高三二轮高效复习讲义数学专题突破三角函数与平面向量拓展培优3极化恒等式等和线奔驰定理

拓展培优3极化恒等式、等和线、奔驰定理▶对应学生用书P38【考情分析】利用向量的极化恒等式、等和线与奔驰定理可以快速对向量问题进行转化，体现了向量的几何属性，特别适合于以三角形为载体，使向量问题的解决更加快速.拓展1极化恒等式极化恒等式：a·b＝14[(a＋b)2－(a－b)2](1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14(2)在平行四边形PMQN中，O是对角线交点，则：①PM·PN＝14(｜PQ｜2－｜NM｜2)(平行四边形模式)②PM·PN＝｜PO｜2－14｜NM｜2(三角形模式)如图，已知正方形ABCD的边长为4，若动点P在以AB为直径的半圆上(正方形ABCD内部，含边界)，则PC·PD的取值范围为()A.0，16 BC.0，4 D解析：选B.取CD的中点E，连接PE，如图所示，所以PE的取值范围是AD2，AE，即[2，2又由PC·PD＝(PE＋EC)·(PE＋ED)＝PE2－CD24＝PE2－4，所以PC·PD[规律方法]在三角形中利用极化恒等式求平面向量数量积的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与终点；(2)利用极化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差；(3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值.注：对于不共起点或不共终点的向量需通过平移转化为共起点(终点)的向量，再利用极化恒等式.对点练1.已知椭圆C：x29＋y28＝1的左右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x＋y－4＝0上运动，则MF1·MFA.7 B.9 C.13 D.15解析：选A.由椭圆C∶x29＋y28＝1可得F1(－1，0)，F2(1，0)，根据极化恒等式可得MF1·MF2＝MO2－1点M在直线l∶x＋y－4＝0上运动，根据点到直线的距离公式可得MOmin＝42＝22，故MF1·MF拓展2等和线1.平面向量共线定理已知平面内一组基向量OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若λ＋μ＝1，则A，B，P三点共线；反之亦然.2.平面向量等和线定理平面内一组基底OA，OB及任一向量OP，且OP＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k＝｜OP｜｜OF｜＝｜OB1｜｜OB｜＝｜OA1｜｜OA｜(1)当等和线恰为直线AB时，k＝1；(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，＋∞)；(4)当等和线过O点时，k＝0.在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，AN＝λAB＋μAC，则λ＋μ的值为()A.12 B.1C.14 D.解析：选A.法一设BM＝tBC，则AN＝12AM＝12(AB＋BM)＝12AB＋t2BC＝12AB＋t2(AC－AB)＝(12－t2)AB＋法二(等和线法)如图，BC为以AB，AC为基底值是1的等和线，过N作BC的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝｜AN由图易知，｜AN｜｜[规律方法]用等和线求基底系数和的步骤(1)确定值为1的等和线；(2)平移该线，作出满足条件的等和线；(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.对点练2.在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若AC＝a，BD＝b，且AF＝λa＋μb，则λ＋μ＝()A.1 B.34C.23 D.解析：选A.(等和线法)如图，作AG＝BD，延长CD与AG相交于G，因为C，F，G三点共线，所以λ＋μ＝1.拓展3奔驰定理奔驰定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S1·PA＋S2·PB＋S3·PC＝0(其中S1，S2，S3分别为△PBC，△PAC，△PAB的面积).“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，且SA·MA＋SB·MB＋SC·MC＝0.以下命题错误的是()A.若SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则M为△ABC的重心B.若M为△ABC的内心，则BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝0C.若∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M为△ABC的外心，则SA∶SB∶SC＝3∶2∶1D.若M为△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，则cos∠AMB＝－6解析：选C.对于A：取BC的中点D，连接MD，由SA∶SB∶SC＝1∶1∶1，则MA＋MB＋MC＝0，所以2MD＝MB＋MC＝－MA，所以A，M，D三点共线，且AM＝23设E，F分别为AB，AC的中点，同理可得CM＝23CE，BM＝23BF，所以M为△ABC的重心，对于B：由M为△ABC的内心，则可设内切圆半径为r，则有SA＝12BC·r，SB＝12AC·r，SC＝12AB·r，所以12r·BC·MA＋12r·AC·MB＋12r·AB·MC＝0，即BC·MA＋AC·MB＋AB·MC＝对于C：由M为△ABC的外心，则可设△ABC的外接圆半径为R，又∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，则有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°，所以SA＝12R2·sin∠BMC＝12R2·sin90°＝12R2，SB＝12R2·sin∠AMC＝12R2·sin120°＝34R2，SC＝12R2·sin∠AMB＝12R2·sin150°＝14R2，所以SA∶SB∶SC＝2对于D：如图，延长AM交BC于点D，延长BM交AC于点F，延长CM交AB于点E，由M为△ABC的垂心，3MA＋4MB＋5MC＝0，则SA∶SB∶SC＝3∶4∶5，又S△ABC＝SA＋SB＋SC，则S△ABCSA＝4，设MD＝x，MF＝