北科大材料力学课件03扭转

第三章扭转材料力学1.扭转变形受扭杆件的力学模型特征受力特点：变形特点：外力偶的作用面与杆件轴线垂直；横截面之间绕杆件的轴线产生相对角位移。具有上述特征的变形称为扭转变形。工程上，把承受扭转变形的杆件称为“轴（Shaft）”。横截面之间的相对角位移Φ，称为扭转角。§3-1扭转的概念2．名词：扭转角：两截面之间的相对转角,用表示。注意：(与截面相对位置有关）剪切角（剪应变）：杆件表面纵向直线的转角，用γ

表示。注意：(与截面相对位置无关）1、外力偶矩的计算根据动力学知识：力偶作功=功率乘以时间运动学知识：式中单位：§3-2外力偶矩、扭矩和扭矩图2.扭矩横截面上的内力偶矩符号：T由静平衡确定其大小正负规定：右手法则确定方法：截面法3、扭矩的计算ABxMeMeAMeTBxMeTTxO+Me扭矩图取截面左侧研究取截面右侧研究mmMBMCMAMDBCADx1面2面3面MBBxT1MBMCBCxT2MDDxT3xTONm318955955例1：轴，n=300转/分；各轮功率：试画轴的扭矩图。解：求外力偶矩练习题：传动轴。已知三个轮各自的传动功率为:PA=19kW,PB=

44kW,PC=25kW,转速n=150rpm

试画传动轴的扭矩图。问：若交换轮A和轮B的位置，传动轴的扭矩图有何变化？ABCTATBTC-2800-1590x1210-1590x同样

=2800Nm,

=1590Nm练习题接下来该讨论圆轴扭转时的应力问题了！ABxTKTKATKTnBxTKTnTnxO+TK扭矩图mm关于应力的三个问题：存在什么应力应力如何分布应力如何计算？先研究一个比较简单的问题薄壁筒的纯扭转一、薄壁筒扭转时的剪应力等厚度薄壁筒，平均半径为

,厚度为，长为（压力容器）§3-3纯剪切二、剪应力互等定理与组成一力偶，由力偶平衡得：ydydxzxoadcb剪应力互等定理：在相互垂直的两个面上，剪应力必然成对出现，且大小相等，方向或指向、或背离两面的交线。三、剪应变、剪切虎克定律①剪应变

：在剪应力作用下，两直角边的夹角发生改变，用

表示。

减小为正。（

—圆轴表面纵向直线的转角)线弹性范围内（τ≤τP）：

TK

∝Φ②剪切虎克定律：剪切弹性模量(量纲同E[力/长度2])通过实验可以确定：其中OτPτS习题3-1，3-31.实验现象t

当圆轴承受绕轴线转动的外扭转力偶作用时，其横截面上将只有扭矩一个内力分量。

圆轴受扭后，将产生扭转变形。圆轴上的直角微元均发生了变化，这种直角的改变量即为剪应变。这表明，圆轴横截面和纵截面上都将出现剪应力分别用

和

表示。

ABCD

t

A'B'C'D'§3-4圆轴扭转时的应力实验现象归纳123x44123xTkTk4（1）纵向线转动

；但仍保持位置相互平行；（2）圆周线绕轴线转动，但仍在原来的平面内；（3）圆周线大小、形状及两圆周线之间的距离不变。yxTkzTn②剪应力方向是沿周边切线方向；①截面只有剪应力，无正应力；2、推论平截面假定：(1)横截面保持为平面，形状、大小、间距不变(2)半径保持为直线3.剪应力分布①几何关系：（确定剪应变的分布）,Φ=Φ(x)讨论距轴为

的lmnp面

剪应力沿半径分布是变化的（未知）因此，以剪应变入手分析。dxTT14322’3’dΦ令—

扭转角沿杆长的变化率—

几何方程

(1)o’oR1243mlndxpm’n’3’2’结论：剪应变与到0-0’轴的距离成正比，杆轴上剪应变为零，表面应变最大。②物理关系：(剪切虎克定律)gtG=

(2)(3)代入几何方程剪应力分布:(1)对于单一材料,以轴心为原点线性分布

(2)对于同心复合材料,以轴心为原点分段线性分布实心圆截面T空心圆截面T③：静力学关系（确定微观剪应力与宏观扭矩的等效关系）dAo

(4)(3)代入(4),积分后得：剪应力计算公式IP

—极惯性矩DdD取微分面积：O极惯性矩的计算存在什么应力:实心圆截面和空心圆截面上仅有剪应力.应力如何分布:与扭矩方向一致,以轴心为原点线性分布应力怎样计算三个待定问题的答案抗扭截面模量(系数)；量纲[长度]3T最大剪应力发生在最外沿,即:ρmax=R处DdD抗扭截面摸量WT的计算思考：由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别为G1和G2，且G1=2G2。圆轴尺寸如图所示。圆轴受扭时，里、外层之间无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中（A）、（B）、（C）、（D）所示的四种结论，请判断哪一种是正确的。(A)(B)(C)(D)例1：绘出半圆柱体各截面上的应力分布。说明该部分的平衡情况。TABCDTCBDAMOMOOA例2：轴，d=50mm，MO=1kN.m,求处的切应力及边缘处的最大切应力。解：1.求任意截面上的扭矩2.求极惯性矩及抗扭截面系数3.求及1.最大剪应力2.强度条件：

