为π，∴2π2∴ω=1，∴f(x)=2sin2x令-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ，解得-π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为−π6+(2)令2x-π6=kπ，k∈Z，解得x=π12+kπ2∴f(x)图象的对称中心为π12+kπ14.已知函数f(x)=sin2x-3cos2x，x∈R.(1)若h(x)=f(x+t)的图象关于点−π6，0对称且t∈(2)当x∈π4，π2时，不等式|f(x)-m解:(1)因为f(x)=sin2x-3cos2x=212sin2x所以h(x)=2sin2x令2×−π6+2t-π3=kπ(得t=kπ2+π3(k又t∈(0，π)，故t=π3或t=5π(2)当x∈π4，π2时，2x-所以f(x)∈[1，2].又|f(x)-m|<3，即f(x)-3<m<f(x)+3，所以2-3<m<1+3，即-1<m<4.故实数m的取值范围是(-1，4).15.已知函数f(x)=cosωxcosωx+π3+a(ω>0)的最小正周期为π，且f((1)求ω和a的值；(2)若函数g(x)=f(x)-m在区间−π3，π3内有且仅有两个零点x1，x2，求m的取值范围及f(x1解:(1)由f(x)=cosωxcosωx+π3+a=cosωxcosωxcosπ3−