y，则AM＝3x，BM＝2y，所以cos∠BMD＝x2y＝cos∠AMF＝y3x，即3x2＝2y2，所以cos∠BMD＝66，所以cos∠AMB＝cos(π－∠BMD)＝－66，故D[反思感悟]三角形四心的向量表示及结论(可利用奔驰定理证明)(1)点O是△P1P2P3的重心⇔OP1＋OP2＋OP3＝0⇔S△(2)点O是△P1P2P3的垂心⇔OP1·OP2＝OP2·OP3＝OP3·OP1⇔tanP1·OP1＋tanP2·OP2＋tanP3·OP3＝0⇔S△P2OP3∶S△P3O(3)点O是△P1P2P3的内心⇔aOP1＋bOP2＋cOP3＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶S△P1OP2＝a∶b∶c(其中a，(4)点O是△P1P2P3的外心⇔｜OP1｜＝｜OP2｜＝｜OP3｜⇔OP1sin∠P2OP3＋OP2sin∠P1OP3＋P3sin∠P1OP2＝0⇔S△P2OP3∶S△P3OP1∶对点练3.已知△ABC所在平面内一点D满足DA＋DB＋12DC＝0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(A.5倍 B.4倍C.3倍 D.2倍解析：选A.因为DA＋DB＋12DC＝0，即2DA＋2DB＋DC＝0，所以S△BDC∶S△ADC∶S△ADB＝2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5[课下巩固检测练(十八)]极化恒等式、等和线、奔驰定理(每题5分)1.已知在边长为1的菱形ABCD中，角A为60°，若点E为线段CD的中点，则AE·EB＝()A.32 B.3C.－34 D.－解析：选C.设F是AB的中点，则EF＝1，根据极化恒等式AE·EB＝－EA·EB＝－EF2－14AB2＝2.在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若MP·NP＝4，则点P的轨迹为()A.椭圆 B.抛物线C.直线 D.圆解析：选D.设M，N的中点A，由极化恒等式可得MP·NP＝PA2－14MN2＝4，因为M，N是两个定点，从而PA为定值，3.设O点在△ABC内部，且有3OA＋2OB＋OC＝0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为()A.2 B.3 C.2 D.3解析：选A.根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为21＝24.已知O为正△ABC内的一点，且满足OA＋λOB＋1+λOC＝0，若△OAB的面积与△OBC的面积的比值为3，则λ的值为(A.12 B.5C.2 D.3解析：选C.由奔驰定理得S△OAB∶S△OBC＝1+λ∶1＝3，解得λ＝25.如图，已知圆O的半径为2，弦长AB＝2，C为圆O上一动点，则AC·BC的取值范围为()A.0，4 BC.6－43，解析：选C.取AB的中点D，连接CD，OD，则AC·BC＝AD＋DC·(BD＋DC)＝AD·BD＋AD＋BD·DC＋DC2又OD＝22－12＝3，所以CDmin＝2－3，CDmax＝2＋3，即2－3≤所以AC·BCmin＝6－43，(AC·BC)max＝6＋故AC·BC的取值范围为[6－43，6＋43].6.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝()A.1 B.34C.23 D.解析：选B.法一∵E为线段AO的中点，∴BE＝12(BA＋BO)＝12BA＋12BD＝12BA＋14BD＝λBA＋μBD，∴λ＝法二(等和线法)如图，AD为BA，BD为基底值是1的等和线，过E作AD的平行线，设λ＋μ＝k，则k＝｜BE｜｜BF｜，7.设点O是△ABC所在平面内一点，则下列说法错误的是()A.若OA＋OB＋OC＝0，则O为△ABC的重心B.若(OA＋OB)·AB＝(OB＋OC)·BC＝0，则O为△ABC的垂心C.若(ABAB＋ACAC)·BC＝0，BABA·BCBC＝12D.若OA＋2OB＋3OC＝0，则△BOC与△ABC的面积之比为S△BOC∶S△ABC＝1∶6解析：选B.对于A，如图，取AB边中点D，连接AB边上的中线CD，则OA＋OB＝2OD，又∵OA＋OB＋OC＝0，∴2OD＋OC＝0，∴OC＝2OD，∴O为△ABC的重心，故选项A正确；对于B，如图，取AB边中点D，BC边中点E，连接OD，OE，则OA＋OB＝2OD，OB＋OC＝2OE，∵OA＋OB·AB＝OB＋OC·∴2OD·AB＝2OE·BC＝0，∴OD·AB＝OE·BC＝0，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∴OD，OE分别是AB，BC边上的垂直平分线，∴OA＝OB＝OC，O为△ABC的外心，故选项B错误；对于C，作角A的内角平分线AE与BC边交于点E，∵ABAB为AB方向的单位向量，ACAC为AC∴ABAB＋ACAC＝λAE(λ＞0∴ABAB＋ACAC·BC＝λAE·BC＝0(λ∴AE⊥BC，∴AE⊥BC，∴AC＝AB，△ABC为等腰三角形，又∵BABA·BCBC＝BA·BCBABC＝cosB＝12，且B∴△ABC为等边三角形，故选项C正确；对于D，设OB'＝2OB，OC'＝3OC，由OA＋2OB＋3OC＝0，得OA＋OB'＋OC则由选项A可知，O为△AB'C'的重心，设△AB'C'的面积S△AB'C'＝a，∴S△AOC'＝S△AOB'＝S△B'OC'＝13a又∵OB＝12OB'，OC＝13∴S△AOC＝13S△AOC'＝19a，S△AOB＝12S△AOB'＝16a，S△BOC＝16S△∴S△ABC＝S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝13a，∴S△BOC∶S△ABC＝118a∶13a＝1∶6，故选项8.如图，已知M，N是△ABC边BC上的两个三等分点，若BC＝6，AM·AN＝4，则AB·AC＝.解析：取MN中点E(图略)，由向量数量积的极化恒等式，∴AM·AN＝AE2－14MN2＝AE2－14×4＝∴AE2＝5，∴AB·AC＝AE2－14BC2＝5－1答案：－49.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝12AB，BE＝23BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为解析：法一由题意作图如图.∵在△ABC中，DE＝DB＋BE＝12AB＋23BC＝12AB＋23(AC－AB)＝－16AB∴λ1＝－16，λ2＝23.故λ1＋λ2＝法二(利用等和线)如图，过点A作AF＝DE，连接DF.设AF与BC的延长线