数列“新定义”问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考 含答案

/数列“新定义”问题高频考点梳理专题练2026届高考数学复习备考一、单选题1．已知数列的通项公式，在其相邻两项之间插入个，得到新的数列，记的前项和为，则使成立的的最小值为（

）A．28 B．29 C．30 D．312．定义数列的“匀称值”为，若的匀称值，则（

）A． B． C． D．3．已知两个各项均不为零的无穷数列和，若对于数列中的任意一项，总在数列中存在一项，使得，则称数列是数列的“数列”.对于以下两个命题，说法正确的是（

）.①对于任意等比数列，总存在等比数列是其“数列”；②存在公差不为零的等差数列，使其“数列”是等差数列.A．①真②真 B．①真②假 C．①假②真 D．①假②假4．一般地，对于数列，如果存在一个正整数，使得当取每一个正整数时，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的一个周期．给出下列四个判断：①对于数列，若，则为周期数列；②若满足：，，则为周期数列；③若为周期数列，则存在正整数，使得恒成立；④已知数列的各项均为非零整数，为其前项和，若存在正整数，使得恒成立，则为周期数列．其中所有正确判断的序号是（

）A．②③④ B．②④ C．②③ D．①②③④5．定义：对于数列若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称为有界数列.设数列的前项和为，则下列选项中，满足为有界数列的是（

）A． B．C． D．6．如果数列对任意的，，则称为“速增数列”，若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为（

）A．62 B．63 C．64 D．657．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，已知数列为“斐波那契数列”，则（

）A．2023 B．2024 C．1 D．2二、多选题8．若无穷数列对于任意正整数均有，则称是形数列，则（

）A．数列是形数列B．“数列是形数列”的充要条件是“”C．若正项单调数列是形数列，则是形数列D．若两个正项递增数列均是形数列，则对于任意正整数m，n，均有9．定义：已知数列的前n项和，若，，使得，则称数列为分解数列．基于上述事实，则（

）A．若数列为非零常数列，则数列不可能为分解数列B．若，则数列为分解数列C．若首项为1的非常数列为分解数列，则D．若首项为2的非常数列为分解数列，则数列的前n项和小于110．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），记数列的前项和为．则（

）A．当时，的值为16 B．当时，C．当时，是10步“雹程” D．当时，11．帕多瓦数列是与斐波那契数列相似的又一著名数列，在数学上，帕多瓦数列被以下递推的方法定义：数列的前n项和为，且满足：，则下列结论中正确的是（

）A． B．C．是偶数 D．三、填空题12．已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且成等比数列.则数列的通项公式为；若定义在数列中，使为整数的叫做“调和数”，则在区间内所有“调和数”之和为.13．若数列的相邻两项或几项之间的关系由函数确定，则称为的递归函数；为取整函数，它表示不超过x的最大整数，例如，；设的递归函数为，，且，的前n项和记为，若，则为．14．若一个等比数列有无穷多项，并且它的公比满足，则称为无穷递缩等比数列.研究发现：当时，无穷递缩等比数列的前项和（其中为首项，为公比）.下图为一个容器的轴截面，该容器由，，三个球形容器构成，其中球，各有3个出口，球有4个出口，且球的3个出口中1个与相连，球的4个出口中1个与相连、1个与相连，球的3个出口中1个与相连，一个小球在容器内做无规律随机运动，当小球运动到容器外时，运动停止.已知该小球的起始位置在球内，则当运动停止时，小球位于出口外的概率约为.四、解答题15．若数列满足：当为奇数时，；当为偶数时，.则称数列为和积交替数列.(1)若数列1，a，b，6为和积交替数列，分别求实数a，b的值；(2)若数列为和积交替数列，且，.（i）若3是数列中的项，求实数的值；（ii）若，证明.16．已知数列，若为等比数列，则称具有性质.(1)若数列具有性质，且，求的值；(2)若，判断并证明数列是否具有性质；(3)设，数列具有性质，其中，试求数列的通项公式.17．若数列中的每一项均为整数，且中每一项的相反数均不为中的项，则称为“无相反数列”.(1)若等差数列的前项和为，且，，试问是否为“无相反数列”？说明你的理由.(2)若数列满足，，求的通项公式，并判断是否为“无相反数列”（需要说明理由）.(3)已知数列共有项，任取正整数、，若是中的项，则记为可加数对，设中的可加数对总数量为；若是中的项，则记为可减数对，设中的可减数对总数量为.已知可加数对与可减数对均为有序数对.（i）若为“无相反数列”，证明.（ii）证明.18．设，，，若各项均为正数的数列满足，则称数列具有性质“”．(1)已知数列的前n项和为，且，试判断数列是否具有性质“”，并说明理由；(2)若数列满足，且．（i）证明：数列具有性质“”；（ii）记数列的前n项和为，证明：．19．如果数列，，，…，（）是首项为1，各项均为整数的递增数列，且任意连续三项的和都能被3整除，那么称数列，，，…，是数列.(1)写出所有满足的数列；(2)证明：存在数列是等比数列，且有无穷个；(3)对任意给定的，都存在，，，使得数列，，，，是数列，求整数t的最小值.20．已知数列，定义.从中选取第项､第项､､第项，则称数列为的长度为的子列.若为的一个排列，则称数列具有性质.(1)已知，若数列是数列的长度为5的子列，写出的最大值和最小值；(2)已知数列具有性质，且存在唯一的长度为3的子列，使得，求的最小值；(3)已知数列具有性质，且为偶数，求的最大值，并直接写出当取得最大值时数列的个数.