TAB圆轴扭转时的强度计算

要理解其物理意义!例3：由无缝钢管制成的汽车传动轴AB，外径D=90mm,壁厚t=2.5mm,材料为45号钢。使用时最大扭矩T=1.5KN,

，试校核AB轴的强度。解：轴的最大剪应力为AB轴满足强度条件。TAB例4：如把上例中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同，试确定其直径，并比较二者的重量。解：按题目要求，实心轴的最大剪应力也为51MPa,即在两轴材料、长度相同的情况下，重量之比即为面积之比：

可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量仅为实心轴的31%，其减轻重量、节约材料时非常明显的。这个数字说明什么？例5:图示传动机构，E轴通过联轴器与H轴连接，A轮带动D轮使C轴转动。从B轮输入功率P1=14kW，功率的一半通过锥形齿轮传给C轴，另一半由H轴输出。已知：

n1=n2=120r/min,z1=36,z3=12;d1=70mm,d2=50mm,d3=35mm.求:各轴横截面上的最大切应力。3联轴器P1=14kW,P2=P3=P1/2=7kWn1=n2=120r/minn3=n1

z3z1=120

3612=360r/min3Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.m1.求各轴的扭矩由外力偶矩计算公式2.求各轴的扭转剪应力Mx1=T1=1114N.mMx2=T2=557N.mMx3=T3=185.7N.md1=70mmd2=50mmd3=35mm1.相对扭转角Φ上一节已经导出如下公式：（1）又有：（2）(2)代入(1)(—常量),两边积分得：GIp—抗扭刚度§3-5圆轴扭转时的变形弧度：平面角的度量单位。

圆心角所对应的弧长和半径相等，这个角就是一弧度。弧度表示：rad当G，T，Ip为常量时当G，T，IP阶梯变化时2.单位长度扭转角用于描述圆轴扭转变形的聚集程度(单位长度的扭转角).前面已经推出:又有：3.刚度条件：单位:度/米;(o/m)单位:弧度/米;(rad/m)解：1、外力偶矩：2、作扭矩图：试设计轴的直径d例7：传动轴转速

TKATKBTKCxT91Nm184Nm3、按强度条件设计直径：TKATKBTKCxT91Nm184Nm4、按刚度条件设计直径：TKATKBTKCxT91Nm184Nm例8：图示阶梯轴，已知[τ]=80MPa,G=80GPaCD段直径为d,AC段直径为0.8d。试确定：该轴的直径d；并求A、C截面的相对扭转角ΦAC

。解：1、作扭矩图：55100.5m0.5m0.5mABCD15KNm15KNm5KNmT（Nm）2、求直径AB段：BC段：55100.5m0.5m0.5mABCD15KNm15KNm5KNm3、求ΦAC

55100.5m0.5m0.5mABCD15KNm15KNm5KNm例9:一内径为d、外径为D=2d的空心圆管与一直径为d的实心圆杆牢固结合成一组合圆轴，共同承受转矩Me。圆管与圆杆的材料不同，其切变模量分别为G1和G2，且G1=G2/2，设两杆扭转变形时且均处于线弹性范围。试问两杆横截面上的最大切应力之比τ1/τ2为多大？并画出沿半径方向的切应力变化规律。因两杆扭转变形时无相对转动解:从圆杆中取长度l-x和dx微段，截面的扭矩为T(x)=(l-x)t.例10:等直圆杆的扭转刚度为GIp,受分布扭矩t(单位为Nm/m)作用，求A-B截面的相对扭转角ΦBA

。AB截面相对扭转角为：

l-xT(x)dx

段两相邻截面的扭转角为：

从中取dx

段，该截面的直径为：

AB截面相对扭转角为：

式中：进一步考虑变截面圆杆，A、B两端直径分别为d1、d2。

该段相邻两截面的扭转角为：

§3-6圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形由平衡方程得Q=P由剪力引起的剪应力，近似认为均匀分布T=PD2t1=4Ppd2QA由扭矩引起的剪应力，近似认为与受扭直杆相同TWtt2max

=8PDpd3两种剪应力同时作用，则簧丝横截面内侧有最大剪应力tmax

=

t1+t2max

8PDpd3(+1)d2D由于d«2D,上述剪应力近似等于tmax

8PDpd3由于上述推导的近似性，上述剪应力公式存在一定误差。可修正如下：簧丝的强度条件是tmax

[t]

ck弹簧的变形在弹性范围内，P与伸长量l成正比

变形特征

由平衡直接得到的结论

剪应力分布

狭长矩形截面§3.7非圆截面杆扭转的概念非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲不保持平面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。§3.7非圆截面杆扭转的概念一、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相邻截面的翘曲程度完全相同。二、约束扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面的翘曲程度不同。（长边中点处〕（短边中点处〕剪应力分布tmaxTahb2t1=ntmax矩形截面杆扭转的扭转角fTlGbhb3TlGItGIt=Gbhb3h³bht

1T

t

max注意！b注意！多数教材与手册上有如下定义：查表求

和

时一定要注意，表中

和

与那套公式对应。h³bht

1T

t

max注意！b矩形截面杆扭转时的系数一、剪应力