高三二轮高效复习主题巩固卷数学圆锥曲线的方程与性质

[课下巩固检测练(三十九)]圆锥曲线的方程与性质(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2025·云南红河三模)已知椭圆C：x2m2＋y26＝1的右焦点为F2，0，A.10 B.210C.2 D.22解析：选B.因为椭圆C的右焦点为F2，0，所以c＝2，且焦点在x轴上，所以m2－6＝4，解得m＝±10，所以椭圆C的长轴长为210.2.(2025·陕西渭南二模)若双曲线x22m－y2m－6＝1的焦距为6，A.5或－1 B.3C.5 D.－1解析：选D.若双曲线x22m－y2m－依题意可得2m>0，m－若双曲线x22m－y2m－依题意可得2m<0，m－综上可得m＝－1.3.(2025·云南昆明二模)双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0A.3 B.5C.6 D.22解析：选B.双曲线C：x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±ba所以C的离心率为e＝a2＋b2a4.(2025·辽宁大连一模)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点Pm，n在C上，且PF1·PF2≤0A.－B.－72C.－D.[－2，－1]∪[1，2]解析：选B.点Pm，n在C上，则m2－n23＝1，且m≤－1或因为F1－2，0，F22，0，则PF1＝(－2－m，－则PF1·PF2＝－2－m2－m＋n2＝m2＋n2－4＝4m2－7≤故－72≤m≤－1或1≤m≤75.已知椭圆C的焦点为F1(－1，0)，F2(1，0).过点F1的直线与椭圆C交于A，B两点.若△ABF2的周长为8，则椭圆C的标准方程为()A.x216＋y215＝1 B.xC.x23＋y24＝1 D.x解析：选D.因为椭圆C的焦点为F1－1，0，F21，0，又过点F1的直线与C交于A，B两点，△ABF2的周长为8，则根据椭圆定义可得，AF2＋BF2＋AB＝AF2＋BF2＋A解得a＝2，因此b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为x24＋y26.已知点M在抛物线C：y2＝4x上，抛物线C的准线与x轴交于点K，线段MK的中点N也在抛物线C上，抛物线C的焦点为F，则线段MF的长为()A.1 B.2C.3 D.4解析：选C.如图，不妨设点M在第一象限，依题知ON是△KMF的中位线，可知｜MF｜＝2｜ON｜，过M，N向准线做垂线，垂足分别为M1，N1，同理NN1是△KMM1的中位线，｜MM1｜＝2｜NN1｜，由抛物线定义知｜MM1｜＝｜MF｜，｜NN1｜＝｜NF｜，故得｜ON｜＝｜NF｜，又F(1，0)，则N点横坐标是12，代入y2＝4x可得其纵坐标为2故｜ON｜＝(12)2＋(27.(2025·辽宁沈阳二模)已知双曲线C的离心率为2，F1，F2为C的两个焦点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，O为坐标原点，则PF1OP＝(A.62 B.C.2 D.5解析：选D.根据题意，e＝ca＝2，则c＝2a，b＝c2－可知渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，且F22a则PF2＝2a2＝a，F1F2＝22可得OP＝OF22－PF22＝a在△PF1F2中，由余弦定理可得PF12＝PF22＋F1F22－2PF2·F1F2·cos∠PF2F1＝a2＋8a即PF1＝5a，所以PF8.(2025·湖北武汉三模)已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝16，圆C2：(x－1)2＋y2＝r2(0＜r＜2)，动圆M与圆C1，圆C2都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为e1，e2，则1e1＋1e2的值为A.2 B.4C.6 D.8解析：选B.C1－1，0，C21，0，如图1，动圆M与圆C1内切，此时MN＝MT，TC1＝4，NCMC1＋MC2＝MC1＋MN＋NC2＝MC1＋MT＋NC故圆心M的轨迹为以C1－1，0，C21，0为焦点的椭圆方程，此时2a1故a2＝2＋12r，故离心率为e1＝ca1如图2，当动圆M与圆C1，C2均内切，C1W＝4，C1W＝C1M＋MW，MW＝MQ，MQ＝MC则MC1＋MC2＝C1W－MW＋MC2＝C1W－MQ＋MC2＝4－(MQ－M故圆心M的轨迹为以C1－1，0，C21，0为焦点的椭圆方程，此时2a2故a2＝2－12r，故离心率为e2＝ca21e1＋1e2＝2＋12r＋2－二、多选题9.椭圆C：x2m2+1＋y2m2＝1m>0的焦点为F1，F2，上顶点为A，直线AF1与椭圆C的另一个交点为B，若∠F1AF2A.椭圆C的焦距为2B.△ABF2的周长为8C.椭圆C的离心率为3D.△BF1F2的面积为3解析：选ABD.