答案题号12345678910答案BDBCDBCADACDBD题号11答案BD1．B【分析】根据题意分析得的项的情况，求出当时和当时的，找出的最小值.【详解】由题意得数列的前项依次为：，个，，个，，个，，个，，，当时，，当时，，所以使成立的的最小值为.故选：B.2．D【分析】根据数列的“匀称值”得，两式相减即可求解.【详解】，，两式相减得，所以.故选：D.3．B【分析】结合等比数列和等差数列的定义及通项公式，利用数列的定义求解.【详解】设等比数列的通项公式为，则是等比数列，故①是真命题；设等差数列的通项公式为，则不是等差数列，故②是假命题.故选：B4．C【分析】对于①，举例判断；对于②，由数列的偶数项都相等，奇数项都相等判断；对于③，由为周期数列，则一个周期能必存在最大值判断；对于④，举例判断.【详解】对于①，若为:，，满足题意，但是数列不是周期数列，故①错误;对于②，由可知，，...，即数列的偶数项都相等，奇数项都相等，所以当时，能使得当取每一个正整数时，都有，故数列为周期数列，故②正确;对于③，若为周期数列，则一个周期内必存在最大值，它是有界的，故存在正整数，使得恒成立，故③正确;对于④，首项为1，公比为2的等比数列:，，可任取一个符合题意的数，不妨取，满足题意，但很明显数列：不是周期数列，故④错误.故选：C.5．D【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断.【详解】对于选项A：因为为等差数列，则，可知对任意，当时，，不满足有界数列的定义，故A错误；对于选项B：因为，则，可知对任意，当时，，不满足有界数列的定义，故B错误；对于选项C：当为偶数时，，可知对任意，当时，，不满足有界数列的定义，故C错误；对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列，则，可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确；故选：D.6．B【分析】根据“速增数列”的定义，结合累加法建立不等式并求解即得.【详解】当时，，因为数列为“速增数列”，所以，且，所以，即，，当时，，当时，，故正整数的最大值为63.故选：B.关键点睛：解决本题的关键是利用累加法将与“速增数列”定义结合得到不等式，由该不等式即可求解.7．C【分析】根据“斐波那契数列”得出递推公式，变形得到，然后利用递推公式的变形对化简，即可求解.【详解】“斐波那契数列”从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，,.由题意得：，即，，，，

