两角和与差正切公式的应用高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/两角和与差正切公式的应用高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知，则（

）A． B． C． D．2．已知，，，则（

）A． B． C． D．3．若锐角，满足，，则（

）A． B． C． D．4．设，，则的值是（

）A． B． C． D．5．已知在中，，，则的值为（

）A． B． C．2 D．6．已知，则的最小值为（

）A．3 B．5 C．9 D．257．已知，则（

）A． B． C． D．二、多选题8．下列式子运算正确的有（

）A． B．C． D．9．已知双曲线的左、右顶点分别为A，B，点P是该双曲线在第一象限上的点，且直线PA，PB的倾斜角分别为α，β，则（

）A．B．的最小值为C．点P横坐标逐渐变大时，逐渐变小D．取得最小值时，的面积为三、填空题10．已知，，则.11．已知角为第二象限角，，角为第四象限角，，则的值为．12．已知，，，则.13．已知，，，则的最大值为.14．已知为锐角，若存在，使得，则的取值范围是.15．已知，则.16．已知三棱锥的体积为，，，，与的周长均为10，则．四、解答题17．证明：(1)当（）时，；(2)当（）时，.18．（1）设，为锐角，且，，求的值；（2）化简求值；（3）化简求值．19．已知，，．(1)求的值；(2)若，求的值．答案题号123456789答案CDDBDCDACDACD1．C【分析】由二倍角公式展开，将其次式转化为正切，求出，然后由两角和的正切公式求解即可.【详解】，，，所以，故，故选：C2．D【分析】将转化为，整体代入求解.【详解】因为，，，，故，且，故，故.故选：D.3．D【分析】根据给定条件，利用二倍角公式、同角三角函数基本公式求出，再利用和角的正切公式计算即得.【详解】由，为锐角，得，则，，由，得，又为锐角，则，所以．故选：D4．B【分析】先由，再利用两角差的正切公式进行求解即可.【详解】，将，代入，得原式．故选：B.5．D【分析】由同角三角函数的平方关系及商数关系得出，再根据诱导公式及两角和的正切公式即可求解．【详解】由已知得，则，所以，故选：D．6．C【分析】利用诱导公式及和角的正切公式列式，再利用基本不等式求出最小值.【详解】依题意，，即，则，当且仅当时取等号，因此，解得，所以当时，取得最小值9．故选：C7．D【分析】由，利用两角差的正切公式先求，利用二倍角的正弦公式有，代入即可求解.【详解】由题意有，所以，故选：D.8．ACD【分析】对于A，由切化弦，及辅助角公式，正弦二倍角公式化简即可，对于B，由可判断，对于C，由两角差正切公式可判断，对于D，由可判断.【详解】A正确；，B错误，，C正确，因为，所以，D正确，故选：ACD9．ACD【分析】设点P的坐标，再结合斜率公式计算判断A，应用两角和正切公式计算判断B，C，应用基本不等式公式计算结合面积公式计算判断D.【详解】由题意知，设点P的坐标为，α，，所以，所以，所以A对；因为，所以无最小值，所以B错，，又因为P横坐标逐渐变大时，α也跟着变大，在变小，所以逐渐变小，所以C对，又当，当且仅当取得等号，即，即，，，，所以，所以面积为．故选：ACD．10．【分析】根据两角和与差的正切公式、二倍角公式求解即可.【详解】由，，则，所以，则.故答案为.11．【分析】结合角、所在象限与同角三角函数基本关系可得，，再利用两角和的正切公式计算即可得.【详解】由角为第二象限角，则，由角为第四象限角，则，故，，则.故答案为.12．【分析】利用余弦的差角公式先求，从而可得，根据角的范围结合同角三角函数的基本关系确定，再利用正切的差角公式计算即可.【详解】由题意可知，所以，即，又，所以，则，所以，所以.故13．/【分析】根据两角和的正弦公式结合同角三角函数关系得出，再应用两角差的正切公式结合基本不等式得出最大值.【详解】因为，所以，即，即，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，取得最大值.故答案为.14．【分析】由及和角正切公式得，再结合，将问题化为在有解，即可求范围.【详解】由知，故，于是，由，知.存在使等价于关于的方程在有解，由，当且仅当时取等号，所以的取值范围是.故15．【分析】利用和角的正切公式求出，再利用齐次式法求解即得.【详解】依题意，，解得，所以.故16．/【分析】由已知可得在以为焦点的椭球上，由，可知在椭球的截面圆上，设截面圆的圆心为，进而求得截面圆得半径，根据为焦点过的椭圆方程计算求得点坐标，利用两角和的正切公式计算即可得出结果.【详解】因为，与的周长均为10，所以=6，=6，所以在以为焦点的椭球上，因为，所以在椭球的截面圆上，设截面圆的圆心为，则，所以三棱锥的体积为，所以，又因为，所以，解得：，由题意，设以为焦点过的椭圆的标准方程为，设代入解得，所以.故17．(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】由两角和的正切公式直接计算即可得证.【详解】（1）.（2）.18．（1）；（2）1；（3）.【分析】（1）由，，求出和，利用两角和的余弦公式求出，可得的值；（2）括号里切化弦，通分，辅助角公式化简，再与括号外算式利用倍角公式和诱导公式化简即可；（3）利用两角和的正切公式和特殊角的三角函数值求解.【详解】（1）为锐角，，则，为锐角，，则，得，，为