北科大材料力学课件13能量方法

第十三章能量方法材料力学变形能：U

U=W在弹性变形范围内

在准静载荷(QuasiStaticLoads)的作用下§13-1概述外力功：W准静载荷：外力是逐渐缓慢地从0增大到最终值，在加载的每一个瞬间，弹性体都保持平衡。1、轴向拉伸或压缩变形：PABPO外力功：若则总的变形能变形能：§13-2杆件变形能的计算注意：恒载做功：准静载荷做功：?对于杆C先加再加特性1：计算U时不能用叠加原理。(a)(c)(b)例：现有a，b，c三根杆，已知其长度l和刚度EA相等，

求：各杆的变形能。特性2：U只与载荷的最终数值有关；与加载方式无关。(a)(c)(b)对于杆C先加再加2、扭转变形：ABmO外力功：若m变形能：则总的变形能3、弯曲变形：ABmO外力功：若？（横力弯曲）注：横力弯曲的，但对于细长梁，所以（纯弯曲）变形能：则总的变形能:广义力广义位移*注：此式仅适用于线弹性变形广义位移与广义力不仅要在种类上匹配，而且还要在位置和方向上匹配。即：广义位移与广义力要求能量共轭。

变形形式外力功变形能（内力为常量）变形能（内力为变量）轴向拉压扭转弯曲克拉贝依隆原理§13-3变形能的普遍表达式假定：外载荷按照同一比例β变化注意：Pk，δk(k=1,2,…)应理解为广义力和广义位移将克拉贝依隆原理应用到组合变形中：dxT(x)M(x)N(X)dxT(x)M(x)N(X)问题：此处变形能的计算为什么用叠加的形式？解:1)BC杆弯曲变形AB杆扭转变形弯曲变形2)求:1)刚架的变形能U;2)截面C沿y方向的位移又例1:xyzBCPA已知:已知:求:A截面的转角解:1)2)列弯矩方程(以A为原点)3)计算变形能4)又例2:ABC利用，只能求外力作用点沿外力方向的位移。1）先加2）再加方式一§13-4互等定理方式二1）先加2）再加功的互等定理：第一组力在第二组力引起的位移上所作的功就等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。如果，又如果i

表示位移产生的位置和方向，j表示引起位移的力的作用位置和方向。所以位移互等定理又可表示为位移互等定理注：位移互等定理中位移一般用双角标表示，即例1：要求在只有一个挠度计的情况下，测出P力作用在梁的5点时：1、2、3、4各点的挠度。解：P的作用下而引起1点的挠度应该是P的作用下而引起2点的挠度应该是P的作用下而引起3点的挠度应该是P的作用下而引起4点的挠度应该是所以应把挠度计放在5点上,分别让P作用在1,2,3,4点上,这样测出的挠度就是题中要求的挠度.例2:已知：P作用在C点时，在C，E，D点产生的挠度分别是将力分为两组（C点）（C点），（D点）解：1）求根据功的互等定理：2）求将力分为两组（D点）（C点），（D点）根据功的互等定理：求：当C点作用载荷，D点作用时，在C，E，D点引起的挠度3）求将载荷分为两组（E点）（C点），（D点）根据功的互等定理：

静定基（基本静定系统）相当系统受力相当变形相当BAl1、变形协调方程：

2、物理方程：多余反力BAlq多余约束qyB(q)Blq=+AlqlyB(RB)BA3、平衡方程:作业13-113-313-4（一）卡氏定理（推导略）（13-9）变形能对P的偏导数等于P作用点在P作用方向的位移。式中：——广义位移（线位移，角位移）——广义力（力、力偶）

若有很多外力（广义力）作用于杆上，则该杆的变形能U对于任一外力的偏导数，就等于该力作用点沿该力作用方向的位移（广义位移），表达式可写成（13-10）§13-5卡氏定理（二）卡氏定理的应用1.横力弯曲时（不计剪力的影响）（13-11）3.对于桁架结构（各杆受拉或压）（13-12）2.当需要求广义位移之处并无对应的广义力作用时，可以虚加一广义力Pk，对此力求导数后，令其为零：（13-11(a)）3.组合变形（不计剪力的影响）(13-13)例4

求图示梁B处的挠度和转角。例4图解（一）求B处挠度由于C、B

截面都作用着集中力P，为了将二个P区分开，可设作用在B处的P为（图a）图a两段梁的弯矩方程为：BC段：AC段：由式（13-11）得：令：上式为：（二）求B处的转角由于B处没有相应的力偶与转角相对应，可假设在B作用一力偶见图b。两段弯矩方程为：BC段：AC段：图b由式（13-11）得：令：，上式为：BC：AB：例5