，即即.故选：C.8．AD【分析】原题条件等价于时，是形数列，对于A，由形数列的定义即可判断；对于B，分充分性、必要性两方面讨论即可；对于C，D，根据所给数列的性质结合形数列的定义即可判断.【详解】若，由，得，若，由，得，故原题意可转化为当时，是形数列．对于A，易知，而，故，即，故是形数列，故A正确；对于B，当是形数列时，，即，得，必要性成立，下面考虑充分性，当时，，此时没有意义，充分性不成立，故B错误；对于C，若是递减数列，则．故，于是，而，故当时，．，故不是形数列，故C错误；对于D，显然，则，故，于是，同理．故，即，故D正确．故选：AD．9．ACD【分析】根据数列新定义，结合及等比数列通项公式，应用裂项相消法计算判断各个选项即可.【详解】若数列为非零常数列，则，，两式不相等，所以数列不可能为分解数列，A选项正确；若，当，所以当，所以，所以，当，左边为，右边为不相等，B选项错误；因为首项为1的非常数列为分解数列，则，所以，，C选项正确；因为首项为2的非常数列为分解数列，则，所以，，所以数列的前n项和，D选项正确；故选：ACD.10．BD【分析】根据给定的运算法则，逆推求出各选项相关值，再结合数列周期性判断即可.【详解】对于A选项进行逆推：或或2，故A错误；对于BC选项，当时，即，共需经过9个步骤变成1，故B正确，C错误；对于D选项，当时，，，，以后进入循环，因此，故D正确．故选：BD11．BD【分析】根据题设递推关系写出前8项并求判断A、B；列举出相关项判断的奇偶性及数列的周期性，并得到相关递推关系判断C、D.【详解】由题设，，，，故A错误；由上分析，，故B正确；由知：*表示奇数，@表示偶数，如下表，111223457912162128***@@*@***@@*@……显然，该数列奇偶数出现以7为周期，一个周期内下标从小到大对应项依次出现3个奇数，2个偶数，1个奇数，1个偶数，而，故是奇数，故C错误；由，，，…，，且，,所以，又，故，故D正确．故选：BD.12．1086【分析】空1，利用题意建立等式求解即可；空2，根据题意求出可能的的值，然后求和即可.【详解】因为成等比数列，所以，因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为，所以，所以，所以.设，所以，令，且b为整数，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，所以区间内所有“调和数”之和故；108613．10120【分析】已知，，，得出为以为首项，6为公比的等比数列，从而得出，，证明当时，，利用该不等式可得，从而得出，结合，得出，所以，，从而解出.【详解】已知，，，则，因为，所以，，即为以为首项，6为公比的等比数列.则.所以，即.当时，.因为当时，由,可得，所以当时，.故当时，又，则，故对于任意，，所以.所以.故答案为.14．【分析】先分析小球运动规律，记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．根据运动规律建立递推关系，由递推关系得出数列通项公式，再根据无穷递缩等比数列的相关说明求得"运动停止前，小球位于球的概率"，进而得到"当运动停止时，小球位于出口外的概率".【详解】记小球从一个球形容器运动到其相邻的球形容器为一次运动．记次运动后，小球位于,,三个球形容器的概率分别为．根据马尔可夫链，可知：当时，,化简，整理得：当时，.特别地，可分析知，小球到达球需奇数次运动，偶数次运动后不能到达球,所以认为当为偶数时，.当为奇数时，因为小球的起始位置在球内，所以，所以.因为小球到达球需偶数次运动，奇数次运动后不能到达球,所以认为当为奇数时，.当为偶数时，为奇数，所以记数列的前项和为,则,其中为偶数.由题意知，为无穷递缩等比数列,当时，.即当运动停止前，小球位于球的概率约为.所以当运动停止时，小球位于出口外的概率约为.故15．(1)或(2)（i）或；（ii）证明见解析【分析】（1）根据和积交替数列的定义，列出参数的方程组，求出参数的值.（2）（i）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项，由范围，求出后面项的大小范围，判断3可能出现的位置，求出参数的值.（ii）根据和积交替数列的定义，由递推出后面的项满足的条件，根据数列的递推公式，结合累乘法，通过对数运算，证明命题.【详解】（1）由题知，，解得，或；（2）（i）由题知，则，，由，则；，由，则；，但，，所以；而，…以此类推，当，时，.所以若3是数列中的项，则或或，解得或.（ii）易知数列中的项均为正整数，由题知，且，所以，同取以2为底的对数，得，即.又，所以，则，累乘整理，得，所以时，.当时，符合上述不等式，所以，结论得证.16．(1)(2)具有，证明见解析(3)【分析】（1）利用前三项可算等比数列的公比，从而可求后面的项，即可求出；（2）利用等比数列的定义进行证明，即可得到数列是不是具有性质；（3）利用前三项可算等比数列的公比，从而可得等比通项，再用累加法来求通项，这里需要进行讨论分析.【详解】（1）由题意数列具有性质为等比数列，设公比为，由，得，，又（2）数列具有性质；证明如下：因为，所以，则，即为等比数列，所以数列具有性质（3）因为，则当，故，适合该式，故，所以由，得，因为数列具有性质，故为等比数列，设其公比为，则，故当为偶数时，，当为奇数时，，故17．