由题意可知，∠F1AF2＝π3，｜AF1｜＝｜AF2｜＝a，故△AF1F2为等边三角形，则a＝2c，b＝3c又a2－b2＝m2＋1－m2＝1，所以c＝1，b＝3，a＝2，所以焦距2c＝2，A正确；离心率e＝ca＝12，C由椭圆定义可知，△ABF2的周长为4a＝8，B正确；设BF1＝x，则BF2＝4－x，又∠BF1F由余弦定理可得4－x2＝4＋x2－4xcos∠BF1F2，解得x所以S△BF1F2＝12BF1F2F1sin210.(2025·广西南宁二模)已知点A(1，2)在双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)上A.C的实轴长小于2B.C的渐近线方程可能为y＝±3xC.C的离心率大于5D.C的焦距不可能为4解析：选AC.将A(1，2)代入C：x2a2－y2b2＝1可得对于A：1a2＝4b2＋1＞1，故a2＜1，因此0＜a＜1，所以实轴长为2a，则2a＜2，对于B：渐近线方程为y＝±bax，若渐近线方程为y＝±3x，则ba＝3，结合1a2－4b2＝1可得1a2－43a2＝1，则13a2＝－对于C：离心率为e＝ca＝1+b2a2＝1+4b2+1对于D：若焦距为4，则2c＝2a2＋b2＝2b2b2+4＋b2＝4，故b2＝－11.(2025·河南郑州一模)设抛物线C：x2＝2pyp>0的焦点为F0，1，过F的直线l交x轴的负半轴于点M，交抛物线C于A，B两点，AF＜BF，BF＝MF，过B作抛物线C的切线交x轴于点N，则(A.p＝2B.直线l的斜率为2C.AB＝9D.△MBN的面积为32解析：选ABD.因为F0，p2为0，1，所以p＝2设M－m，0m>0，因此Bm，2，由m2＝4×2，从而m＝22，直线l的斜率为1直线l的方程为y＝24x＋1，所以y＝24x+1，x2=4y⇒x2－2x－4＝0⇒(因此可求得A－2，12，B22，2，可得AB＝－由y＝14x2，得y'＝12x，所以直线BN的斜率为y'方程为y＝2x－2，因此N2，0，所以△MBN的面积为12×MN×yB＝32，故三、填空题12.(2025·山东潍坊二模)若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：.解析：依题意，抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，故抛物线的准线方程为y＝3或y＝－1，当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且p2＝3，p＝6，故抛物线方程为：x2＝－12y当抛物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且p2＝1，p＝2，故抛物线方程为：x2＝4y综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是x2＝－12y或x2＝4y.答案：x2＝4y或x2＝－12y(填一个答案即可)13.(2025·河北邯郸模拟)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2向圆O：x2＋y2＝b2引一条切线交椭圆C于点M，连接F1M，如图，若F1M⊥MF解析：设直线F2M与圆O切于点N，则ON⊥MF2，由F1M⊥MF2，则ON∥MF1，所以ON＝b，MF1＝2b，MF2＝2a由勾股定理得F1M2＋F即4b2＋4(a－b)2＝4c2＝4a2－b2，解得b则c2＝a2－b2＝59a2，所以e＝ca＝答案：514.(2024·福建厦门一模)设△ABC是面积为1的等腰直角三角形，D是斜边AB的中点，点P在△ABC所在的平面内，记△PCD与△PAB的面积分别为S1，S2，且S1－S2＝1.当｜PB｜＝10，且｜PA｜＞｜PB｜时，｜PA｜＝；记｜｜PA｜－｜PB｜｜＝a，则实数a的取值范围为.解析：以D为原点，AB为x轴正方向建立直角坐标系，设P(x0，y0)，则S1＝12｜x0｜，S2＝｜y0所以12｜x0｜－｜y0｜＝1，则｜y0｜＝12｜x0｜－当｜PB｜＝10，｜PA｜＞｜PB｜时，x0＞0，即｜PB｜2＝(x0－1)2＋y02＝所以(x0－1)2＋(12x0－1)2＝10，即5x02－12x0－32＝0，可得x0＝4(负值舍)，则｜y0故｜PA｜＝(x0+1若｜｜PA｜－｜PB｜｜＝a＞0，结合双曲线定义知：P在以A，B为焦点的双曲线上，但不含顶点，该双曲线为x2(a2)2－y21－(双曲线顶点的横坐标的绝对值小于半焦距1，则双曲线与曲线12｜x｜－｜y｜＝1有交点即双曲线的渐近线和曲线12｜x｜－｜y｜＝1有交点，则双曲线的渐近线斜率的绝对值小于1所以0＜4－a2a2＜12⇒14＜1a2＜516⇒165＜a所以实数a的取值范围为(455，2答案：26(455，[创新题]15.(多选)将椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上所有的点绕原点旋转θ0<θ＜π2角，得到椭圆C2的方程：x2＋y2A.a＝23B.椭圆C2的离心率为3C.(2，2)是椭圆C2的一个焦点D.θ＝π解析：选ACD.设点P(x，y)在椭圆C2上，则其关于直线y＝x的对称点P1(y，x)代入椭圆C2的方程，有y2＋x2－yx＝6，即x2＋y2－xy＝6，则对称点P1位于椭圆C2上，同理其关于直线y＝－x的对称点P2(－y，－x)代入椭圆C2的方程，有(－y)2＋(－x)2－(－y)(－x)＝6，