求图示刚架C点的垂直位移，水平位移及转角。例5图解（一）垂直位移在C处加一附加力a图令式中，则有BC:AB:（二）水平位移，在C处附加一水平力（见图b）图b令：则有BC:AB:（三）C处转角在C处附加一力偶（见图c）图cBC:AB:令，则有一、推导：§13-7单位载荷法--莫尔积分方式一：先加再加方式二：同时加同理：二、莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5、计算桁架节点位移：6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即：求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证内力方程分段相同，并且每段自变量的基准点相同ABD求C点铅垂位移C思考:在分别写原载荷和单位载荷引起的弯矩方程时,应分几段?ABDC组合变形时的莫尔积分：所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。六、莫尔积分的例题1、计算梁发生弯曲变形的位移：求:C点铅垂方向的位移和B点转角莫尔积分的应用范围：

线弹性结构例1:已知2)列原载荷引起的内力方程:3)施加单位载荷:4)列单位载荷引起的内力方程:5)同一段的同一种内力相乘积分解:求1)求约束反力:为此取AB为研究对象

的正、负号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、—：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反求例2：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只考虑弯曲变形，即只考虑弯矩解：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：R1RPAB1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷,列单位载荷引起的内力方程:3)由莫尔积分求:3、计算桁架节点位移：PPABCD解：11ABCD12345123451)列原载荷引起的内力方程:PAB例3：图示简单桁架，各杆长度均为，且EA相同，试求B、D两节点的相对位移。2)施加单位载荷:3)列单位载荷引起的内力方程:B1A11ABCD12345杆号4)由莫尔积分求:杆号PPABCD4、计算结构组合变形的位移：PABC1ABC例4：图示刚架，各段刚度已标出，试A点的铅垂位移与B点的转角解：1)列原载荷引起的内力方程:2)列单位载荷引起的内力方程:设3)同一段的同一种内力相乘积分PABC1ABC若横截面是边长为b的正方形，时，上述比值为：PABCABC1例5:轴线为半圆形平面曲杆如图(a)所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:P12)列原载荷引起的内力方程:3)列单位载荷引起的内力方程:解:1)求约束反力例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：D点的垂直位移.3)列单位载荷引起的内力方程:4)同一段的同一种内力相乘积分解:1)由于对称，只计算一半例:平面刚架如图所示,已知：P，a，EI。求：AF两点的相对位移.2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:2)原载荷引起的内力方程:3)单位载荷引起的内力方程:分析：研究角度θ对应的截面的弯矩。先考虑内部弧段φ的合弯矩计算均布外压小曲率曲梁弯曲变形的A点竖直位移yA：2)A点施加向下的单位力,引起的内力方程:3)由莫尔积分求yARqABdp=qds=qRdφRqAB1一、推导：，若EI为常量，则公式可变形为：CABABxy§13-8

计算莫尔积分的图乘法CC顶点顶点(1)二次抛物线：(2)二次抛物线：为了计算方便，列出了比较常见图形的面积和形心坐标三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当为一条光滑的的曲线，为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘可将4、当图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分图乘3、若梁的抗弯刚度EI在整个梁上呈阶梯变化，则图乘时也要分段5、图乘时，只有对同一段梁上的同一种内力才能互乘，注：综合来讲，决定图乘分段的因素有三个：的折点；图是否需要划分为若干简单图形；(2)EI是否阶梯变化；即:BCDA2aaaP例5：求解：1、画原载荷引起的内力图BCDA3PaPa2、求施加单位力偶BCDA3、画单位载荷引起的内力图BCDA1114、图乘方法（1）5、图乘方法（2）M图图注：当原载荷和单位载荷引起的内力图都是直线时，是单位载荷引起内力图的面积是单位载荷引起内力图的形心对应到原载荷引起的内力图的纵坐标二、图乘法的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算圆轴发生扭转变形的位移：3、计算杆发生轴向拉压变形的位移：4、计算结构组合变形的位移：例1:已知求:C点铅垂方向的位移和B点转角解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：1例2：用图乘法求解：1、画原载荷引起的内力图：2、求施加单位载荷13、画单位载荷引起的内力图4、图乘：（图1）（图2）aaABC5、求施加单位载荷：6、画单位载荷引起的内力图（图3）7、图乘：（图1）1aaABC例4：平面结构空间受力，AB和BC两杆具有相同的刚度，求：1.A端的铅垂位移；2.A端绕BC