(1)是，理由见解析(2)，不是(3)（i）证明见解析；（ii）证明见解析【分析】（1）根据题中数据求出等差数列的通项公式，设中存在两项与互为相反数，根据求出的值，即可得出结论；（2）由题干中的等式变形得出，可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，利用可得出结论；（3）（i）分析可知构成的有序数对有个，结合反证法可知必不为可减数对，从而可得出可减数对的数量的最大值，即可证得结论成立；（ii）先证明可加数对的数量不多于可减数对的数量，再证明可减数对的数量不多于可加数对的数量，由此可得出且，即可证得结论成立.【详解】（1）是“无相反数列”.理由如下：依题意可得，则，则的公差，所以.设中存在两项与互为相反数，则，得，所以中不存在互为相反数的两项，故是“无相反数列”.（2）因为，所以，则.因为，所以数列是第三项为，公比为的等比数列，所以，则.因为，，所以与互为相反数，所以不是“无相反数列”.（3）（i）由题意知，对于总项数为的数列，其构成的有序数对有个.若为“无相反数列”，则不可能为中的项，则不是可减数对，这样组成的数对有个.又中每一项的相反数均不为中的项，所以当为可减数对时，是中的项，且不是中的项，即必不为可减数对，从而可减数对的数量最多为，即；（ii）先证明可加数对的数量不多于可减数对的数量.若为可加数对，则也为中的项，则也为可加数对，，，故、也为可减数对.若与为不同的可加数对，则与中至少有一个不成立，从而与中至少有一个不成立，则数对和均为不同的可减数对，故可加数对的数量不多于可减数对的数量.再证明可减数对的数量不多于可加数对的数量.若为可减数对，则也为中的项，，故也为可加数对.若与为不同的可减数对，则与中至少有一个不成立，从而与中至少有一个不成立.则和均为不同的可加数对，故可减数对的数量不多于可加数对的数量.综上，且，故.18．(1)具有，理由见解析；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.【分析】（1）根据给定条件，利用数列前n项和与第n项的关系求出通项公式，再利用否具有性质“”的定义推理判断.（2）（i）根据给定条件，构造函数，利用导数确定单调性再证明不等式；（ii）由（i）的结论，利用放缩法，结合等比数列前n项和公式推理得证.【详解】（1）数列中，，当时，，则，而，解得，因此数列是首项和公比都为的等比数列，则，，，正项数列满足，所以数列具有性质“”.（2）（i）函数，令函数，求导得，函数在上单调递减，则，即，，任意，，而，，则，，于是，令，求导得，函数在上单调递增，，当时，，，而，则，因此；依题意，，令，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上单调递增，当时，，，函数在上单调递增，当时，，即当时，，，因此当时，，又，则，于是，，则，所以数列具有性质“”.（ii）由（i）知，，则，当，时，，当时，，当时，，所以.19．(1)1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7.(2)证明见解析；(3)13.【分析】（1）由所给信息，找到满足题意的数列即可；（2）即证明存在无穷多个整数，使能被3整除；（3）将正整数集合按被3除余数分为3类，分类讨论所属集合，确定，，所属集合，并写出相应的数列，后由可确定最小值，即可得答案.【详解】（1）由题可得，令，为使任意连续三项的和都能被3整除，则或；令，则；令，则不存在满足题意；，则.综上，满足的数列为：1，2，3，7；1，2，6，7；1，3，5，7；，1，5，6，7；（2）证明：设这样的数列对应的公比为，则相应的四项，从小到大排列为.要使任意连续三项的和都能被3整除，则能被3整除，即被3整除即可.考虑集合，当时，一定能被3整除，因中的元素有无穷多个，则存在数列是等比数列，且有无穷个；（3）设.因都能被3整除，，则.若，因都能被3整除，则；则要使能被3整除，有.令，为使最小，应让间的差值最小，则，又，则，即当时，最小值为5；若，因都能被3整除，则；结合，则要使能被3整除，有.令，为使最小，应让间的差值最小，则，又，则，即当时，最小值为13；若，因都能被3整除，则；结合，则要使能被3整除，有.令，为使最小，应让间的差值最小，则，又，则，即当时，最小值为9.综上，当存在，，，使得数列，，，，是数列，整数t的最小值是13.关键点睛：本题关键为读懂题意，以及由题目中提及的“被3整除”想到将整数按照被3除的余数分为3类.20．(1)最大值9，最小值5(2)最小值6(3)最大值，这样的数列有个【分析】（1）定义数列的极端项为：中间的指不小于左右，或不大于左右的项，第一项，最后一项都是，分析可得任意数列的子列的值不超过该数列本身的值.对于具有性质的数列，因此其长度为的子列的值不小于.然后计算数列的值，进一步构造子列使其值最大和最小；（2）根据已知条件分析可得该数列只有三个极端项，除去两端的极端项，中间只有一个极端项，这个极端项必为最大项6或最小项1，然后分别研究其最小值，最后比较得出总体的最小值；（3）分析可知对于数列,其值时必为交替数列，由此化简的表达式，并