轴线（X轴）的转角。X3、画单位载荷引起的内力图2、求A端的铅垂位移施加单位载荷解求：1、画原载荷引起的内力图4、图乘：2、求A点绕BC轴转角施加单位载荷3、画单位载荷引起的内力图4、图乘：1解求：1、画原载荷引起的内力图例3:轴线为半圆形平面曲杆如图所示,作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面,求P力作用点的垂直位移.1)列原载荷引起的内力方程:2)施加单位载荷:4)积分计算位移3)列单位载荷引起的内力方程:例4：试求P力作用下，A点的竖直位移分析：因为力与轴线位于同一平面所以在P力作用下，只有弯曲变形，即只考虑弯矩解:1)求约束反力画载荷引起的内力图例:变截面梁如图所示,已知：P，a，EI1，EI2。求：用图乘法求D点的垂直位移.2）求施加单位载荷3）画单位载荷引起的内力图4）图乘方法（1）ACDB2/3PaPa/3M图ACDB1/3a2/3aM0图4/9a1/2a2/9a1/3a+1/3*1/3a=4/9a作业13-14（图乘）13-15（图乘）13-17（积分）13-25（积分）13-30（积分）本章结束习题课第十三章能量方法莫尔积分的应用：1、计算梁发生弯曲变形的位移：2、计算小曲率曲梁发生弯曲变形的位移：3、计算圆轴发生扭转变形的位移：4、计算杆发生轴向拉压变形的位移：5、计算桁架节点位移：6、计算结构组合变形的位移：三、莫尔积分的应用范围：线弹性结构四、的符号的含义：1、+：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相同2、-：所求位移的实际方向与所加的单位载荷方向相反用莫尔积分计算的步骤：1、写出结构在原载荷作用下引起的各段的各种内力方程2、将结构单独取出，在结构上施加一与所求位移对应的单位载荷即：3、写出结构在单位载荷单独作用下引起的各段的各种内力方程4、将同一段的同一种内力方程相乘积分注意：在列原载荷和单位载荷引起的内力方程时，必须保证分段相同，并且每段自变量的基准点相同组合变形：求转角时施加单位力偶；求相对转角时施加一对相反单位力偶。求位移时施加单位力；求相对位移时施加一对相反单位力。

所以：其中:为原载荷引起的弯矩，为单位载荷引起的弯矩，注意单位载荷一定要与所求位移：在种类和位置上对应。莫尔积分的应用范围：

线弹性结构例：图（a）所示重为P的重物于薄壁圆环顶点A，已知：EI为常数，求A点的位移。解：根据莫尔积分，利用对称性计算一半1θBP/2θBBC:在B点加单位力PAB解：也可以根据莫尔积分计算整体静变形，在C点加单位力ABPCAB1CBC:AC:RABPP例1:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对水平位移1、求原载荷引起的内力：2、求水平相对位移，施加单位载荷：113、根据莫尔积分RABPP例2:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对转角1、求原载荷引起的内力：2、求相对转角，施加单位载荷113、根据莫尔积分:PPRAB例3:开口圆环,EI为常量,求AB之间相对竖直位移1、求原载荷引起的内力：2、求竖直相对位移，施加单位载荷113、根据莫尔积分，利用对称性例4:开口圆环,EI，GIP为常量,求AB之间垂直于纸面方向的相对位移1、求原载荷引起的内力：2、求原载荷引起的内力：3、求竖直相对位移，施加单位载荷4、根据莫尔积分，利用对称性RABPPRAB11RRP开口两侧分别作用一垂直于刚架平面的水平力P,PP求切口两侧垂直于纸面方向的水平相对位移.xy解:1、求原载荷引起的内力：由于对称于y轴，仅考虑一半:ED段ABCDE例5:图示正方形刚架,边长为L,各部分刚度均相同,E处有一开口,F弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段扭转变形弯曲变形2、求切口水平相对位移，施加单位载荷ABCDEFxy113、求由单位载荷引起的内力弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段扭转变形弯曲变形ED段4、积分：扭转变形ED段弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段弯曲变形弯曲变形DA段弯曲变形扭转变形FA段扭转变形弯曲变形ED段ABCDEF例6：图示桁架，所有杆长均为L，且抗拉压刚度均为EA，P求：B点沿铅垂方向的位移。分析：根据莫尔积分求桁架结点位移公式在B点沿铅垂方向加一单位力。列表如下：杆号杆长123456132465A1B132465AB练习:刚架的EI为常量,求：A点竖直位移ABAC段DB段CD段CDCE段：。。。。。AC段DB段CD段CE段：。。。。。EFABDCEFAC段DB段CD段CE段：。。。。。AC段DB段CD段CE段：。。。。。ABDCEF功的互等定理：第一组力A点在第二组力B点引起的位移上所作的功

==〉(等于)第二组力B点在第一组力A点引起的位移上所作的功。i表示位移产生的位置，j

表示引起位移的力。注：位移互等定理中位移一般用δij双角标表示，即：例7:选择题1、如图所示，随着载荷P的移动，自由端B的挠度由挠度表读出，问方程表示：A）力P的作用点的挠度与x的关系B）梁在自由端受集中力P的作用时的挠曲线方程C）梁在自由端受集中力P的作用时的转角方程D）无任何力学意义Px2、如图所示，同一刚架的两种受力形式，若P与数值相同，则比较二者变形，可知：答案：B答案：C3、如图所示，一简支梁分别承受两种形式的单位力，则CAB114、两悬臂梁，设BD之间的距离为，CE之间的距离为，则BCEDA）增大，不变B）增大，改变C）减小，不变B）减小，改变答案：D答案：A三、应用图乘法的注意事项：1、有正负号：原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的同侧，为正原载荷与单位载荷引起的内力图在轴的异侧，为负2、当为一条光滑的的曲线，为一条折线时，必须以折点为界,分段图乘,即:可将4、当图很复杂时，分成若干个简单图形,分部分